Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Chapter 4 Sensitivity Analysis and the Simplex Method BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Innledning Når vi løser en LP modell antar vi at alle relevante faktorer er kjent med sikkerhet. Slik sikkerhet eksisterer sjelden. Sensitivitetsanalysen hjelper med å besvare hvor følsom den optimale løsningen er for endringer i forskjellige koeffisienter i LP modellen. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm Hvor følsom er løsningen overfor endringer i ci , aij , og bi? BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse Endre dataene og løs modellen på nytt! Noen ganger er dette den eneste praktiske måten. Solver lager også sensitivitetsrapporter som kan svare på spørsmål om: Hvor mye koeffisientene i målfunksjonen kan endres uten å endre den optimale løsningen. (endre cj) Hvor mye målfunksjonen endres ved endringer i de begrensende ressursene. (endre bi) Hvor mye målfunksjonen endres ved nye endringer i beslutningsvariablene. (endre xj) Hvordan optimal løsning vil påvirkes av endringer i koeffisientene i restriksjonene. (endre aij) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs Max 350X1 + 300X2 Dekningsbidrag S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 Pumper 9X1 + 6X2 1566 Arbeid 12X1 16X2 2880 Rør X1 >= X2 Analyse av koeffisientene i målfunksjonen Analyse av koeffisientene i restriksjonene BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Risk Solver Platform Aktiver Engine Tab i Task Pane Velg Lineær Solver Eller kryss av for Automatically Select Engine BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ribbon Du kan ”styre alt” i Solver fra Risk Solver Platform Ribbon (båndet). Du kan spesifisere problemet: Angi målfunksjonen - Objective Angi beslutningsvariablene – Decisions Angi restriksjonene – Constraints Du kan løse problemet – Optimize Du kan lage rapporter - Reports BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Solver på 3 måter Du kan bruke menyene i ”Ribbon” Du kan bruke Task Pane Du kan bruke Add-In Premium Solver BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Litt om Task Pane BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Løst i regneark Koeffisientene i målfunksjonen Koeffisientene i restriksjonene BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Rapporter Etter å ha kjørt Solver og løst problemet, kan du be om rapporter. Merk: Rapportene er knyttet til det arket der modellen er, og er tilgjengelig helt til ny kjøring av Solver, eller til du avslutter Excel. Rapportene du velger blir skrevet ut på egne ark i Excel-filen. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Beslutnings-variabler Answer Report Målfunksjon Beslutnings-variabler Restriksjoner Ny info BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivity Report Målfunksjon Beslutningsvariabler Restriksjoner Formatet i cellene er hentet fra formatet i modellen. Du kan fritt endre format. Målfunksjon Beslutningsvariabler Restriksjoner BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Koeffisientene i målfunksjonen X2 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Endringer i koeffisientene i målfunksjonen endrer helningen på nivåkurven. Opprinnelig nivåkurve DB =350X1 + 300X2 120 Økning c1 eller reduksjon c2. 78 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene kan være uten at opprinnelig optimal løsning endres. X1 80 122 200 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i målfunksjonen Optimal løsning uendret inntil målfunksjonen blir parallell med de bindende restriksjonene (pumper eller arbeid), ny hjørneløsning. Linjene er parallelle når de har samme stigningsforhold: Max: 350X1 + 300X2  X2 = – (350/300) X1 = – (c1/c2) X1 Pumper: 1X1 1X2  200 – (1/1) X1 Arbeid: 9X1 6X2 1566 261 – (9/6) X1 Rør: 12X1 16X2 2880 180 – (12/16) X1 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen? BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i målfunksjonen  = endring verdi slik at: gammel verdi +  = ny verdi   = ny - gammel Max: 350X1 + 300X2  X2 = – (350/300) X1 = – (c1/c2) X1 Pumper: 1X1 1X2  200 – (1/1) X1 Arbeid: 9X1 6X2 1566 261 – (9/6) X1 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(1/1) Ny verdi c1: -(c1/300) = -(1/1)  -c1=-1300  c1= 300  c1= 300-350 = -50 Ny verdi c2: -(350/c2) = -(1/1)  -350=-1c2  c2= 350  c2= 350-300 = +50 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(9/6) Ny verdi c1: -(c1/300) = -(9/6)  -c1=-(9/6)300  c1= 450  c1= 450-350 = +100 Ny verdi c2: -(350/c2) = -(9/6)  -350=-(9/6)c2  c2= 233 1/3  c2= 233 1/3-300 = -66 2/3 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i målfunksjonen Endringene må ligge innenfor alle ytterpunktene: Pumper: c1= -50 Arbeid: c1= +100 -50  c1  100 Rør: c1= -150 Pumper: c2= +50 Arbeid: c2= -66 2/3 -66 2/3  c2  50 Rør: c2= +166 2/3 Har tatt med rør for å illustrere poenget. Trenger bare vurdere bindende restriksjoner. Optimal løsning uendret så lenge endringene i koeffisientene ligger innenfor disse grensene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Endringer i ”Objective Coefficient” Disse koeffisientene kan endres: innenfor disse grensene, uten at disse verdiene endres. Men målfunksjonen og skyggeprisene endres! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Endringer i koeffisientene i målfunksjonen I tabellen for beslutningsvariablene (”Decision Variable Cells ”) angir verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease” hvor mye en koeffisient i målfunksjonen (”Objective Coefficient”) kan endres uten å endre den optimale løsningen (i kolonnen ”Final Value”), under forutsetning av at alle andre koeffisienter forblir uendret. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Alternative Optimale Løsninger Hvis målfunksjonen er parallell med en av de bindende restriksjonene har vi alternative optimale løsninger. Verdier på null (0) i “Allowable Increase” eller “Allowable Decrease” kolonnene for tabellen ”Decision variable Cells” indikerer at en alternativ optimal løsning eksisterer. OBS! Da er sensitivitetsanalysen ufullstendig!! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Alternative optimale løsninger Hvis noen av disse er lik 0, så finnes alternative verdier til disse. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse restriksjonene X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner. 180 120 99 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 78 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 80 108 122 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i restriksjonene X2 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. 261 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 200 180 Økning pumper: 1·X1 + 1·X2 = 207 En større økning vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør. Reduksjon pumper: 1·X1 + 1·X2 = 174 En større reduksjon vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet. 78 Pumper kan økes til 207 eller reduseres til 174 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende. X1 122 174 200 240 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse pumper: b1 Hvor mye kan tilgang pumper (b1) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Økning: Helt til bare arbeid og rør er bindende. Reduksjon: Helt til bare arbeid og x2 ≥ 0 er bindende. Økning: Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 |(-4/3) -12X1 - 8X2 -2088 Rør: 12X1 16X2 2880 792 X2 = 792/8 = 99.  9X1 + 699 = 1566  9X1 = 1566 – 594 = 972  X1 = 972/9 = 108 Behov pumper: 1 99 + 1108 = 207  b1 = 207 – 200 = +7 Reduksjon: Arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 X2 9X1 + 60 = 1566  X1 = 1566/9 = 174 Behov pumper: 1 174 + 10 = 174  b1 = 174 – 200 = -26 -26 ≤ b1 ≤+7 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i restriksjonene X2 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. 261 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 200 180 Reduksjon arbeid: 9X1 + 6X2 = 1440 En større reduksjon vil gjøre at rør blir en bindende restriksjon istedenfor pumper. 78 En større økning vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet. Økning arbeid: 9X1 + 6X2 = 1800 Arbeid kan økes til 1800 eller reduseres til 1440 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende. X1 122 174 200 240 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse arbeid: b2 Hvor mye kan tilgang arbeid (b2) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Reduksjon: Helt til bare pumper og rør er bindende. Økning: Helt til bare pumper og x2 ≥ 0 er bindende. Reduksjon: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200 |(-12) -12X1 - 12X2 -2400 Rør: 12X1 16X2 2880 4X2 480 X2 = 480/4 = 120.  1X1 + 1120 = 200  1X1 = 200 – 120 = 80  X1 = 80/1 = 80 Behov arbeid: 980 + 6120 = 1440  b2 = 1440 – 1566 = -126 Økning: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200 X2 1X1 + 10 = 200  X1 = 200/1 = 200 Behov arbeid: 9 200 + 60 = 1800  b2 = 1800 – 1566 = +234 -126 ≤ b2 ≤+234 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Tillatt endring i restriksjonene X2 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. 261 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 200 180 Økning rør: 12X1 + 16X2 = ? Kan øke tilgang på rør uendelig uten at andre restriksjoner blir bindende. 78 En større reduksjon vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør. Reduksjon rør: 12X1 + 16X2 = 2712 Rør kan reduseres til 2712 eller økes uendelig uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende. X1 122 174 200 240 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse rør: b3 Hvor mye kan tilgang rør (b3) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Reduksjon: Helt til pumper og arbeid er bindende. Økning: Ubegrenset, restriksjonen er ikke bindende i utgangspunktet. Reduksjon: Pumper: 1X1 + 1X2 = 200  X1 200 - X2 Arbeid: 9X1 6X2 1566  9(200 -X2) + 6X2 = 1566  -3X2 = 1566 - 1800  X2 = -234/(-3) = 78 X1 = 200 - X2  X1 = 200 – 78 = 122 Behov rør: 12122 + 1678 = 2712  b3 = 2712 – 2880 = -168 Økning: Ubegrenset  b3 = +  -168 ≤ b3 ≤ +  BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Endringer i Contstraint R.H. Side Men optimale verdier på målfunksjonen og beslutningsvariablene endres ! Så lenge disse endres innenfor disse grensene, forblir skyggeprisenekonstante. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepriser X2 Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet. Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 261 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 200 180 Når tilgang på arbeid økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av pumper. 78 Økning arbeid: 9X1 + 6X2 = 1800 Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger. X1 122 174 200 240 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepris arbeid Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes med en enhet? Når vi endrer kapasiteten for arbeid, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til pumper. Pumper: 1X1 + 1X2 = Uendret kapasitet Arbeid: 9X1 6X2 1 1 ekstra enhet X1 = -X2 & 9X1 + 6X2 = 1  9(-X2) + 6X2 = 1  -3X2 = 1  X2 = 1/(-3) = -1/3 X1 = -X2 =-(-1/3) = 1/3. En ekstra arbeidstime vil gi: X1 =1/3 og X2 = -1/3. Endring i målfunksjonen: 350(1/3) + 300(-1/3) = 16,67 Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er 16,67 og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. arbeidstime. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepris arbeid Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes maksimalt? Maksimal tillatt økning arbeid er 234 timer (uten andre bindende restriksjoner). Da vil ny optimal produksjon være 200 stk. X1 og 0 stk. X2. Ny verdi på målfunksjonen blir: 350200 + 3000 = 70.000,- Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen: 66.100,- Økt verdi av økt tilgang arbeidstid: 3.900,- Økt verdi pr. arbeidstime: 3.900,-/234 timer = 16,67 pr. time. Hver ny arbeidstime er verd 16,67, som er skyggeprisen på restriksjonen for arbeidstid. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepriser X2 Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet. Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 261 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 200 180 Økning pumper: 1X1 + 1X2 = 207 Når tilgang på pumper økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av arbeid. 99 78 Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger. X1 108 122 174 200 240 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepris pumper Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes med en enhet? Når vi endrer kapasiteten for pumper, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til arbeid. Pumper: 1X1 + 1X2 = 1 1 ekstra enhet Arbeid: 9X1 6X2 Uendret kapasitet X1 = 1 – X2 & 9X1 + 6X2 = 0  9(1-X2) + 6X2 = 0  -3X2 = -9  X2 = -9/(-3) = 3 X1 = 1-X2 =1-3 = -2. En ekstra pumpe vil gi: X1 =-2 og X2 = +3. Endring i målfunksjonen: 350(-2) + 300(+3) = 200 Skyggeprisen for en ekstra pumpe er 200,- og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. pumpe. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepris pumper Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes maksimalt? Maksimal tillatt økning pumper er 7 stk. (uten andre bindende restriksjoner). Da vil ny optimal produksjon være 108 stk. X1 og 99 stk. X2. Ny verdi på målfunksjonen blir: 350108 + 30099 = 67.500,- Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen: 66.100,- Økt verdi av økt tilgang pumper: 1.400,- Økt verdi pr. pumpe: 1.400,-/7 stk. = 200,- pr. stk. Hver ny pumpe er verd 200,-, som er skyggeprisen på restriksjonen for pumper. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepriser Disse angir endringen i målfunksjonen, ved én enhets økning i denne verdien, hvis endringen er innenfor disse verdiene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Skyggepriser Skyggeprisen til en restriksjon indikerer hvor mye målfunksjonen endres som følge av en enhets økning i restriksjonens RHS verdi, hvis alle andre koeffisienter forblir konstante. Skyggeprisene er kun gyldige ved endringer av restriksjonens RHS verdi innenfor verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease”. Skyggepriser for ikke-bindende restriksjoner er alltid null. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Endringer i restriksjonens RHS verdi Skyggeprisene viser kun endringen i mål-funksjonen ved endringer i restriksjonsgrensene. Endringer av grensen for en bindende restriksjon endrer også mulighetsområdet og de optimale verdiene på beslutningsvariablene. For å finne de nye optimale verdiene på beslutningsvariablene etter endring av en bindende restriksjonsgrense, må en løse problemet på nytt. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Økt arbeidskapasitet Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 Opprinnelig mulighetsområde 180 Flere arbeidstimer: 9X1 + 6X2 = 1728 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 Ny optimal løsning X1 174 200 240 Utvidet mulighetsområde BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Praktisk bruk av skyggepriser Anta at en ny varmtvannsbereder (Typhoon-Lagoon) vurderes. Den har et dekningsbidrag på $320 pr. stk. og krever: 1 pumpe (skyggepris = $200) 8 timer arbeid (skyggepris = $16,67) 13 dm rør (skyggepris = $0) Q: Er det lønnsomt å produsere noen ? A: $320 - $200*1 - $16,67*8 - $0*13 = -$13,33 = Nei! Merk at vi nå har beregnet Reduced Cost. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Nytt produkt BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Reduced Cost Reduced Cost er lik profitten pr. enhet (verdien i målfunksjonen) minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Praktisk bruk av skyggepriser Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er lik $16,67. Den er gyldig for økninger i arbeidstiden på opp til 234 nye timer. Hvis arbeid er en variabel kostnad, så er lønnskostnaden inkludert i db/stk., og skyggeprisen angir ekstraverdien av arbeid utover ordinær lønnskostnad. Vi er da villig til å betale en timepris som er $16,67 mer enn ordinær timepris. Hvis arbeid er en fast kostnad som ikke er inkludert i målfunksjonen, så er vi kun villig til å betale $16,67 pr. ekstra time. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Reduced Cost ved standard LP formulering Reduced Cost til en beslutningsvariabel angir hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. For variabler som inngår i den optimale løsningen er følgelig Reduced Cost = 0. Reduced Cost for hvert produkt er lik profitten pr. enhet minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene). BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Reduced Cost i Solver Type av problem Optimal verdi på beslutningsvariablene Optimal verdi på Reduced Cost Maksimering lik enkel nedre grense ≤ 0 mellom øvre og nedre grenser = 0 lik enkel øvre grense ≥ 0 (skyggepris) Minimering BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Reduced Cost i Solver For variabler som ikke inngår i den optimale løsningen angir Reduced Cost hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. (samme som ved standard LP). For variabler som inngår i optimal løsning, og med verdi lik sin direkte nedre elle øvre grense, angir Reduced Cost skyggeprisen for denne bindende restriksjonen. (Variabler med Bounds.) Øvrige variabler som inngår i optimal løsning har Reduced Cost lik 0. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Viktige poenger Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen). Ressurser som ikke brukes fullt ut har en skyggepris (marginalverdi) lik null. Et produkts Reduced Cost er lik differansen mellom produktets fortjeneste og alternativkostnaden for de ressurser det forbruker. Produkter med en fortjeneste som er mindre enn alternativ- kostnaden til de ressurser det forbruker vil ikke inngå i den optimale løsningen. (Reduced Cost er negativ.) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Verdi ressurser = Verdi produksjon Mengde Verdi Total verdi Pumper 200 200,00 40.000,- Arbeid 1566 16,67 26.100,- Rør 2880 0,00 0,- Total verdi ressurser 66.100,- Produkt Mengde Verdi Total verdi Aqua Spa 122 350,00 42.700,- Hydro Lux 78 300,00 23.400,- Total verdi produksjon 66.100,- Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen). BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Endringer i restriksjonskoeffisienter Q: Anta at en Typhoon-Lagoon kun trenger 7 arbeidstimer isteden for 8. Er det nå lønnsomt å produsere noen? A: $320 - $200*1 - $16,67*7 - $0*13 = $3,31 = Ja! Q: Hva er den største arbeidstiden Typhoon-Lagoons kan bruke og likevel være lønnsom? A: Da må $320 - $200*1 - $16,67*L3 - $0*13 >=0 Det holder så lenge L3 <= $120/$16,67 pr. time = 7,20 timer. Vi har nå analysert aij, dvs. restriksjonskoeffisienten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Simultane endringer i målfunksjonen 100% Regelen kan brukes til å avgjøre om optimal løsning endres når mer enn én koeffisient i målfunksjonen endres. Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Alle variablene med endret koeffisient har Reduced Cost forskjellig fra null. (Ingen av variablene inngår i optimal løsning.) Tilfelle 2: Minst en variabel med endret koeffisient har en Reduced Cost lik null. (Minst en av variablene inngår i optimal løsning.) I Tilfelle 1 forblir optimal løsning uendret så lenge alle endringene ligger innenfor sine Allowable Increase eller Allowable Decrease. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Simultane endringer i målfunksjonen I Tilfelle 2, beregn for hver variabel: Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon. Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret. Hvis mer enn en koeffisient i målfunksjonen endres, vil optimal løsning forbli uendret sålenge alle rj summers til £ 1. (Merk at hvis alle rj summeres til > 1, kan løsningen også forbli uendret, men det er ikke garantert.) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Simultane endringer i restriksjonsgrensene. 100% regelen kan også brukes til å avgjøre om skyggeprisene og Reduced Cost endres når mer enn én høyreside av restriksjonene endres: Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Ingen restriksjoner med endret høyreside er bindende. Tilfelle 2: Minst en restriksjon med endret høyreside er bindende. I Tilfelle 1 forblir optimal verdien på målfunksjon, beslutningsvariabler og skyggepriser uforandret, sålenge hver høyreside forblir innenfor tillatte endringer. I Tilfelle 2: Beregn %vis endring for hver restriksjon i forhold til tillatt reduksjon eller økning. Hvis sum %vis endring ≤ 100%, så forblir skyggeprisene og Reduced Cost uendret. (Men optimale verdier på beslutningsvariablene vil endres.) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Degenererte løsninger; Vær obs! Løsningen til et LP problem er degenerert hvis Allowable Increase eller Decrease er lik null (0) for noen restriksjoner (tabellen ”Constraints”). Når en løsning er degenerert: Da kan vi ikke finne ut om det eksisterer alternative optimale løsninger på samme måte som vi beskrev tidligere. Reduced Costs for beslutningsvariablene vil ikke lenger være unike. Koeffisientene i målfunksjonen må nå endres minst så mye som (sannsynligvis mye mer enn) Reduced Cost for at optimal løsning skal endres. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Degenererte løsninger Når en løsning er degenerert (forts.) Kolonnene Allowable Increase og Allowable Decrease for koeffisientene i målfunksjonen vil som regel angi for små verdier. Skyggeprisene er ikke lenger unike: Ett sett skyggepriser gjelder for økninger i restriksjonsgrensene. Et annen sett av skyggepriser gjelder for reduksjoner av restriksjonsgrensene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Degenerert løsning Hvis noen av disse er lik 0 så er løsningen degenerert. Sensitivitetsanalysen er da villedende ! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Degenerert problem grafisk X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 207 Degenerert løsning fordi mer enn to restriksjoner bestemmer optimalpunktet. 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 207 78 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 Nivåkurve: DB =350X1 + 300X2 122 174 207 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Årsak til vansker ved degenererte problem Når et LP-problem er degenerert kan optimal løsning bestemmes på flere måter: det er flere bindende restriksjoner enn det er ukjente variabler, vi har et overbestemt ligningssystem. Hvilke bindende restriksjoner som utelates for å bestemme optimal løsning påvirker hvilke skyggepriser som blir beregnet. Bindende restriksjoner som utelates får en skyggepris på 0, men er likefullt bindende. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Degenerert problem i regneark Det er umulig å oppdage fra løsningen at problemet er degenerert. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Her ser vi at det er degenerert Når noen av disse er lik 0, så er problemet degenerert !! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalysen er villedende ! Og disse verdiene er ofte feil. Disse grensene er ofte for små. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Mangelfull sensitivitetsanalyse Ved degenererte løsninger finnes det to sett av skyggepriser for restriksjonene: ett for reduksjoner i RHS ett for økninger i RHS Vi har fått oppgitt en blanding. Skyggeprisen gjelder: Reduksjon Økning BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Multiple optimale løsninger grafisk X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 200 Multiple optimale løsninger når nivåkurven til målfunksjonen blir parallell med en bindende restriksjon 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 78 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X1 Nivåkurve: DB =350X1 + 350X2 122 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Multiple løsninger i regneark Bindende restriksjoner Vi kan se at problemet har alternative optimale løsninger : Koeffisientene i målfunksjonen (Dekningsbidrag) er 350 ganger koeffisientene i restriksjonen for pumper; dvs. den er parallell med en restriksjon som er bindende. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalysen er mangelfull Da finnes det flere alternative løsninger for disse: Alternative løsninger hvis noen av disse er lik 0. Og disse grensene er ofte for små. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Finne alternative løsninger Løs problemet på vanlig måte. Hvis Allowable Increase/Decrease=0 for noen koeffisienter i målfunksjonen: Kopier regnearket til et nytt ark, og reformuler Solver- oppsettet: Endre målfunksjonen: Maksimer eller minimer verdien på en av beslutningsvariablene. Ny restriksjon: Verdi gammel målfunksjon lik optimal verdi opprinnelig problem. Løs den nye modellen. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Finne alternativ optimal løsning Maksimer verdien på en «liten» variabel Legg til en restriksjon slik at målfunksjonen ikke blir dårligere enn før. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Bounds: restriksjoner direkte på beslutningsvariablene (Må produsere minst så mange som bestilt) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse av Bounds mangler Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene (Decision variable cells) er utelatt! Skyggeprisen angitt under Reduced Cost. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Alternativ formulering I: Lag en ny dummy-variabel: Antall solgt (= Antall produsert) Flytt leveringsrestriksjonen til den nye dummy-variabelen. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Full sensitivitetsanalyse Sensitivitetsanalyse også av restriksjonene på leveringsbetingelsene BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Alternativ formulering II: Standard LP-modell: En linje for hver restriksjon BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Full sensitivitetsanalyse Sensitivitetsanalyse på alle restriksjonene BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ad Hoc sensitivitetsanalyse Vi kan benytte RSP’s mulighet til å kjøre multiple optimiseringer for ulike parameterverdier, for å utføre ad hoc sensitivitetsanalyse, slik som: Spider Tables & Plots Sammendrag av optimal verdi for én output celle ved individuelle endringer i flere input celler. Solver Tables Sammendrag av optimal verdi for flere output celler ved endringer i én input celle. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Spider Tables & Plots For å variere hver av p forskjellige parametere med v ulike verdier krever totalt p*v optimeringer (Fig 4-12) PsiCurrentOpt( ) - returnerer gjeldende optimering # (O#) Celle B27 INT( (O# -1)/v )+1 - returnerer gjeldende parameter # (P#) Celle B28 O# - v *(P# -1) - returnerer gjeldende iterasjon # Celle B29 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Spider Table Vilkårlige endringer BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Solver Tables Finne optimale verdier for p forskjellige verdier av en parameterstørrelse. (Pumper tilgjengelig) PsiOptParam( ) brukes til å angi ulike verdier for en input celle ved ulike optimeringer. PsiOptValue( ) returnerer verdien for en output-celle ved de ulike optimeringene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Solver Table Vilkårlige endringer BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sensitivitetsanalyse restriksjonene X2 261 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566 Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner. 200 180 Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 78 Ad-hoc sensitivitetsanalysen endrer verdiene i vilkårlige gitte trinn. Disse vil bare tilfeldigvis sammenfalle med tillatte økninger og reduksjoner. X1 122 174 200 240 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Robust optimering Tradisjonell sensitivitetsanalyse antar at alle koeffisientene i en modell er kjent med sikkerhet. Optimale løsninger på randen av mulighetsområdet gjør løsningene sårbare for endringer. En “robust” løsning av et LP problem finnes inne i mulighetsområdet, og forblir mulig og rimelig god for moderate endringer i koeffisientene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Chance Constraints For LP problemer har RSP støtte for usikkerhet i restriksjonskoeffisienter via “uncertainty set (USet) chance constraints” For eksempel, anta… Arbeidsbehovet for hver varmtvannstank varierer likt fra +/- 15 minutter (0,25 timer) fra de opprinnelige estimatene Mengden av rør pr varmtvannstank varierer likt fra +/- 6 inches (0,5 feet) fra opprinnelige estimater. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Robust optimering BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

LP på generell form MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Simplex metoden Ved simplex metoden må alle ulikheter konverteres til likheter ved å legge til slakk-variabler til <= restriksjoner, og trekke fra overskuddsvariabler fra >= restriksjoner. Eksempelvis: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk konverteres til: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn + Sk = bk Og: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk konverteres til: ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn – Sk = bk BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

For vårt eksempel... Max 350X1 + 300X2 Dekningsbidrag S.T.: 1X1 + 1X2 +1S1 = 200 Pumper 9X1 + 6X2 +1S2 1566 Arbeid 12X1 16X2 +1S3 2880 Rør X1 >= X2 S1 S2 S3 Hvis det er n variabler i en modell med m restriksjoner, (der n>=m) kan vi velge vilkårlig m variabler og så løse ligningene (ved å sette de gjenværende n-m variablene lik 0.) BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Ligningene for Simplex-metoden Ordne ligningene på tabell-form. (Simplex-tabell) 350X1 + 300X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 Max 1X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200 9X1 + 6X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 1566 12X1 +16X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 2880 Velg som basisvariabler de som har koeffisienten 1 i en kolonne og øvrige koeffisienter i kolonnen lik 0. Sett alle andre variabler lik 0. Ligningsystemet er løst ! Velg som ny basisvariabel den som har størst koeffisient i målfunksjonen. Utgående variabel bestemmes slik at ny løsning forblir mulig, samtidig som ny variabel får størst mulig verdi. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Forskjellige basisløsninger Basis Ikkebasis Verdi Variabler Variabler Løsning Målfunksjon 1 S1, S2, S3 X1, X2 X1=0, X2=0, S1=200, S2=1566, S3=2880 0 2 X1, S1, S3 X2, S2 X1=174, X2=0, S1=26, S2=0, S3=792 60,900 3 X1, X2, S3 S1, S2 X1=122, X2=78, S1=0, S2=0, S3=168 66,100 4 X1, X2, S2 S1, S3 X1=80, X2=120, S1=0, S2=126, S3=0 64,000 5 X2, S1, S2 X1, S3 X1=0, X2=180, S1=20, S2=486, S3=0 54,000 6* X1, X2, S1 S2, S3 X1=108, X2=99, S1=-7, S2=0, S3=0 67,500 7* X1, S1, S2 X2, S3 X1=240, X2=0, S1=-40, S2=-594, S3=0 84,000 8* X1, S2, S3 X2, S1 X1=200, X2=0, S1=0, S2=-234, S3=480 70,000 9* X2, S2, S3 X1, S1 X1=0, X2=200, S1=0, S2=366, S3=-320 60,000 10* X2, S1, S3 X1, S2 X1=0, X2=261, S1=-61, S2=0, S3=-1296 78,300 * angir umulig løsning BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Mulige basisløsninger & ekstremalpunkter X2 Mulige basisløsninger 5 1 X1=0, X2=0, S1=200, S2=1566, S3=2880 2 X1=174, X2=0, S1=26, S2=0, S3=792 3 X1=122, X2=78, S1=0, S2=0, S3=168 4 X1=80, X2=120, S1=0, S2=126, S3=0 5 X1=0, X2=180, S1=20, S2=486, S3=0 4 3 1 X1 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Sammendrag Simplex-metoden Simplex metoden starter med å finne en mulig basisløsning til LP problemet, og beveger seg så til et tilgrensende ekstremalpunkt, såfremt dette forbedrer målfunksjonen. Når ingen tilgrensende hjørneløsninger har en bedre verdi på målfunksjonen er den eksisterende basisløsningen optimal, og simplex-metoden stanser. Bevegelsen fra en hjørneløsning til en tilgrensende utføres ved å bytte en av basisvariablene med en ikke- basisvariabel, for å skape en ny basisløsning som tilsvarer den tilgrensende hjørneløsningen. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen

Slutt på kapittel 4 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen