Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456,

Presentasjon om: "Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456,"— Utskrift av presentasjonen:

1 Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no
Forelesning 11 Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456,

2 Ukens program Mandag: repetisjon, Harmonisk oscillator, del I. (Avsnitt i Griffiths) Tirsdag: Harmonisk oscillator, del II. (Avsnitt i Griffiths) Onsdag: gjennomgang av Oblig 5 + Oppgave 2.8 fra Griffiths. Torsdag & fredag: arbeid med Oblig 6 + Oppgave fra Griffiths. / Are Raklev / FYS2140

3 Viktig melding! Sett navn, kandidatnummer og gruppenummer på obliger!
(i alle fall navn frem til vi får lagt inn alle leverte obliger på elektronisk liste) / Are Raklev / FYS2140

4 Kort repetisjon Postulat: til alle observable A finnes det en (hermitisk) operator  (hermitisk: <Â>* = <Â>). Postulat: bare egenverdier a til Â, Âψ = aψ, kan være resultat av enkeltmålinger. Forventningsverdien til observabel Q kan gis ved operatorene til kanoniske variable x og p: Hermitisk operator: 𝑄 𝑥,𝑝 = ∫ −∞ ∞ ψ ∗ 𝑄 ˆ 𝑥,−𝑖ℏ ∂ ∂𝑥  ψ𝑑𝑥≡〈ψ| 𝑄 ˆ ψ〉 𝑄 ˆ ≡〈ψ| 𝑄 ˆ ψ〉=〈 𝑄 ˆ ψ|ψ〉 / Are Raklev / FYS2140

5 Kort repetisjon Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at
Dette følger fra den generelle uskarphetsrel hvor [A,B] = AB-BA er kommutatoren mellom operatorene til observablene A og B og σ 𝑝 σ 𝑥 ≥ ℏ 2 σ 𝐴 2 σ 𝐵 2 ≥ 1 2i 〈[ 𝐴 ˆ , 𝐵 ˆ ]〉 2 [ 𝑥 ˆ , 𝑝 ˆ ]=𝑖ℏ / Are Raklev / FYS2140

6 Kort repetisjon SL løses ved separasjon av variable Ψ(x,t) = ψ(x)φ(t). Løsningene er stasjonære tilstander. Stasjonære tilstander har skarp energi. Sannsynlighetstetthet og forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Vi løser først den tids-uavhengige SL (TUSL) Hψ(x) = Eψ(x), der H er Hamiltonoperatoren. Grensebetingelsene sier at ψ (og den deriverte der potensialet |V(x)| < ∞) må være kontinuerlige). / Are Raklev / FYS2140

7 Kort repetisjon Fra grensebetingelsene får man et uendelig sett løsninger ψn(x), egenfunksjoner til H, med tilhørende energier En. Egenfunksjonene er ortogonale og komplette. Den tids-avhengige SL (TASL) er da gitt ved hvor cn finnes fra initialbetingelsen Ψ(x,0) Ψ 𝑥,𝑡 = ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑐 𝑛 ψ 𝑛 𝑥 𝑒 − 𝑖 ℏ 𝐸 𝑛 𝑡 𝑐 𝑛 = ∫ −∞ ∞ ψ 𝑛 ∗ 𝑥 Ψ 𝑥,0 𝑑𝑥 / Are Raklev / FYS2140

8 I dag Hvorfor “alt” egentlig er harmoniske oscillatorer.
Neste episode i serien “Løsninger av SL”: Harmonisk oscillator potensiale. Algebraisk metode. / Are Raklev / FYS2140

9 Stigeoperatorer 𝑎 + ˆ ≡ 1 2ℏ𝑚ω −𝑖 𝑝 ˆ +𝑚ω 𝑥 ˆ
𝑎 + ˆ ≡ 1 2ℏ𝑚ω −𝑖 𝑝 ˆ +𝑚ω 𝑥 ˆ 𝑎 − ˆ ≡ 1 2ℏ𝑚ω +𝑖 𝑝 ˆ +𝑚ω 𝑥 ˆ / Are Raklev / FYS2140

10 Solvay Conference 1927 Heisenberg Schrödinger Pauli Bragg Dirac
Compton Bohr de Broglie Planck Curie Lorentz Einstein / Are Raklev / FYS2140

11 Oppsummering Lokalt kan (nesten) alle potensialer tilnærmes ved en harmonisk oscillator. Den enkleste løsningen for en kvantemekanisk harmonisk oscillator er den algebraiske: TUSL løsninger konstrueres med stigeoperatorer: Og har energi: ψ 𝑛+1 = 1 𝑛+1 𝑎 + ψ 𝑛 , ψ 𝑛−1 = 1 𝑛 𝑎 − ψ 𝑛 𝐸 𝑛 = 𝑛+ 1 2  ℏω,𝑛=0,1,2,… / Are Raklev / FYS2140