GIS for mineralutvinning 21.09.2005 Gis forelesning 4

Innhold i faget Definisjon av GIS til bruk i mineralutvinning Geomatikk – Kartfremstilling - GIS Basiskart Kart i Norge Referanserammer Tematiske kart og modeller Innsamling av geodata Typer geodata i mineralutvinning Datafangst og dataoverføring Lagring av geodata Metadata, modeller av virkeligheten, Prosedyrer for behandling av geodata Evaluering av geodata Datakvalitet / verifisering Romlig analyse (form og variasjon) Presentasjon av geodata Visuelle variable Oppsummering 21.09.2005 Gis forelesning 4

Innhold i faget Definisjon av GIS til bruk i mineralutvinning Geomatikk – Kartfremstilling - GIS Basiskart Kart i Norge Referanserammer Tematiske kart og modeller Innsamling av geodata Typer geodata i mineralutvinning Datafangst og dataoverføring Lagring av geodata Metadata, modeller av virkeligheten, Prosedyrer for behandling av geodata Evaluering av geodata Datakvalitet / verifisering Romlig analyse (form og variasjon) Presentasjon av geodata Visuelle variable Oppsummering 21.09.2005 Gis forelesning 4

= Modellering av variasjon Hvordan kan en benytte prøver i kjente punkt til å si noe om egenskapene i ukjente punkt/områder ? = Hvordan skal en vekte verdiene i de kjente prøvene for å estimere verdiene i det ukjente punktet/området ? 21.09.2005 Gis forelesning 4

40m 40m Estimere verdien i et punkt eller areal 21.09.2005 Gis forelesning 4

Mineralforekomster – Modellering av variasjon Flere Metoder: Tradisjonell statistikk - Uavhengighet av punktenes beliggenhet. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Tradisjonell statistikk - Aritmetisk middelverdi Alle prøvene gis like store vekter, dvs har like stor innflytelse på estimatet 21.09.2005 Gis forelesning 4

Mineralforekomster – Modellering av variasjon Flere Metoder: Tradisjonell statistikk - Uavhengighet av punktenes beliggenhet. Konvensjonelle metoder - At det nærmeste prøvepunktet skal gi egenskapene til det ukjente. - Å benytte en funksjon (antatt sammenheng) av avstanden fra det kjente punktet til det ukjente 21.09.2005 Gis forelesning 4

Konvensjonelle metoder Nærmeste punkts innflytelse - Polygonmetoden - Tverrsnittsmetoden Distanse veiing - Lineær sammenheng - Invers kvadrert avstandsmetode 21.09.2005 Gis forelesning 4

Nærmeste punkts innflytelse Vekter: 21.09.2005 Gis forelesning 4

Distanse veiing å Vekter: d n er vanligvis 2 l = , j = , 21.09.2005 Gis forelesning 4

Mineralforekomster – Modellering av variasjon Flere Metoder: Tradisjonell statistikk - Uavhengighet av punktenes beliggenhet. Konvensjonelle metoder - At det nærmeste prøvepunktet skal gi egenskapene til det ukjente. - Å benytte en funksjon (antatt sammenheng) av avstanden fra det kjente punktet til det ukjente Geostatistikk Forsøke å finne en modell for hvordan sammenhengen (samvariasjonen) mellom prøvepunkter varierer med avstanden mellom dem. Å kombinerer informasjon i prøvepunktene med informasjon om sammenhengen (samvariasjonen) mellom prøvene i området. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Mineralforekomster – Modellering av variasjon Mulig modeller for samvariasjon mellom prøvepunkter Genetisk modell - Modellere hvordan forekomsten er blitt dannet.  For komplisert Trend flater - Antagelse: Flaten kan representeres ved en deterministisk funksjon pluss en ”random error” komponent. Denne feilen er tilfeldig, dvs ukorrelert fra sted til sted. Geostatistikk Både tilfeldig og strukturert aspekt. Tilfeldige fluktuasjoner om en gitt flate. Disse fluktuasjonene er ikke feil, men særtrekk/strukturer ved fenomenet som studeres.  Verdiene kan være korrelerte gitt ved en funksjon av avstanden mellom dem.  Må identifisere disse strukturene/sammenhengene 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk (Historikk) Utviklet for gruveindustrien i Sør Afrika og Frankrike Krige & Sichel (Witwatersrand gull forekomster) Matheron (fransk matematiker, teoretisk grunnlag) Generelt verktøy innen mange fagområder Meteorologi Jordbruk Skogbruk - høyden på trær Fiskeri Miljøfag (geokjemi) Petroleumsteknologi 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk Geostatistikk omfatter tre hovedområder - Strukturell analyse (modellering) Estimering Simulering 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk Strukturell analyse (modellering) Studie av fenomeners romlige variasjon Sammenheng mellom parametere Optimal prøvetakingsmetodikk 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk Estimering - Finne et best mulig estimat for en verdi, BLUE  Finne de beste vektene - Estimere totale in situ ressurser - Estimere blokk reserver (utvinnbare reserver) - Beskrivelse av facies/bergartstyper - Vurdering av usikkerheten i estimatet (krigevarians) Metode Middelverdi Distanse veiing Nærmeste punkt Kurvetilpasning l1 1/4 .394 .442 l2 .285 .434 l3 .225 .128 l4 .096 Sl 1 Estimat 10.25 7.32 6.08 7.38 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk Estimering (Eksempler på hva som kan estimeres) - Gehalter (metaller, diamanter, industrimineraler) Kvalitetsparametere (Hvithet, glødetap, Fe og Mn innhold) Topografiske variable (tykkelse på kullfløts, mektighet på forekomst eller overdekke) Bergartstyper Sand/leir forhold i et oljereservoar Porøsitet og permeabilitet/gjennomstrømning i olje eller vannreservoar Geokjemiske sporelementer i jord og bekkesedimenter Konsentrasjon av forurensninger i jord, vann og atmosfære 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk Simulering - Ubetinget simulering - Betinget simulering - Studere den romlige variasjonen til et fenomen - Betinget simulering - Beskrive mulige scenarier for en forekomst for å gi et grunnlag for produksjonssimuleringer. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk – Sentrale begreper Regionalisert variabel – random function Variogram (verktøy for å finne den romlige strukturen i datasettet) - Eksperimentelt variogram - Teoretisk variogram (modell) Kriging (estimering av ukjente verdier) 21.09.2005 Gis forelesning 4

Geostatistikk – Regionalisert variabel Typer variabler Deterministisk variabel ”Matematikk” Stokastisk (tilfeldig) variabel ”Statistikk” Regionalisert variabel - ”Geostatistikk” 21.09.2005 Gis forelesning 4

Deterministisk variabel En deterministisk variabel, x, er en variabel som kan ta en verdi i henhold til en gitt definisjonsmengde. Y = f(x) x ε R Eks. Y = 2x + 3 X = 4  Y = 11 21.09.2005 Gis forelesning 4

Stokastisk (tilfeldig) variabel En tilfeldig variabel er en variabel som kan ta en verdi i henhold til en sannsynlighetsfordeling. For eksempel Normalfordeling (Gaussisk fordeling) Standardavvik 21.09.2005 Gis forelesning 4

Stokastisk (tilfeldig) variabel Verdiene i prøvene er uavhengige av hverandre - Kunnskap om en prøve gir ikke mer informasjon om naboprøvene Prøvetar fra samme fordeling med samme forventningsverdi og varians 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel En regionalisert variabel har ofte et strukturert og et tilfeldig aspekt Dyp Vertikal variasjon i nikkelgehalt 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel Pris Det endimensjonale rom tid z x y Det todimensjonale rom x z Det tredimensjonale rom y 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel Verdiene i prøvene er ikke uavhengige av hverandre, men har en korrelasjon - Kunnskap om en prøve kan gi ekstra informasjon om naboprøvene x ; posisjon z(x); verdi i posisjon x – et utfall, en realisasjon av en regionalisert variabel Z(x) Forventingsverdien til den regionaliserte variabelen er m(x), ”the drift” Familien av alle regionaliserte variabler Z(x) kalles en ”random function” 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel – antagelser/hypoteser Må gjøre noen antagelser for de regionaliserte variablene for å kunne regne med dem. Stasjonæritet - Invariant overfor translasjoner Fordelingen av Z(x1),Z(x2)…Z(xk) er den samme som for Z(x1+h),Z(x2+h)…Z(xk+h)  Vanskelig å verifisere Svakt stasjonæritet (Annen ordens stasjonær) - Bare de to første momentene (middel, kovarians) trenger å være invariante overfor translasjoner Middelverdi og kovarians for Z(x1),Z(x2)…Z(xk) er lik som for Z(x1+h),Z(x2+h)…Z(xk+h)  Betyr - E[Z(x)] = E[Z(x+h)] = m, dvs konstant i hele forekomsten - Cov[Z(x), Z(x+h)] eksisterer for alle par Z(x), Z(x+h) i hele forekomsten 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel – antagelser/hypoteser Stasjonæritet Middelverdien er konstant, m, i hele forekomsten - Ikke tilfelle der en har en klar trend, dvs der middelverdien er avhengig av posisjonen, m(x)  Ikke-stasjonære tilfeller Korrelasjonen mellom prøvepunktene er bestemt av avstanden, h, mellom dem, og ikke den geografiske posisjonen de har. Dvs Vil forvente samme sammenheng mellom punkter i avstand h uavhengig av hvor de ligger. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel – antagelser/hypoteser Må gjøre noen antagelser for de regionaliserte variablene for å kunne regne med dem. Stasjonæritet - Invariant overfor translasjoner Fordelingen av Z(x1),Z(x2)…Z(xk) er den samme som for Z(x1+h),Z(x2+h)…Z(xk+h)  Vanskelig å verifisere Svakt stasjonæritet (Annen ordens stasjonær) - Bare de to første momentene (middel, kovarians) trenger å være invariante overfor translasjoner Middelverdi og kovarians for Z(x1),Z(x2)…Z(xk) er lik som for Z(x1+h),Z(x2+h)…Z(xk+h)  Betyr - E[Z(x)] = E[Z(x+h)] = m, dvs konstant i hele forekomsten - Cov[Z(x), Z(x+h)] eksisterer for alle par Z(x), Z(x+h) i hele forekomsten Når ikke oppfylt Kvasistasjonæritet - Krever stasjonæritet bare innen begrensede områder Dvs der en kan anta at middelverdien er konstant 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel – antagelser/hypoteser Kravene om stasjonæritet kan være for strenge  Intrinsiske hypotesen Intrinsiske hypotesen - Krever at inkrementene er svakt stasjonære  middelverdi og varians til inkrementer eksisterer og er uavhengige av posisjon, x Dvs Middelverdi og variansen til inkrementene Z(x+h) – Z(x) eksisterer og er uavhengig av posisjon x.  Betyr - E[Z(x+h) - Z(x)] = 0 i hele forekomsten - Var[Z(x+h) - Z(x)] = 2γ(h) , definert ved semi-variogramfunksjonen γ(h), uavhengig av x. Den intrinsiske hypotesen er den svakeste av antakelsene - Er kravene til stasjonæritet oppfylt er og også kravene til den intrinsiske hypotesen oppfylt, men det motsatte er ikke alltid riktig. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Regionalisert variabel – antagelser/hypoteser Intrinsiske hypotesen - E[Z(x+h) - Z(x)] = 0 i hele forekomsten - Var[Z(x+h) - Z(x)] = 2γ(h) Det finnes en variogramfunksjon, som definerer sammenhengen mellom punkter - Denne sammenhengen er bare avhengig av punktenes avstand, og ikke av deres posisjon 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram Regionalisert variabel – random function Variogram - Eksperimentelt variogram Teoretisk variogram (modell)  Beregner et eksperimentelt variogram som tilpasses et lovlig teoretisk variogram 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram - definisjon Benyttes for å kvantifisere den romlige korrelasjonen (sammenhengen) mellom observasjoner Verktøy for å finne ut hvor like verdier er, som en funksjon av avstanden mellom dem Verktøy for å finne den romlige strukturen i datasettet Definisjon For stasjonæritet gjelder E[Z(x+h)-Z(x)] = 0 , siden E[Z(x+h)]= E[Z(x+h)] = m Dvs. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram - definisjon Variogrammet angir den forventede kvadrerte forskjellen mellom to punkter i en avstand h Dette benyttes til å finne det beste estimatet for de ukjente verdiene  Kjenner en avstanden mellom kjent og ukjent punkt, kjenner en også den forvente kvadrerte forskjellen mellom verdiene. 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram - definisjon Forventet form på variogrammet 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – sammenheng romlig kovarians Sammenhengen mellom variogram, γ(h), og romlig kovarians, C(h) 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – sammenheng korrelasjonskoeffisient Sammenhengen mellom variogram, γ(h), og korrelasjonskoeffisienten ρ 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – Egenskaper Egenskaper ved variogrammet Terskel (sill) og influensavstand (range) Opptreden nær 0 Anisotropi 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – Egenskaper Terskel (sill) og influensavstand (range) Influensavstanden (a) angir det området (avstanden) hvor det er en sammenheng (korrelasjon) mellom prøvene. - Ved influensavstanden når eller tangerer variogrammet sin terskelverdi (sill) = variansen (σ2) - Hvor fort variogrammet stiger mot terskelen angir hvor raskt sammenhengen mellom punktene avtar. Sill (terskel) Range (influensavstand), a 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – Egenskaper Opptreden nær null Variogrammets form nær h=0 er avgjørende for den romlige kontinuiteten og regulariteten for variabelen. Sill (terskel) Svært kontinuerlig på korte avstander Mindre kontinuerlig på korte avstander Range (influensavstand), a 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – Egenskaper Opptreden nær null – Nugget effekt Når variogrammet er diskontinuerlig nær 0. - Funnet for gullforekomster i Sør-Afrika, derfor kalt ”nugget” effekt. Gjelder de fleste geologiske variable i større eller mindre grad (inkluderer også målefeil) Ved full nugget effekt  Ingen korrelasjon mellom nabopunkter  Antagelsene for tradisjonell statistikk er oppfylt Sill (terskel) Diskontinuerlig nær h=0 (Dvs svært irregulær på korte avstander) Flat = Full nugget effekt  De regionaliserte variablene Z(x+h) og Z(x) er ukorrelerte for alle h Range (influensavstand), a 21.09.2005 Gis forelesning 4

Variogram – Egenskaper Anisotropi Når variogrammet er forskjellig i ulike retninger har en anisotropi. Hvis variogrammet har samme form i alle retninger er det isotropt. Sill (terskel) Nord - Sør Øst - Vest Range (influensavstand), a 21.09.2005 Gis forelesning 4