Når matematikk blir magisk Av Nils Kr. Rossing Vitensenteret/Skolelaboratoriet ved NTNU Jeg vil forsøke å beskrive hvordan jeg tenker når jeg år et oppdrag ved Vitensenteret. Gjennom flere år har jeg blitt utfordret til å holde kurs og foredrag av ulike salg. Det hender også at jeg blir bedt om å holde motivasjonsforedrag. Hvilket jeg tolker som: Kan du gi oss noen gode og inspirerende tips som vi kan ta inn i realfagundervisningen vår. Det er nesten det samme hva det er bare det er morsomt, inspirerende og overraskende. Dette er morsomme foredrag å holde, men e kan fundere på nytteverdien. Jeg har nå laget et fordrag over temaet Den magiske matematikken for å demonstrere ulike sider ved en slik presentasjon. Mange av de metodene jeg benytter her bruker jeg også i andre mer ordinære undervisningssituasjoner for å krydre undervisningen. Det er kanskje helst ved Vitensenteret at jeg kan tillate meg å ta ut potensialet i slike foredrag. Selv om et slikt foredrag kan være underholdende og fascinerende er det slett ikke sikkert at læringspotensialet er så høyt. I løpet av dette foredraget vil jeg stoppe opp å reflektere rundt

Har du opplevd nøkkelhulles magiske tiltrekning? Du husker kanskje hvordan en lyd bak en lukket dør kunne dra deg mot nøkkelhullet for å forsøke å finne ut hva som skjulte seg bak den luggede døren. Noen ganger en verden du bare kunne drømme om. Slik nysgjerrighet ble den gang kanskje slått hardt ned på. Jeg vil imidlertid mene at nysgjerrighet kan være av det gode. På Vitensenteret dyrker vi nysgjerrighet. En kan tenke at bak hver enste gjenstand, hver eneste ting i naturen, vært himmelfenomen eller for den saks skyld bak hvert menneske finnes det en ukjent og spennende verden. Dette handler om en livsstil, en måte å oppleve verden på. Slik kan det også være i matematikken. Nils Kr. Rossing

Nils Kr. Rossing

En liten detalj i et bilde Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürer (1471-1528) Melencholia I Her ser vi Albrecht Düreres stikk (gravering) Melencholia I. Stikket er et av Dürers mest mystiske og omdiskuterte trykk. Noen mente at I etter Melencholia tydet på at dette var nr. 1 i en serie av bilder. Andre mener at bildet illustrerte en av de tre typene melankoli, den som handler om vår evne til å skape bilder, Imaginativa, den som ligger i bunnen av vår kreativitet og skaper evne og som rager opp over den kalde fornuft og ressonement. Ser vi nærmere på stikket ser vi i forgrunnen en englelignende skikkelse som sitter å grunner på noe. En annen mindre skikkelse sitter i bakgrunnen. Vi ser en regnbue, en stige, en skålvekt, et timeglass. Vi er et geometrisk legeme, en hund, og en kule. Nederst ser vi verktøy av ulike slag. Noen hevder at engelen er et uttrykk for Albrecht selv, som kunstneren som balanserer mellom melankoliens farer og intellektets høyverdige funderinger. Men aller mest spennende er kvadratet i ser over hodet til engelen.

Albrecht Dürers magiske kvadrat Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat 16 3 2 13 =34 5 10 11 8 =34 9 6 7 12 =34 4 15 14 1 =34 34= =34 34= 34= 34= 34= Nils Kr. Rossing

Magiske kvadrater med 3 x 3 ruter 8 1 6 =15 3 5 7 =15 4 9 2 =15 Før vi ser nærmere på Dürers magiske kvadrat, la oss forenkle 15= 15= 15= 15= =15

Hvordan gjør man det? NØ 9 2 7 8 1 6 8 Plasser 1 midt på øverste rad Plasser neste Nord-Øst for forrige Opptatt? Plasser neste under forrige 3 5 7 3 4 9 2

Et 5 x 5 kvadrat 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 =34 Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat På diagonalene teller opp Utenfor diagonalene teller ned 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Nils Kr. Rossing

Det dobbelt magiske kvadratet 18 99 86 61 =264 66 81 98 19 =264 91 16 69 88 =264 89 68 11 96 =264 264= =264 264= 264= 264= 264= Nils Kr. Rossing

Men hva er så magisk med dette kvadratet? 18 99 86 61 66 81 98 19 91 16 69 88 89 68 11 96 18 99 86 61 66 81 98 19 91 16 69 88 89 68 11 96 Alle summer er 264 Nils Kr. Rossing

Bryllups- datoen Nils Kr. Rossing

3. mars − 33 år 3 3 3 3 − 33 33 år = 3. Her er et eksempel. 3. mars hadde Helga og jeg bryllupsdag, vår 33. bryllups dag. Jeg innså det ikke med en gang, men det var altså vår 33. bryllupsdag den 3. 3. De færreste ville ha tenkt over dette sammentreffet, og om de hadde lagt merke til det så hadde de stoppet der. Men jeg ble altså oppmerksom på det, og lekte med tallene til jeg oppdaget at 33 x 33 hadde et ganske interessant svar.

Velg et tresifret tall Første siffer større enn siste siffer 10 10 682 -286 3 9 6 +693 1089 5. Oppgaven er følgende: Hver av dere skal velge dere et tilfeldig tresifret tall, det stilles kun et krav til dette tallet, det er at første siffer skal være større enn siste siffer. Så skal dere snu tallet og trekke dette fra det opprinnelige tallet. Da får dere et nytt to- eller tresifret tall. Så skal dere ta svaret dere fikk og snu det slik at det siste sifferet blir det første og det første blir det siste. Om en er i det spøkefulle hjørnet kan en da for eksempel gi uttrykk for enkelte bibelske assosiasjoner. Men her synes ikke det å være på sin plass. Som dere ser så fikk jeg med mitt valg 1089. Et greit tall om det ikke hadde vært for at flere av dere også fikk det samme tallet. Da våkner matematikeren.

Velg et tresifret tall abc Første siffer større enn siste siffer a>c 10 10 abc -cba +1 (a-1-c) (10-b+b-1) 9 (10-a+c) +(10-a+c) 9 (a-1-c) (1+a-1-c+10-a+c) 10 (10-a+c+a-1-c) 8 9 7. La oss gjennomføre det samme regnestykket med bokstavene a, b og c. Hvor enste kravet er at a > c. Da kan vi gjennomføre utregningen på samme måte som sist og vil etter hvert se at svaret fortsatt blir 1089.

33 • 33 = 1089 Så hva blir svaret på vårt lille regnestykke…? 11. Så hva blir så svaret på vårt lille regnestykke … ?

9801 13. I samme åndedrag forteller han meg at hans yndlingstall var 9801 (egentlig 0,9801) og stort mer fortalte han ikke. Hva var det som var så spesielt med dette tallet. For å avsløre tallets særegne egenskaper la oss se på følgende regnestykker.

… om å multiplisere 1089 1089 • 1 = 1089 1089 • 2 = 2178 1089 • 3 = 3267 1089 • 4 = 4356 1089 • 5 = 5445 1089 • 6 = 6534 1089 • 7 = 7623 1089 • 8 = 8712 1089 • 9 = 9801 9801 8712 7623 6534 5445 4356 3267 2178 1089 14. Igjen tar vi utgangspunkt i tallet 1089. Denne gangen multipliserer vi tallet med sifrene 1 til 9. Dernest speilvender vi samtlige produkter

9801 1089 15. Vi ser også at 9801 er det speilvendte av 1089. Begge disse tallene ar en tverrsum som er delelig med 9. Tall som har denne egenskapen skal man være oppmerksom på, de har ofte underlige egenskaper. Nils Kr. Rossing

Hva om tar et tall og deler på 9801? 5 : 9801 0,0005101520253035404550556065707580 7 : 9801 0,0007142128354249566370778491990613 …98 …105 17. Hva om vi setter 9801 i nevneren på en brøk og regner ut desimaltallet. …112

Våger vi å ta et tall å dele på 1089? 1:1089 = 0,0009182736455463728191 1:9801 = 0,0001020304050607080910 2:1089 = 0,0018365472910927456382 2:9801 = 0,0002040608101214161820 3/1089 = … 18. … så våger vi å undersøke hva som skjer når vi setter 189 i telleren?

Fillete tabeller Nils Kr. Rossing

Løgn Forbannet løgn Statistikk Det er tre typer løgn Løgn Forbannet løgn Statistikk Nils Kr. Rossing

Theodore P. Hills utfordring Professor Emeritus ved Georgia Institute of Technology Kast mynt og kron 200 ganger og skriv opp resultatet, eller forfalsk resultatet av 200 kast, så skal jeg avsløre hvem som har jukset og hvem som har kastet. En dag gav Theodore P. Hill ved Georgia Institute of Technology, studentene følgende hjemmeoppgave: Gjør ett av to. Enten kaster dere en mynt 200 ganger og noterer resultatet, eller dere fingerer 200 resultater. Ut fra resultatene skal jeg avsløre hvem av dere som har kastet en mynt, og hvem av dere som har hentet resultatet fra eget hode. Studentene fulgte oppfordringen og gav resultatene til Hill dagen etter. Selv om han ikke klarte å avsløre alle, fikk han rett i ca. 95 % av tilfellene. Hvordan gjorde han det? www.skolelab.ntnu.no/

Simon Newcombs oppdagelse 103 13,45 10635 24,73 235 2986,45 I 1881 oppdaget astronomen og matematikeren Simon Newcomb (1835-1909) at de første sidene i bibliotekets logaritmetabeller var betydelig mer slitt enn sidene lenger bak. Han tolket dette slik at tall med et 1-tall som første siffer måtte opptre betydelig hyppigere enn tall som begynte med sifrene 2 til 9. Dette forundret ham. Umiddelbart skulle en tro at første siffer i et tilfeldig utvalg av tall, for eksempel tall funnet i en bunke aviser, ville fordele seg omtrent likt mellom tallene 1-9. 34 37,6987 39,8 Nils Kr. Rossing

Simon Newcombs oppdagelse Newcomb undersøkte tallmaterialer fra ulike sammenhenger, og fikk bekreftet sin mistanke. Han fant ut at i ca. 30 % av tilfellene begynte tallene med et 1-tall. Deretter falt hyppigheten med økende tallverdi. Han kom fram til en formel for hvordan hyppigheten typisk avtok med økende tallverdi. www.skolelab.ntnu.no/

Benfords gjenoppdagelse Benfords lov Tilfeldige tall fra avis Folketall i 3141 distrikter i USA Til tross for at resultatene ble publisert, var de glemt helt til fysikeren Frank Benford (1883–1948) ved General Electric gjenoppdaget denne lovmessigheten i 1938. Han gikk meget systematisk til verks og undersøkte blant annet tall han fant i “Det Beste”, baseballstatistikker og arealet av flomrammede områder. Tallene fra så vidt forskjellige felter fulgte alle den samme lovmessigheten. Til og med tall hentet fra hans lokale avis for én uke stemte i forbløffende grad med Newcombs resultater. I løpet av flere år undersøkte han over 20 000 sett av tall. På grunn av hans omfattende undersøkelser kalles dette merkelige fenomenet for Benfords lov. Han fant selvfølgelig også tall som ikke fulgte denne loven, som for eksempel telefonnummer og tabeller over talls kvadratrøtter, men de fleste fulgte loven. www.skolelab.ntnu.no/

Hva kan så dette brukes til? På begynnelsen av 1990-tallet ble Benfords lov brukt til å avsløre manipulering av regnskaps- og skattetall. Mark J. Nigrini ved St. Michaels College undersøkte fordelingen av tall i første siffer for skattedata fra et stort antall firmaer over hele USA, og fant at disse fulgte Benfords lov med stor presisjon. Så ble disse sammenlignet med skattetall fra Brooklyn i New York som han visste var forfalsket. I tillegg lot en 743 studenter finne på tilfeldige 6-sifrede tall. Han oppdaget at de forfalskede skattedataene og studentenes tall i stor grad avvek fra Benfords lov. Det viste seg at de forfalskede dataene hadde en betydelig overhyppighet av 5- og 6-tall i første siffer, mens 1-tallet omtrent var fraværende. Tilfeldige tall skrevet ned av 741 studenter Benfords lov Skattedata (riktige) Skattedata (forfalskede) www.skolelab.ntnu.no/

Hvordan sannsynliggjøre Benfords lov? La oss tenke oss innbyggertallet i en liten norsk kommune: 5000 4000 3000 2000 1000 En kan sannsynliggjøre Benfords lov ved for eksempel å ta utgangspunkt i et innbyggertall på 1000. For at innbyggertallet skal øke til 2000, kreves en relativ økning på 100 %. Dernest skal det bare en relativ økning på 50 % for at 2000 skal endres til 3000 og så videre. Slik vil størrelser med konstant relativ vekst oppholde seg lenger ved lave førstesiffer. Moralen må bli at en må tenke seg grundig om før en forfalsker et tallmateriale. En økning fra 1000 til 2000 er en fordobling av antallet. En økning fra 2000 til 3000 er en relativ økning på 50% En økning fra 3000 til 4000 er en relativ økning på 33% En økning fra 4000 til 5000 er en relativ økning på 25% www.skolelab.ntnu.no/

Så hvordan klarte Theodor Hill å avsløre studentene sine? www.skolelab.ntnu.no/

Et stykke papir Nils Kr. Rossing

Et stykke papir I matematikken ser vi etter mønster To sider og to kanter? To sider og en kant To sider og to kanter I matematikken ser vi etter mønster Nils Kr. Rossing

Et stykke papir To sider og to kanter Nils Kr. Rossing

Et stykke papir Hva med: To sider og tre kanter? En side og null kanter? To sider og null kanter? Tre side og to kanter? En side og en kant? Nils Kr. Rossing

August Ferdinand Möbius I skrivebordsskuffen til Möbius fant man etter hans død, et papir som bare hadde en side og en kant. Möbius-båndet (1790-1868)

Möbiusbåndet Nils Kr. Rossing

Bruk av Möbius-bånd i verkstedet

Möbiusbåndet (½ vridning) Klippes langs midten Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (2 · ½ vridning) Klippes langs midten Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (3 · ½ vridning) Klippes langs midten Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (4 · ½ vridning) Klippes langs midten Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (½ vridning) Klippes langs ⅓ fra kanten Nils Kr. Rossing

Klipp langs ett ”8-tall” Nils Kr. Rossing

Nils Kr. Rossing

Den magiske matematikken … om å se mønster … om systematisere og se muligheter … om forenkle en problemstilling … om å være nysgjerrig … om å utforske … om å stille spørsmål, annerledes spørsmål Nils Kr. Rossing