Derivasjon Stigningen eller helningen til en kurve i x=x0 er stigningstallet til tangenten i x=x0 og er definert ved y1=f(x0+h) y0=f(x0) h x0+h x0 Dette er den deriverte av f(x) i x=x0 og kalles f`(x) eller df/dx. Hvis f`(x) eksisterer er f(x) differensierbar i de punkter f`(x) eksisterer

Derivasjon Notasjon: y`eller f`(x) uttales deriverte av y dy/dx, df/dx, df(x)/dx uttales dydx y`|x=a er den deriverte av y for x=a Y`= dy/dx

Derivasjonsregler 1.Konstant f(x)=c df/dx=0 2.Potenser f(x)=xn f(x)=x df/dx=nxn-1 df/dx=1 3.u en funksjon med x f(x)=cu df/dx=c*du/dx 4.sum u og v funksjon med x f(x) =u(x)+v(x) df/dx= du/dx+dv/dx

Derivasjonsregler-2 u(x) og v(x) er funksjoner med x 5.Produktregelen f(x) = u(x)*v(x) 6. Brøkregel eller kvotientregel

Derivasjon Ekpempel y=|x| er deriverbar for alle verdier av x unntatt x=0 fordi y=x når x=>0 og y`= 1 og y=-x når x<0 og y`= -1 Funksjoner er ikke deriverbar for x=0 fordi den deriverte skifter verdi i x=0. y har heller ikke tangent i punktet x=0

Derivasjon Teorem 1 Deriverbarhet - kontinuitet Hvis f har en derivert i x=c. så er f kontinuerlig i x=c Teorem 2, Mellomverditeoremet Hvis a og b er to vilkårlige punkter i et intervall hvor f er deriverbar, så vil f`derivert ha alle verdier mellom f`(a) og f`(b)

2.2 Derivert som endring Gjennomsnittelig endring av f mellom f(x0) og f(x0+h) er når punktet x0 får et tilegg h (h=x1-x0) y1=f(x0+h) y0=f(x0) h x0+h x0 Hvor raskt f endres i punktet x=x0 er den deriverte av f i punktet x0, nemlig

Bruk av derivasjon Ex 1: Arealet av en sirkel med diameter D er A=(/4)D2. Hvor raskt endres arealet mhp D når D er 10m? dA/dD= (/4)*2D = (/2)*D  når D=10m blir endringen dA/dD= (/2)*10= 5  m2/m. Posisjon, hastighet, akselerasjon Hvis posisjonen s(t) endres med tiden som s=f(t) er Hastighet (velocity) lik v(t)=ds/dt Fart (speed) er |v(t)|=|ds/dt! Akselerasjon: a(t)=dv/dt=d2s/dt2

Økonomi - Produksjon av ulike enheter c(x) er kostnader for å produsere x enheter Marginale kostnader er hvor mye kostnadene endres når det er produsert x enheter Gjennomsnittskostnad for å produsere h stk ekstra fra x stk er Marginale kostnader er kan også brukes tilnærmet for å lage en ekstra enhet Revenue inntekter behandles tilsvarende

Derivasjon- trigonometriske funksjoner f(x) = sin x df/dx = cos x f(x) = cos x df/dx = -sin x f(x) = tan x df/dx = 1/cos2x

Harmonisk bevegelse, eksempel 2.4.3 Et lodd henger i en fjær som er strukket 5 enheter fra sin hvileposisjon. Ved tiden t=0, slippes loddet. Posisjonen til loddet ved tiden t er s=5cost Posisjon s=5cost Hastighet v=ds/dt=-5sint Akseler. a=dv/dt=-5cost s varierer mellom 5 og –5. Amplitude er 5. Periode er 2Π v er størst når cost=0 dvs når s=0; v=0 når s= +-5 a motsatt av s. a er 0 når s er 0; a størst når s = +-5

Kjederegelen Den deriverte av en sammensatt funksjon f(g(x)) er den deriverte av f(g(x)) ganger deriverte av g(x) eller Hvis f(u) er deriverbar i punktene u=g(x) og g(x) er deriverbar i x vil den sammensatte funksjonen f(g(x)) = f o g(x) være deriverbar i x og være df(g(x))/dx = f`(g(x))*g`(x) eller hvis y=f(u) og u=g(x) så er

Eksempler Eksempel 2 y=(3x2+1)2 =9x4+6x2+1 y`er I y`= 36x3 + 12x eller II y=u2 og u= 3x2+1 y`= dy/du*du/dx= 2u(6x) y`= 2(3x2+1)6x=36x3+12x Eksempel 4 y=sin(x2+x) y=sinu og u= x2+x y`=dy/du*du/dx= cosu (2x+1) y`=(2x+1)cos(x2+x) eller rett fram y`=cos(x2+x)(2x+1) a b c a derivert av ytre funksjon b indre funksjon uendret c derivert av indre funksjon

Eksempel kjerneregelen g(t)=tan(5-sin2t) setter g(u)=tan u og u(v)= 5-sinv og v(t)=2t g`(u)=1/cos2u og u`(v)= -cosv og v`(t)=2

Implisitt derivasjon Implisitt derivasjon brukes når funksjonsuttrykket inneholder uttrykk med både x og y. Ved derivasjon behandles y som en deriverbar funksjon av x og så deriveres begge sider av likningen. Eksempel 2 y2=x2+sin(xy) deriverer 2y*dy/dx = 2x+cos(xy)(y+x*dy/dx) 2y*dy/dx=2x+ycos(xy)+x*dy/dx *cos(xy) (2y-xcos(xy)*dy/dx = 2x + ycos(xy) dy/dx = (2x + y*cos(xy) / (2y – x*cos(xy)

Eksempel 3 x3+ y3 – 9xy = 0 Tangent i punktet (2,4) (2,4) er på kurven: 23+43-9*2*4 = 8 + 64 – 72 = 0 Deriverer: 3x2 + 3y2* y`- 9y – 9xy`= 0 (3y2 – 9x)y`= 9y – 3x2 Tangent i (2,4) y – 4 = 4/5 (x – 2)  y = 4/5 x – 8/5 +4 = 4/5 x + 12/5 Normal: m1 * m2 = -1  m2 = - 1/m1 = - 5/4 y – 4 = -5/4 ( x – 2)  y = -5/4 x + 26/4