Forelesning 13 Are Raklev.

Presentasjon om: "Forelesning 13 Are Raklev."— Utskrift av presentasjonen:

1 Forelesning 13 Are Raklev

2 Ukens program Mandag: repetisjon, bundne- og spredningstilstander, fri partikkel. (Avsnitt 2.4 & 2.5 i Griffiths) Torsdag: Partikkel i endelig brønn/boks. (Avsnitt 2.6 i Griffiths) Kollokvium: om “Harmonisk Oscillator”. Gruppetimer: arbeid med Oblig 6 + Oppgave fra Griffiths. / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

3 Kort repetisjon Lokalt kan potensialer nær et minimum tilnærmes ved en harmonisk oscillator (HO): TUSL løsninger for HO kan konstrueres med stigeoperatorer: 𝑉 𝑥 = 1 2 𝑘𝑥 2 = 1 2 𝑚 ω 2 𝑥 2 𝑎 ˆ + ≡ 1 2ℏ𝑚ω −𝑖 𝑝 ˆ +𝑚ω 𝑥 ˆ 𝑎 ˆ − ≡ 1 2ℏ𝑚ω +𝑖 𝑝 ˆ +𝑚ω 𝑥 ˆ / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

4 Kort repetisjon Hamiltonoperatoren kan skrives og en en generell TUSL løsning som hvor grunntilstanden ψ0 finnes fra 𝐻 ˆ =ℏω  𝑎 ˆ + 𝑎 ˆ −  ψ 𝑛 = 1 𝑛! 𝑎 ˆ + 𝑛 ψ 0 , 𝐸 𝑛 =ℏω 𝑛+ 1 2  ,𝑛=0,1,2,… 𝑎 ˆ − ψ 0 =0⇒ ψ 0 =  𝑚ω πℏ  𝑒 − 𝑚ω 2ℏ 𝑥 2 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

5 Kort repetisjon Analytisk løsning av HO TUSL viser at energikvantiseringen er en konsekvens av grensebetingelser (oppførsel når |x|→∞). HO TUSL løsninger kan også skrives ved hjelp av Hermite polynomer Hn: ψ 𝑛 𝑥 = 𝑚ω πℏ 𝑛! 𝐻 𝑛 2 ξ 𝑒 − 1 2 ξ 2 ,ξ= 𝑚ω ℏ 𝑥 [Hn definisjon i Rottmann] ψ 𝑛 𝑥 = 𝑚ω πℏ 𝑛 𝑛! 𝐻 𝑛 ξ 𝑒 − 1 2 ξ 2 ,ξ= 𝑚ω ℏ 𝑥 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

6 I dag Bundne tilstander og spredningstilstander. Fri partikkel.
Neste episode i serien “Løsninger av SL”: δ-funksjonspotensiale. Om vi får tid...hvis ikke på torsdag. / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

7 Oppsummering Bundne tilstander har E < V(∞) og E < V(-∞).
I praksis reskaleres V(x) slik at E < 0 er tilstrekkelig. Alle andre tilstander er spredningstilstander. Spredningstilstander kvantiserer ikke energien med grensebetingelser. Løsningen av TASL blir Ψ 𝑥,𝑡 = 1 2π −∞ ∞ ϕ 𝑘 𝑒 𝑖 𝑘𝑥−ω 𝑘 𝑡 𝑑𝑘 ϕ 𝑘 = 1 2π −∞ ∞ 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 Ψ 𝑥,0 𝑑𝑥 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

8 Oppsummering For innkommende Aeikx, reflektert Be-ikx og transmitert bølge Feikx er transmisjons- (T) og refleksjonskoeffisienten (R): δ-funksjonen er ingen funksjon. Den er en fordeling med egenskapene: 𝑇= ∣𝐹∣ 2 ∣𝐴∣ 2 ,𝑅= ∣𝐵∣ 2 ∣𝐴∣ 2 δ 𝑥 = 0for𝑥≠0 ∞for𝑥=0 ,slik at −∞ ∞ δ 𝑥 𝑑𝑥=1 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk