Forelesning 17 Are Raklev.

Presentasjon om: "Forelesning 17 Are Raklev."— Utskrift av presentasjonen:

1 Forelesning 17 Are Raklev

2 Ukens program Mandag: repetisjon, Kvantemekanikk i tre dimensjoner. (Avsnitt 4.1 i Griffiths) Torsdag: Hydrogenatomet. (Avsnitt 4.2 i Griffiths) Kollokvium: “Spredning”. Gruppetimer: Oblig 8 + tilleggsoppgave 2.32. OBS! Ingen ny oblig neste uke (hjemmeeksamen uken etter). / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

3 Kort repetisjon Spredningstilstander kan gi oss tunnelering.
Noen eksempler på bruk av tunnelering: Radioaktivt α-henfall. Scanning Tunneling Microscope (STM). Flatskjermer (plasma) og annen mikroelektronikk. / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

4 Kort repetisjon En kvantemekanisk tilstand beskrives av en tilstand |Ψ〉. I koordinatbasis er dette vår vanlige bølgefunksjon Ψ(x) (en komponent for hver verdi av x). Hver observabel A representeres ved en hermitisk operator Â. Måleverdier a er alltid egenverdier for operatoren: 𝐴 ψ 𝑎 = 𝑎 ψ 𝑎 . / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

5 Kort repetisjon Etter målingen er systemet i en egentilstand svarende til den målte egenverdien. (Tilstanden/bølgefunksjonen “kollapser”.) Sannsynligheten Pa for å observere en gitt egenverdi a er gitt ved (absoluttkvadratet av) tilstandens komponent langs egentilstanden: ∣Ψ = 𝑐 𝑎 ∣ ψ 𝑎 , 𝑃 𝑎 = ∣ 𝑐 𝑎 ∣ 2 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

6 I dag Vi tar vår formalisme og går fra en til tre dimensjoner.
Lite med nye begreper. Mer komplisert matematikk. / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

7 Sfæriske koordinater 𝑥=𝑟cosφsinθ 𝑦=𝑟sinφsinθ 𝑧=𝑟cosθ 𝑟∈ 0,∞ θ∈ 0,π
φ∈ 0,2π 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧= 𝑟 2 sinθ𝑑𝑟𝑑θ𝑑ϕ / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

8 Legendre polynomer 𝑃 𝑙 𝑥 ≡ 1 2 𝑙 𝑙!  𝑑 𝑑𝑥  𝑙 𝑥 2 −1 𝑙 𝑃 0 𝑥 =1
𝑃 𝑙 𝑥 ≡ 1 2 𝑙 𝑙!  𝑑 𝑑𝑥  𝑙 𝑥 2 −1 𝑙 𝑃 0 𝑥 =1 𝑃 1 𝑥 =𝑥 𝑃 2 𝑥 = x 2 −1 𝑃 3 𝑥 = x 3 −3x / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

9 Assosierte Legendre funksjoner
𝑃 𝑙 𝑥 ≡ 1 2 𝑙 𝑙!  𝑑 𝑑𝑥  𝑙 𝑥 2 −1 𝑙 𝑃 0 0 cosθ =1 𝑃 1 0 cosθ =cosθ 𝑃 𝑙 𝑚 𝑥 ≡ 1− 𝑥 2 ∣𝑚∣ 2  𝑑 𝑑𝑥  ∣𝑚∣ 𝑃 𝑙 𝑥 𝑃 1 1 cosθ =sinθ 𝑃 2 0 cosθ = cos 2 θ−1 𝑃 2 1 cosθ =3sinθcosθ 𝑃 2 2 cosθ =3 sin 2 θ / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

10 Underveisevaluering Noen spørsmål om undervisningen:
Hvordan er tempoet på forelesningene? Går vi for fort, eller for sakte frem? Er det tid nok til å stille spørsmål? Hvordan fungerer kollokvium på fredager? Er det noe som bør endres? Hvordan synes du om programmerings- kompendiet? Forslag til forbedringer? Andre kommentarer & idéer. / Are Raklev / FYS Kvantefysikk

11 Oppsummering SL lar seg lett generalisere til tre dimensjoner fra den klassiske energien: For et sentralsymmetrisk potensiale, V(r), er det naturlig å bruke sfæriske koordinater. Vi løser SL ved å se etter separable løsninger av formen Ψ(r) = R(r)Y(θ,φ). Løsningene Y(θ,φ) er sfæriske harmoniske. − ℏ 2 2m ∇ 2 Ψ+𝑉Ψ=𝑖ℏ ∂Ψ ∂𝑡 / Are Raklev / FYS Kvantefysikk