Sannsynlighetsregning I

Presentasjon om: "Sannsynlighetsregning I"— Utskrift av presentasjonen:

1 Sannsynlighetsregning I
Grunnskolelærerutdanningen 1–7 MAT102 Forelesning 9. januar 2017 Sannsynlighetsregning I Utfallsrom, sannsynlighetsmodeller og store talls lov

2 Misoppfatninger om sannsynlighet
Sannsynlighetsregning regnes som et svært abstrakt område av matematikken. Teorien oppleves som lite håndfast og går ofte mot intuisjonen. I litteraturen er det skrevet en del om folks misoppfatninger omkring sannsynlighetsregning. Ett eksempel som kommer frem i en amerikansk artikkel1, er følgende: Ti dager på rad spår værmeldingen at det er 70 % sannsynlighet for regn. I syv av disse ti dagene kommer det faktisk regn. Elevers reaksjoner pleier da å være at meteorologen ikke spådde dette værvarselet noe godt. Grunnen er at 70 % tolkes som «høy sannsynlighet», og da venter man at varselet skal slå til på hver av de enkelte dagene. 1 Garfield, J.: The challenge of developing statistical reasonling. Journal of Statistics Education 10 (3), 2002.

3 Misoppfatninger om sannsynlighet
En annen utbredt misoppfatning er at hvis man triller en terning tre ganger og får en sekser hver gang, da tror man at man har «brukt opp» en del av sekserne man skal få, og tenker da at det er mindre sannsynlig å få en ny sekser på det fjerde kastet. Dette er et eksempel på sammenblanding av betinget sannsynlighet og sammensetninger. Det stemmer at det er lite sannsynlig å få fire seksere på rad. Men i situasjonen vi befinner oss i, har vi allerede fått tre seksere. Terningen husker ikke at den nettopp har vist tre seksere. Sannsynligheten for å få sekser en fjerde gang er derfor fortsatt Vi skal senere se på akkurat denne distinksjonen. Hvis vi skal trille fire seksere på rad, skal vi finne sannsynligheten for at vi får en sekser alle fire gangene. Den sannsynligheten er = , altså langt mindre enn for å få en sekser på bare én terning.

4 Grunnleggende eksempler
De mest grunnleggende eksemplene i sannsynlighetsregning er følgende: Hvis vi triller en terning, er sannsynligheten for å få en ener, for å få en toer, for å få en treer, osv. (Det er altså ikke vanskeligere å få en sekser enn å få f.eks. en ener.) Hvis vi kaster en mynt, er sannsynligheten for å få mynt, og for å få kron. Vi kan også si at sannsynligheten er 0,5 istedenfor Mange bruker også prosenter: 50 % sannsynlighet. Hvis vi har trillet en terning, og vi har fått en sekser mange ganger på rad, og vi nå skal til å trille terningen igjen, vil mange tenke at sannsynligheten er blitt mindre for å få enda en sekser. Men det er, som nevnt i forrige slide, en misoppfatning. Terningen husker ikke at den har gitt en sekser mange ganger på rad, og sannsynligheten er fortsatt for å få en sekser. På den annen side stemmer det at det er lav sannsynlighet for å få mange seksere på rad, hvis vi skal til å trille terningen for første gang og håper på å få f.eks. 10 seksere på rad. Men det er en helt forskjellig situasjon enn hvis vi allerede har trillet ni seksere og håper på en til.

5 Hva er egentlig sannsynlighet for noe?
Men hva betyr det egentlig at sannsynligheten er 1 6 for å få en firer på terningen, eller 1 2 for å få mynt, eller at værvarslingen meldte at det var 70 % sjanse for regn? Hvis vi kaster en mynt fire ganger og får tre «mynt» og én «kron», betyr det at det er feil at sannsynligheten er 1 2 for å få «mynt» og 1 2 for å få «kron»? Nei. Sannsynlighet betyr at hvis et forsøk blir utført svært mange ganger, da vil etter hvert andelen av de ulike utfallene gå mot de angitte prosentene. Men sannsynligheten sier svært lite om hvordan utfallene etter fire, fem eller seks forsøk vil fordele seg. I regneark (f.eks. Microsoft Excel eller OpenOffice Spreadsheet) er det mulig å simulere terningkast og myntkast (blant mye annet), og der kan man se hvor forskjellig forsøk kan være fra bare 10 forsøk.

6 Store talls lov Det er dette som kalles for «store talls lov», nemlig at utfallet av forsøk i mye større grad vil reflektere sannsynlighetene enn utfallet av bare f.eks. 8 forsøk. Loven må selvsagt skrives på en mye mer presis måte. Dette står oppført som setning 7.24 i Alfa (side 529 i utgave 1, side 589 i utgave 2): Vi gjør et forsøk n ganger (vi regner med at forsøkene er uavhengige), og vi er interessert i begivenheten A. Når vi øker antall forsøk, går den relative frekvensen til A mot sannsynligheten for A. Dette kan vi skrive slik: 𝑓 𝑛 (𝐴) 𝑛 → 𝑃 𝐴 når 𝑛→∞ Dette leser vi slik: Den relative frekvensen (for begivenhet A) går mot sannsynligheten for A når antall forsøk går mot uendelig. Dette er veldig vanskelig å forstå. Men det sier egentlig enkelt sagt at hvis vi triller en terning ganger (altså slik at n=10000) og noterer oss hvor mange seksere vi har fått (altså slik at 𝑓 𝑛 (𝐴) er lik antall seksere), da er 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒 ≈ 1 6 .

7 Store talls lov Store talls lov er egentlig en veldig god og konkret måte å forstå sannsynligheter på, og kan anvendes i praktisk undervisning i skolen. Elever synes gjerne at sannsynlighet er veldig diffust, abstrakt og lite håndfast. Men hvis vi skal forklare elever hva det egentlig vil si at sannsynligheten for å få to seksere på rad er 1 36 , så kan dette forklares ved å si at «Ja, hvis vi prøver å trille to terninger 100 ganger, så betyr det at det bare er omtrent tre ganger at vi kan håpe på å få to seksere». Enda mer konkret kan dette vises i Microsoft Excel eller OpenOffice Spreadsheet: Vi kan simulere kast med to terninger utrolig mange ganger ( kast går uten problemer). Vi kan da la elevene se med egne øyne hvor ofte to seksere dukker opp. Man får også en mye bedre følelse av hvorfor to seksere dukker opp omtrent 3 % av gangene: Det er fordi de andre sidene på terningen må «få lov» til å dukke opp både på den første og den andre terningen. Dette er noenlunde jevnt fordelt utover, og derfor dukker to seksere opp omtrent like ofte som de andre tilfellene. Det er 36 muligheter totalt sett. Altså: to seksere forekommer omtrent 1 36 av gangene.

8 Utfallsrom og sannsynlighetsmodell
I det som følger, vil vi holde oss til en mer formell tilnærming til sannsynlighetsregningen. Når vi driver med sannsynlighetsregning, må vi først definere hva som faktisk kan forekomme (f.eks. hvor mange øyne vi kan få når vi kaster en terning). Dette er det samme som å definere utfallsrommet. Dette høres umiddelbart ut som noe som alltid er gitt, og ikke noe vi er nødt til å ta stilling til. Men dette kan faktisk ofte forekomme som et vanskelig valg. Hvis vi f.eks. spiller rulett på et kasino, og vi har satset penger på «rød 23», da er utfallsrommet ganske stort. Det er {rød 1, svart 2, rød 3, ..., rød 23, svart 24, ...}. Utfallsrommet er veldig stort, og sannsynligheten for "rød 23" er veldig liten. Men hvis vi isteden satser penger på «rød» (altså et hvilket som helst rødt felt), da kan vi definere utfallsrommet til å være {rød, svart, grønn}. Det blir ikke feil å la utfallsrommet være {rød 1, svart 2, rød 3, svart 4, rød 5, …}. Men vi kan i denne situasjonen her forenkle modellen for å gjøre regnestykket enklere. Vi har altså flere muligheter for å definere utfallsrommet. Tilsvarende hvis vi kaster en terning og håper på partall: Vi kan enten la utfallsrommet være {1, 2, 3, 4, 5, 6}, eller la det være {partall, oddetall}. Begge deler er like riktig, men vil gi oss forskjellige regnestykker. Sannsynligheten vi ender opp med til slutt (½), blir alltid det samme.

9 Mengder Én liten bemerkning om hvordan vi skriver utfallsrommene: Utfallsrommet er en mengde. Og en mengde i matematikken er en liste over tall, objekter eller andre mengder, og skrives alltid med krøllparenteser { }, og med komma mellom hvert element. Vi snakker ofte om delmengder av mengder, og vi kan f.eks. skrive at 1, 2, 3 ⊂ {1, 2, 3, 4}. Vi kan ta unionen av to mengder, og vi kan da si at f.eks. 1, 2, 3 ∪ {1, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. Vi kan også ta snittet av to mengder, og vi kan da si at f.eks. 1, 2, 3 ∩{1, 4, 5} = {1}.

10 Utfallsrom og sannsynlighetsmodell (forts.)
Når vi velger oss et utfallsrom, er det visse krav som skal være oppfylt: Utfallsrommet skal inneholde alle mulige utfall som forsøket kan gi. Utfallsrommet skal være slik at bare ett element av utfallsrommet kan sies å være resultatet av forsøket. Eksempel: Rulett der vi satser på «rød», og utfallsrommet er {rød, svart, grønn}: Vi ser at vi kan enten få rød, svart eller grønn. Og vi ser at (b) også er oppfylt (vi kan f.eks. ikke få rød og svart samtidig). Eksempel: Rulett der vi satser på «rød», og utfallsrommet er {rød 1, svart 2, rød 3, svart 4, rød 5, …} Dette er litt flisespikkeri, men det ser ut som om krav (b) ikke er oppfylt i dette tilfellet. Men det som skjer her, er at «rød» egentlig betyr «rød 1 eller rød 3 eller rød 5 eller ...». Så det er flere forskjellige utfall som er ønsket resultat her. Vi har bare gitt dem fellesbetegnelsen «rød». Eksempel på noe som ikke er et utfallsrom: Terning der vi ser på {≥𝟐 ø𝐲𝐧𝐞, ≤𝟑 ø𝐲𝐧𝐞} Dette er ikke et utfallsrom, fordi hvis vi får tre øyne på terningen, så er dette dekket av både «≥2 øyne» og «≤3 øyne». Eksempel på noe som ikke er et utfallsrom: Terning der vi ser på {1, 2, 3, 4, 5} Hvis vi får seks øyne på terningen, er det ikke dekket her.

11 Utfallsrom og sannsynlighetsmodell (forts.)
Når vi snakker om sannsynlighetsmodeller, har vi en liste over mulige utfall, og vi har tilordnet en sannsynlighet til hvert utfall. (Merk at dette bare er modeller. Det kan være at sannsynlighetene egentlig ikke er riktige i forhold til virkeligheten. Men i utregningene bryr vi oss bare om at de høres noenlunde rimelige ut.) F.eks.: Kast med en terning. Utfallsrommet er {1, 2, 3, 4, 5, 6}, og sannsynligheten er 1 6 for hvert av utfallene. Disse sannsynlighetene har en del krav som skal være oppfylt. På neste slide presenterer vi definisjonen på sannsynlighetsmodell.

12 Sannsynlighetsmodell
Definisjon på sannsynlighetsmodell: La 𝑈= 𝑢 1 , 𝑢 2 , …, 𝑢 𝑚 være et utfallsrom slik at det for hver begivenhet 𝐴⊆𝑈 er definert en sannsynlighet 𝑃(𝐴). Da er U sammen med disse sannsynlighetene en sannsynlighetsmodell hvis følgende betingelser er oppfylt: For en vilkårlig begivenhet A er 0≤𝑃 𝐴 ≤1, 𝑃 𝑈 =1, dvs. at vi er helt sikre på å få ett av utfallene i utfallsrommet. For en begivenhet, for eksempel 𝐴= 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , er 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑢 1 +𝑃 𝑢 2 +𝑃 𝑢 3 . Det vil si at sannsynligheten for en begivenhet A er lik summen av sannsynlighetene til hvert av utfallene i A. Matematikkordliste: Forsøk: f.eks. å kaste en mynt, å kaste en terning, trekke et kort, osv. Utfallsrom: en mengde som inneholder alle mulige utfall som forsøket kan gi. NB: I et utfallsrom kan bare ett utfall skje om gangen. Begivenhet: en hendelse som kan inneholde flere utfall, f.eks. i terningkast: {terningen viser antall større enn 3} eller {terningen viser et oddetall}