Operasjonsanalytiske emner Del 5 Transportmodeller Med variasjoner LP modeller for transportproblemer BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Innledning Transportmodeller representer problemer der en skal transportere f.eks. varer fra en kilde (lager, fabrikk, etc.) til et bestemmelsessted (f.eks. kunder). En vanlig måte å beskrive slike problemer er ved hjelp av nettverk. Et nettverk består av noder og greiner. Nodene angis med sirkler og representerer ofte ressurser og behov. Greiene angir mulige koblinger mellom nodene. Nettverket er en prinsippskisse, og angir for eksempel ikke geografiske proporsjoner. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Nettverk Behovsnoder Tilbudsnoder Node 4 1 5 2 6 3 7 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Symboler Parametere: Beslutningsvariabler: l Antall tilbudsnoder k Antall kundenoder L Mengden av tilbudsnoder L = {1,2, …,l} K Mengden av kundenoder K = {l+1, …, l+k} G Mengden av greiner G = {(L×K)} ai Kapasitet hos kilde i i {L} bj Behov hos kunde j j {K} cf,t Enhetskostnad fra node f til node t (f,t) {G} Beslutningsvariabler: Xf,t Antall enheter sendt av varen fra node f til node t (f,t) {G} BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Eksempel på et transportproblem MG Auto har tre fabrikker i Los Angeles, Detroit og New Orleans. De skal forsyne to distribusjonssentra i Denver og Miami. Transportkostnader Denver Miami Kapasitet Los Angeles 80,- 215,- 1000 Detroit 100,- 108,- 1500 New Orleans 102,- 68,- 1200 Behov 2300 1400 En ønsker å dekke behovet på billigste måte, samtidig som kapasitetene ikke må overskrides. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Nettverk Node 1 2 3 4 5 Bilfabrikk Distribusjonssenter Los Angeles Detroit New Orleans a1 = 1000 a2 = 1500 a3 = 1200 Denver b4 = 2300 Miami b5 = 1400 c1,4 = 80,- c1,5 = 215,- c2,4 = 100,- c2,5 = 108,- c3,4 = 102,- c3,5 = 68,- X1,4 = ? Hvor mye skal transporteres fra de ulike bilfabrikkene til de ulike distribusjonssentraene, slik at kostnadene blir minst mulig? BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av pris∙mengde (cf,t∙Xf,t) for alle greiner i nettverket. Alternativ formulering: Merk at minimering av kostnader forutsetter at inntektene ikke påvirkes av beslutningene. For å unngå den trivielle null-løsningen (ikke transportere noe), så må en dessuten anta at leveringsrestriksjonene enten er «=» eller «». Min Z= 80 X1,4 + 215 X1,5 + 100 X2,4 + 108 X2,5 + 102 X3,4 + 68 X3,5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (fL) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, må minst dekke behovet noden har, bj. Kravet gjelder for alle behovsnoder (jK). Alternativ formulering: Denver: X14 + X24 + X34 ≥ 2300 Sum leveranser til node 4 Miami: X15 + X25 + X35 ≥ 1400 Sum leveranser til node 5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (tK) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (iL). Alternativ formulering: Los Angeles: X14 + X15 ≤ 1000 Sum levert fra node 1 Detroit: X24 + X25 ≤ 1500 Sum levert fra node 2 New Orleans: X34 + X35 ≤ 1200 Sum levert fra node 3 Ikke-negativitetsbetingelsene: Xf,t ≥ 0 for alle (f,t)G BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

LP-formulering på tabellform Node X1,4 X1,5 X2,4 X2,5 X3,4 X3,5 RHS Obj 80 215 100 108 102 68 Min 1 ≤ 1000 2 ≤ 1500 3 ≤ 1200 4 ≥ 2300 5 ≥ 1400 ≥ 0 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Regneark med layout lik LP modell Samme formel kopieres til alle restriksjonene Celle Formel Kopieres til I4 =SUMPRODUCT($C$3:$H$3;C4:H4) I5:I9 Her er regnearket organisert med lay-out identisk LP-modellen. Linje 3 angir verdien til beslutningsvariablene (kolonne C:H) Linje 4 angir koeffisientene i målfunksjonen (objective) Linje 5:7 angir restriksjonene for node 1-3 (fabrikker) Linje 8:9 gir det restriksjonene for node 4-5 (distribusjonslager) Kolonne I angir venstresiden av restriksjonene, samt totalverdien av målfunksjonen. Kolonne K angir høyresiden av restriksjonene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Regneark organisert rundt dataene Her er tabellen med data kopiert for å gi plass til beslutningsvariablene, restriksjonene, og målfunksjonen. Celle Formel Kopieres til E11 =SUM(C11:D11) E12:E13 E14 =SUMPRODUCT(C4:D6;C11:D13) - C14 =SUM(C11:C13) D14 LP modellen er nøyaktig den samme. Men lay-out er tilpasset problemet, og organisert rundt dataene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Kjennetegn ved nettverk Om vi ser på vår figur, kan vi oppsummere følgende: Vi har en beslutningsvariabel for hver grein (Xft) Vi har en restriksjon for hver node; kapasitetsrestriksjoner for alle lagernoder behovsrestriksjoner for alle kundenoder En effektiv måte å organisere regnearket er derfor å lage to tabeller: En tabell for beslutningsvariablene (greinene) En tabell for restriksjonene (nodene) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Regneark organisert som nettverk En tabell for greinene En tabell for nodene Celle Formel Kopieres til F9 =SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8) - J3 =SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8) J4:J5 J7 =SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8) J8 B3 =INDEX($I$3:$I$8;MATCH(C3;$H$3:$H$8;0)) &" -> " &INDEX($I$3:$I$8;MATCH(D3;$H$3:$H$8;0)) B4:B8 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Transportmodell – AMPL formulering # DEFINERE INDEKSER/DIMENSJON set L; # mengdenavn for lager/produsenter set K; # mengdenavn for kunder/distribusjonssentra set G=(L cross K); # mengdenavn for greiner # DEFINERE PARAMETRE param a{L}>=0; # a - lagerkapasitet hos lager L (produsenter) param b{K}>=0; # b - behov hos kunde K (distribusjonssentra) param c{G}>=0; # c - transportkostnad langs greinene # DEFINERE VARIABLER var X{G}>=0; # X - transportkvanta langs greinene # DEFINERE MÅLFUNKSJONEN minimize Kost: sum {(a,b) in G} c[a,b] * X[a,b]; # Sum kostnader langs alle greinene # DEFINERE RESTRIKSJONENE subject to Kbehv {j in K}: # For alle kunder j: sum {i in L} X[i,j] >= b[j]; # Sum mottatt fra alle lager i = behovet subject to Lkap {i in L}: # For alle lager i: sum {j in J} X[i,j]<= a[i]; # Sum levert til alle kunder j <= kapasiteten BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Balansering av nettverksmodeller Når totalt tilbud er lik total etterspørsel, har vi en balansert transportmodell. Restriksjonene kan da være på likhetsform (=). Hvis totalt tilbud overstiger total etterspørsel, vil det alltid finnes en mulig løsning. Vi vil da ikke benytte full kapasitet i tilbudsnodene. Vi kan da la etterspørselsnoder ha restriksjoner på formen ≥. Hvis totalt tilbud er mindre enn total etterspørsel, har vi et uløselig problem, om målfunksjonen er minimering. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Restordrer Om totalt tilbud ikke kan dekke total etterspørsel, må vi innføre restordrer, hvis målfunksjonen er minimering. For maksimeringsproblem bestemmes restordrer automatisk, vi leverer ikke til de minst lønnsomme kundene. Minimeringsproblemer må løses i to trinn: Først minimeres totalt antall restordrer. Så minimeres kostnadene, men slik at totalt antall restordrer ikke overstiger minimum restordrer totalt. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Eksempel på underkapasitet MG Auto har tre fabrikker i Los Angeles, Detroit og New Orleans. De skal forsyne to distribusjonssentra i Denver og Miami. Transportkostnader Denver Miami Kapasitet Los Angeles 80,- 215,- 1000 Detroit 100,- 108,- 1300 New Orleans 102,- 68,- 1200 Behov 2300 1400 En ønsker å dekke mest mulig av behovet på billigste måte, samtidig som kapasitetene ikke må overskrides. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 1 – Minimere restordrer Målfunksjon: Minimer mengde restordrer totalt for alle kunder (jK). Alternativ formulering: Variabelen Rj angir altså restordrer til kunde j. Om restordrer er «gratis», så vil all etterspørsel bli restordrer. For å unngå en slik null-løsning må vi sette som betingelse at sum leveranser + restordrer minst tilsvarer etterspørselen, for hver kunde. Min W = R4 + R5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 1 – Minimere restordrer Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (fL) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, pluss restordrer, må minst dekke behovet noden har, bj. Kravet gjelder for alle behovsnoder (jK). Alternativ formulering: Denver: X14 + X24 + X34 + R4 ≥ 2300 Sum leveranser til node 4, inklusive restordrer Miami: X15 + X25 + X35 + R5 ≥ 1400 Sum leveranser til node 5, inklusive restordrer BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 1 – Minimere restordrer Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (tK) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (iL). Alternativ formulering: Los Angeles: X14 + X15 ≤ 1000 Sum levert fra node 1 Detroit: X24 + X25 ≤ 1300 Sum levert fra node 2 New Orleans: X34 + X35 ≤ 1200 Sum levert fra node 3 Ikke-negativitetsbetingelsene: Xf,t ≥ 0 for alle (f,t)G, og Rj ≥ 0 for alle j K. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader I trinn 1 har vi funnet den løsning som dekker mest mulig av behovet, dvs. vi har funnet minimum mengde restordrer. Kall optimal verdi på målfunksjonen W*. Men vi har så langt ignorert kostnadene. Den løsningen vi har funnet i trinn 1 kan altså være en løsning som gir svært høye kostnader, og det er mulig at det finnes løsninger med lavere kostnad som har samme mengde restordrer. I trinn 2 skal vi derfor forsøke å finne alternative løsninger med samme total mengde restordrer W*, men som har en lavere kostnad. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader Målfunksjon: Minimer totalsummen av pris∙mengde (cf,t∙Xf,t) for alle greiner i nettverket. Alternativ formulering: Merk at minimering av kostnader forutsetter at inntektene ikke påvirkes av beslutningene. For å unngå den trivielle null-løsningen (ikke transportere noe), så må en dessuten anta at leveringsrestriksjonene enten er «=» eller «». Min Z = 80 X1,4 + 215 X1,5 + 100 X2,4 + 108 X2,5 + 102 X3,4 + 68 X3,5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (fL) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, pluss restordrer, må minst dekke behovet noden har, bj. Kravet gjelder for alle behovsnoder (jK). Alternativ formulering: Denver: X14 + X24 + X34 + R4 ≥ 2300 Sum leveranser til node 4, inklusive restordrer Miami: X15 + X25 + X35 + R5 ≥ 1400 Sum leveranser til node 5, inklusive restordrer BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (tK) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (iL). Alternativ formulering: Los Angeles: X14 + X15 ≤ 1000 Sum levert fra node 1 Detroit: X24 + X25 ≤ 1300 Sum levert fra node 2 New Orleans: X34 + X35 ≤ 1200 Sum levert fra node 3 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum restordrer må være mindre eller lik minimum sum restordrer totalt. Alternativ formulering: R4 + R5 ≤ W* Sum restordrer til node 4 og node 5 Ikke-negativitetsbetingelsene: Xf,t ≥ 0 for alle (f,t)G, og Rj ≥ 0 for alle j K. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 1 – Minimere restordrer Celle Formel Kopieres til F9 =SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8) - J3 =SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8) J4:J5 J7 =SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8) J8 K9 =SUM(K7:K8) L7 =J7+K7 L8 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Trinn 2 – Minimere kostnader Celle Formel Kopieres til F9 =SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8) - J3 =SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8) J4:J5 J7 =SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8) J8 K9 =SUM(K7:K8) L7 =J7+K7 L8 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Ubalanserte nettverksmodeller Generelt sett er det umulig på forhånd å bestemme om en nettverksmodell har en balansert løsning. Det kan f.eks. skyldes at total kapasitet deles på flere ulike produkter, og en kan derfor ikke på forhånd vite hvor mye kapasitet som er tilgjengelig for de ulike produktgruppene. Det kan også skyldes svinn underveis langs greinene (f.eks. transport av gass i en rørledning), og det er umulig å vite hvor stort svinnet er før en vet hvordan transporten skal foregå. Hvis en modell ikke lar seg løse uten restordrer må en altså i ettertid modifisere modellen og løse den i to trinn. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Transport over tid (lager) Boralis produserer ryggsekker, og bruker deltids- ansatte for å tilpasse produksjonen til sesong- etterspørselen. Måned Mars April Mai Juni Etterspørsel 100 200 180 300 Kapasitet 50 280 270 Variable produksjonskostnader er kr. 40,- pr. sekk. Lagerkostnader er kr. 0,50 pr. sekk pr. måned. Etterleveringskostnader er kr. 2,- pr. sekk pr. måned. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Nettverk – Transport over tid (lager) Mars April Mai Juni IB lager IB lager IB lager IB lager Tilgang Tilgang Tilgang Tilgang Pro-duksjon Pro-duksjon Pro-duksjon Pro-duksjon Salg Salg Salg Salg Etter-spørsel Etter-spørsel Etter-spørsel Etter-spørsel U-dekket U-dekket U-dekket U-dekket BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Symboler Parametere: Beslutningsvariabler: Xt Etterspørsel i periode t Kt Produksjonskapasitet i periode t c Enhetskostnad pr. produsert enhet l Lagerkostnad pr. enhet pr. periode b Etterleveringskostnad pr. enhet pr. periode IBXt Inngående lagerbeholdning periode t UBXt Utgående lagerbeholdning periode t IBEt Inngående udekket etterspørsel periode t UBEt Utgående udekket etterspørsel periode t Beslutningsvariabler: Xt Antall enheter produsert i periode t St Antall enheter solgt i periode t BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av produksjonskostnader, lagerkostnader og etterleveringskostnader i hele planperioden. Alternativ formulering: Antar at lager- og etterleveringskostnader er forbundet med overførsel fra en periode til neste. (Kunne også bruk gjennomsnittslager, e.l.) Min Z = 40 X3 + 40 X4 + 40 X5 + 40 X6 + 0,5 UBX3 + 0,5 UBX4 + 0,5 UBX5 + 0,5 UBX6 + 2 UBE3 + 2 UBE4 + 2 UBE5 + 2 UBE6 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Produsert mengde må være mindre eller lik kapasiteten. Kravet gjelder i alle perioder. Merk at når produksjon og salg er fastsatt, så er størrelsen på lageret entydig definert. Disse likhetsrestriksjonene som definerer lager kan i regnearket derfor angis som formler, istedenfor å angi de som beslutningsvariabler. Mars X3 ≤ 50 Produksjon mars April X4 ≤ 180 Produksjon april Mai X5 ≤ 280 Produksjon mai Juni X6 ≤ 270 Produksjon juni IB lager + produksjon – salg = UB lager UB lager forrige periode = IB lager inneværende periode BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: IB udekket etterspørsel + ny etterspørsel – salg = UB udekket etterspørsel UB udekket etterspørsel forrige periode = IB udekket etterspørsel inneværende periode Vi må også ha restriksjoner som sikrer at salget ikke overstiger lageret, og at salget ikke overstiger etterspørselen. Dette kan vi ta hensyn til ved å kreve at UB lager skal være ikke-negativ (da forhindrer vi at salget overstiger IB lager + produksjon), og ved å kreve at UB udekket etterspørsel skal være ikke-negativ (da forhindrer vi at salget overstiger IB udekket etterspørsel + ny etterspørsel). Ikke-negativitetsbetingelsene: Xt, St, UBXt, UBEt ≥ 0 for alle t. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: UB udekket etterspørsel ved utgangen av planperioden = sum etterspørsel – sum produksjonskapasitet, hvis dette er større enn 0, ellers 0. Denne restriksjonen er bare nødvendig ved minimeringsproblem, for å forhindre null-løsningen. Denne betingelsen sikrer at så mye som mulig av etterspørselen dekkes. Ved maksimeringsproblem er denne betingelsen overflødig, modellen vil da automatisk dekke så mye av etterspørselen som det er lønnsomt å dekke. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Lagermodell løst i regneark Celle Formel Kopieres til D3 =C6 E3:F3 C6 =C3+C4-C5 D6:F6 D7 =C9 E7:F7 C9 =C7+C8-C5 D9:F9 Celle Formel Kopieres til C12 =$A$12*C4 D12:F12 C13 =$A$13*C3 D13:F13 C14 =$A$14*C9 D14:F14 Celle Formel F15 =SUM(C12:F14) F11 =MAX(SUM(C8:F8)-SUM(C10:F10);0) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Transport over tid (verktøykapasitet) Arkansas Pacific driver et sagbruk. Sagbladene slites avhengig av type tømmer og mengde som sages. Daglig behov for nyslipte sagblad er som følger: Ukedag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag Behov 24 12 14 20 18 22 Behovet kan dekkes på fire ulike måter: Kjøpe nye blad til en kostnad av kr. 12,- pr. stk. Sliping over natten, kr. 6,- pr. stk. Sliping neste dag, kr. 5,- pr. stk. Sliping over to dager, kr. 3,- pr. stk. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Oversikt i regneark BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Symboler Parametere: Beslutningsvariabler: cn Enhetskostnad for nye sagblad co Enhetskostnad for slipte blad over natten c1 Enhetskostnad for slipte blad over 1 dag c2 Enhetskostnad for slipte blad over 2 dager Bt Behov for sagblad dag t Kt Kapasitet, tilgjengelige nyslipte sagblad dag t St Avgang, til sliping etter dag t Rt Totalt antall sagblad innkjøpt , inkludert dag t Strengt tatt ikke parametere, siden de er funksjoner av beslutnings-variablene. Beslutningsvariabler: XNt Antall nye sagblad innkjøpt dag t (morgen) XOt Antall sagblad levert til sliping over natten, dag t (kveld) X1t Antall sagblad levert til sliping over en dag, dag t (kveld) X2t Antall sagblad levert til sliping over to dager, dag t (kveld) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av nye sagblad og sliping av gamle sagblad i hele perioden. Alternativ formulering: Min Z = 12 XN1 + 12 XN2 + 12 XN3 + 12 XN4 … + 12 XNT + 6 XO1 + 6 XO2 + 6 XO3 + 6 XO4 + 6 XOT + 5 X11 + 5 X12 + 5 X13 + 5 X14 + 5 X1T + 3 X21 + 3 X22 + 3 X23 + 3 X24 + 3 X2T BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Tilgjengelige sagblad er nye blad, blad til sliping over natten fra dagen før, til sliping over en dag fra to dager før, og blad til sliping over to dager fra tre dager før. K1 = XN1 K2 XN2 + XO1 K3 XN3 + XO2+ X11 K4 XN4 + XO3+ X12+ X21 K5 = XN5 + XO4+ X13+ X22 K6 XN6 + XO5+ X14+ X23 : Antall tilgjengelige sagblad må minst dekke behovet K1  24 Mandag K2 12 Tirsdag K3 14 Onsdag K4 20 Torsdag K5  18 Fredag K6 14 Lørdag K7 22 Søndag K8 24 Mandag BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Sagblad til sliping er blad til sliping over natten; blad til sliping over en dag, fra i dag og i går; og blad til sliping over to dager, fra de tre siste dager. S1 = XO1 + X11+ X21 S2 XO2 + X12 + X11+ X22+ X21 S3 XO3 + X13 + X12+ X23+ X22 + X21 S4 XO4 + X14 + X13+ X24+ X23 + X22 S5 = XO5 + X15 + X14+ X25+ X24 + X23 : Antall innkjøpte sagblad fram til tidspunkt t R1 = XN1 R2 XN1+ XN2 R3 = XN1+ XN2+ XN3 : BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Matematisk formulering Restriksjoner: Antall sagblad til sliping kan ikke overstige antall sagblad innkjøpt totalt. Ikke-negativitetsbetingelsene: XNt , XOt, X1t , X2t ≥ 0 for alle t BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

LP modell for sagbladbehov BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Tidshorisont Merk at løsningen er avhengig av formuleringen. Ved kostnadsminimering vil en ende opp med minst mulig kapasitet ved enden av tidshorisonten. Av løsningen ser vi at oppstartsuken er kostbar, da må alle nyinnkjøp foretas. Vi ser også at siste uke (før nedleggelse) er svært rimelig, da lar vi være å slipe sagblad som vi ikke lenger skal bruke. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Kort tidshorisont En modell for bare en uke (oppstart) vil ikke være representativ for normal drift. Om det ikke legges til restriksjoner for å sikre framtidig kapasitet, vil en måtte gjenta oppstartuken hver gang, eller legge ned etter en uke. Om en legger inn restriksjoner som sikrer kapasitet neste arbeidsdag (mandag), så vil det ikke ta fullt hensyn til de påfølgende dagene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Drift i kun en uke BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

En ukes drift, klargjort for neste Krever alle sagblad nyslipte BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Tilordningsproblemet I tilordningsproblemer skal en f.eks. fordele hjelpemidler på oppgaver som skal løses. Hjelpemidlene/fasilitetene kan bare utføre én oppgave, og kan ikke deles. Et eksempel kan være å fordele fotballdommere på neste serierunde – hver dommer kan bare dømme en kamp. Reisekostnadene vil avhenge av hvor dommerne bor og hvor kampene spilles. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Tilordningsproblemet Anta at vi har minst like mange hjelpemiddel som oppdrag/oppgaver. La j = 1, 2, ..., n betegne hjelpemidlene La k = 1, 2, ..., m betegne oppgavene La cjk betegne kostnaden ved å tilordne hjelpemiddel j til oppdrag k. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Modell for tilordningsproblemet Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max 1 oppdrag for hvert hjelpemiddel. Hvert oppdrag får tildelt ett hjelpemiddel. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Barnearbeid hjemme Joe Klyne har tre barn som ønsker å tjene lommepenger. De har kommet med hemmelige bud på hva de mener er rettferdig betaling for følgende jobber: Klippe plen Male hus Vaske biler John 15,- 10,- 9,- Karen Terri 12,- 8,- Faren ønsker å tildele jobbene slik at totale kostnader blir minimert. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Tilordningsproblem løst i regneark BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Ubalansert tilordningsproblem Anta at vi har flere oppdrag enn hjelpemiddel. Dvs. m > n. Det betyr at vi får m - n uløste oppdrag. La: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Modell for ubalansert tilordning Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max 1 oppdrag for hvert hjelpemiddel. Hvert oppdrag tildeles ett hjelpemiddel eller er udekket. Totalt udekkede oppdrag kan ikke overstige max(m – n;0) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

Generalized Assignment Problem (GAP) Anta at innenfor tidshorisonten så kan hjelpemiddel j brukes på et gitt antall oppgaver Aj. For en balansert modell må vi ha at: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

GAP for ubalansert tilordning Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max Aj oppdrag for hjelpemiddel j. Hvert oppdrag tildeles ett hjelpemiddel eller er udekket. Totalt udekkede oppdrag kan ikke overstige BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen