Kvadratiske funksjoner

Presentasjon om: "Kvadratiske funksjoner"— Utskrift av presentasjonen:

1 Kvadratiske funksjoner
MAT102

2 Kvadratiske funsksjoner
En funksjon er kvadratisk hvis den er på formen 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, der 𝑎≠0. Disse funksjonene kalles også for andregradsfunksjoner

3 Kvadratiske funksjoner har form som en parabel
𝑓 𝑥 =−2 𝑥 2 +3𝑥+1

4

5 Funksjonsdrøfting

6 Nullpunkter Nullpunkter er der funksjonsverdien (y) er null.
Vi må altså finne løsningen på 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 - Og det har dere lært tidligere i kurset… Hvilke metoder kan dere?

7 Denne funksjonen har nullpunkter for x=-0,3 og x=3,3
𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +3𝑥+1

8 Denne funksjonen har nullpunkter for x=-4 og x=0
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4𝑥

9 Det hender vi har funksjoner som ikke har nullpunkter
𝑓 𝑥 = x 2 +1

10 Eksempel Hva er nullpunktene til funksjonen 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4𝑥+4? Siden nullpunkter er der f(x)=0, så må vi løse likningen 𝑥 2 +4𝑥+4=0 Det kan vi gjøre f.eks. ved hjelp av abc-formelen: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Som gir oss 𝑥= −4± −4∙1∙4 2∙1 = −4±0 2 =−2 VI har altså kun et nullpunkt, og det er punktet (-2,0)

11 Eksempel

12 Litt repetisjon Husker dere hva det er som gjør om vi har to, en eller ingen løsninger av likningen 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 ? 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

13 Litt repetisjon Husker dere hva det er som gjør om vi har to, en eller ingen løsninger av likningen 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 ? 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Dersom vi får et positivt tall under kvadratrota har vi to løsninger. Dersom vi har 0 under kvadratrota har vi en løsning. Dersom vi har et negativt tall under kvadratrota har vi ingen løsning. - Vi har like mange nullpunkter som løsninger på likningen.

14 Toppunkt og bunnpunkt «Toppunktet» er pr. definisjon x-koordinaten til det punktet der funksjonen har størst y-verdi. y-verdien i toppunktet kalles for maksimalverdien. Tilsvarende, hvis f(x) har et bunnpunkt, da er dette bare definert som x-koordinaten til det punktet der funksjonen har lavest y-verdi. y-verdien i bunnpunktet kalles for minimalverdien.

15 Denne funksjonen har toppunkt i punktet (1.5,3.25)
𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +3𝑥+1

16 Denne funksjonen har bunnpunkt i punktet (-2,-4)
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4𝑥

17 Hvordan finner vi topp og bunnpunkt?
Symmetri Fullstendig kvadraters metode Formel (ikke på formelarket) Derivasjon (ikke pensum)

18 Symmetri Kvadratiske funksjoner er speilsymmetriske, og symmetrilinjen vil gå gjennom toppunktet eller bunnpunktet.

19 Symmetri Hvordan kan dette hjelpe oss til å finne topp og bunnpunkt?
Pga. symmetri så vil eventuelle nullpunkter ligge i samme avstand fra symmetrilinjen. Det eneste vi trenger å gjøre er å finne avstanden mellom nullpunktene og dele på to. Vi har da funnet x-koordinaten. Setter vi denne inn i funksjonsutrykket får vi y- koordinaten. Grafen er speilsymmetrisk om denne linjen, og toppunktet ligger akkurat på linjen. symmetrilinje

20 Eksempel Finn toppunkt/bunnpunkt for funksjonen 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 −2𝑥+8.
Vi ser først om det er noen nullpunkter: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥= −(−2)± (−2) 2 −4∙(−1)∙8 2∙(−1) = 2± −2 = −2±6 −2 =1±3 Vi har nullpunkter for x=4 og x=-2. Topp/bunnpunktet er derfor ved x= 4−(−2) 2 =3. Funksjonsverdien i dette punktet er 𝑓 3 =− 3 2 −2∙3+8=9 Siden vi har nullpunkter vet vi at grafen skjærer x-aksen. Punktet (3,9) er over x- aksen og er derfor ikke et bunnpunkt. Vi vet dermed at funksjonen har toppunkt i (3,9).

21

22 Hjemmelekse Til 19.04

23 Oppgave 1 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Skriv inn funksjonsutrykket i Geogebra:
Du vil få spørsmål om du vil lage sliders, si ja til det. Varier verdiene til a, b og c ved å justere på sliderene. Hva har a, b og c for hvordan funksjonen ser ut? (Ta gjerne utgangspunkt i oppgave 5.25, 4.26 og 4.27) Hjelp til Geogebra kan dere finne i følgende hefte: Det er generelt ganske lurt å bruke Geogebra ved siden av oppgaveløsingen…

24 Oppgave 2 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +3𝑥+2 𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 +𝑥−1 ℎ 𝑥 = 𝑥 2 𝑖 𝑥 = 𝑥 2 −5
Anne har sittet og tegnet opp grafene til fire parabler. Men hun har glemt å føre opp funksjonsuttrykket under grafene, og er nå helt i villrede om hva som er hva! Kan du hjelpe Anne å finne frem til hvilken graf som passer til hvilket uttrykk? 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +3𝑥 𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 +𝑥− ℎ 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑥 = 𝑥 2 −5

25 Oppgave 3 Gitt funksjonen 𝑓 𝑥 =4 𝑥 2 −𝑥−3.
a) Regn ut hvor grafen skjærer x-aksen. b) Hva er x-koordinaten til bunnpunktet? c) Hva er y-koordinaten til bunnpunktet? d) Lag en skisse av grafen.