Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Module 121  Opsjoner, funksjoner og prissetting  Binomialmodellen og Black-Scholes  Agentteori  Derivater  Swaps  Financial Engineering Module 12:

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Module 121  Opsjoner, funksjoner og prissetting  Binomialmodellen og Black-Scholes  Agentteori  Derivater  Swaps  Financial Engineering Module 12:"— Utskrift av presentasjonen:

1 Module 121  Opsjoner, funksjoner og prissetting  Binomialmodellen og Black-Scholes  Agentteori  Derivater  Swaps  Financial Engineering Module 12: Advanced Topics Options, Agency, Derivatives and Financial Engineering

2 Module 122 Opsjoner  En opsjon gir eieren rett, men ikke plikt, til å selge eller kjøpe det underliggende objekt til en på forhånd avtalt pris, på (European) eller innen (American) en bestemt dato  Opsjonens verdi avhenger av verdien på ”det underliggende objekt” – contingent claim

3 Module 123 Opsjoner  Opsjonsterminologi:  Call option = kjøpsopsjon (rett til å kjøpe)  Put option = salgsopsjon (rett til å selge)  Strike price eller exercise price = utøvelsespris, prisen man har rett men ikke plikt til å kjøpe eller selge det underliggende objekt for  Expiration date = utløpsdato/bortfallsdato  Writer = utsteder (selger) av opsjonen  Holder = kjøper (eier) av opsjonen

4 Norsk Hydro opsjoner Module 124

5 5 Opsjoner på Oslo Børs  Antall: I det standardiserte markedet omfatter hver opsjonskontrakt 100 underliggende aksjer, og en handel kan minimum bestå av 10 kontrakter. Mao må man kjøpe/utstede opsjoner tilsvarende minimum 1000 aksjer.  Innløsningskursen: Den prisen som skal betales pr. aksje dersom kjøperen av opsjonen ønsker å innløse. Antall innløsningskurser er standardiserte og fastsettes utfra bestemte regler.

6 Module 126 Opsjoner på Oslo Børs  Bortfall: En standardisert opsjon har en løpetid på 6 måneder (tid til bortfall). Hver tredje måned noteres det nye opsjoner, slik at det alltid kan handles opsjoner med to forskjellige bortfall. Bortfallsdatoen er alltid den tredje torsdagen i bortfallsmåneden

7 Module 127 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?  Innløsning: Innløsning kan kun gjøres av kjøperen av en opsjon, og betyr helt enkelt at han ønsker å gjøre bruk av sin rett. Eier du en kjøpsopsjon betyr det at du kjøper opsjonens underliggende aksje til innløsningskursen av han som har utstedt opsjonen. Er det en salgsopsjon du eier, medfører innløsning at du selger opsjonens underliggende aksje til utstederen av opsjonen

8 Module 128 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?  Stengning: Du kan når som helst i løpetiden selge opsjonen videre (stenge posisjonen) til noen som ønsker å overta rettigheten du sitter på. På samme måte kan du kjøpe tilbake solgte (utstedte) opsjoner og overlate plikten til å oppfylle avtalen til noen andre. Dette er den vanligste og enkleste måten å realisere gevinst eller tap på, og ca 90% av alle opsjoner omsettes videre på denne måten..

9 Module 129 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?  Bortfall: Både stengning og innløsning av en opsjon kan gjøres i hele opsjonens løpetid, t.o.m opsjonens bortfallsdag. Dersom du ikke har gjort noe med opsjonen innen Oslo Børs stenger på bortfallsdagen, vil opsjonen gå til automatisk innløsning dersom opsjonen har en realverdi på minimum 1% av innløsningskursen. Opsjoner uten realverdi bortfaller verdiløse og premien du i sin tid betalte for opsjonen er tapt. Hvis man ønsker det er det imidlertid mulig å reservere seg mot automatisk bortfall.

10 Module 1210 Hva er en opsjon verdt ?  Realverdi: Opsjonens realverdi bestemmes av forskjellen mellom innløsningskursen og aksjekursen. Realverdien er på den måten opsjonens indre verdi og er minsteprisen en investor må betale for opsjonen. For en kjøpsopsjon er realverdien til en hver tid aksjekursen minus innløsningskursen, mens realverdien for en salgsopsjon er innløsningskursen minus aksjekursen. Da opsjonen enten har verdi eller er verdiløs, kan realverdien aldri bli negativ.

11 Module 1211 Hva er en opsjon verdt ?  Tidsverdi: Opsjonens tidsverdi er den verdien en opsjon har utover realverdien, dvs forskjellen mellom realverdi og opsjonens markedskurs. Denne verdien reflekterer markedets prising av investorens sjanser til å tjene penger på opsjonen innen bortfallsdagen. Tidsverdien er størst i begynnelsen og reduseres mer og mer ettersom det nærmer seg bortfall. Fallet i tidsverdien akselererer når det kun er kort tid igjen av løpetiden, og på bortfall er den lik null. Hvis opsjonen da har verdi, er dette kun realverdi.

12 Module 1212 Eksempel: kjøpsopsjon Opsjonen er ITM – In The Money (men kan bli enda mer ITM senere) Ved aksjekurs under 1,25 er opsjonen OTM – Out of The Money, og ved kurs lik 1,25 ATM – At The Money

13 Module 1213 Kontantstrøm for kjøpsopsjon Innløsningskurs: 1.25 Aksjekurs1,50 0,25 -0,25 kjøper selger 1,25

14 Module 1214 Opsjonens markedsverdi

15 Module 1215 Hva er opsjonen verdt - eller hva omsettes den for?  Viktig - opsjonen er minst verdt realverdi (intrinsic value), som regel mer  Hvis opsjonen er ATM - kan den bli ITM før utløpsdato  Selv om opsjonen er OTM nå - kan den bli ITM  Hvis opsjonen er ITM - kan den bli enda mer ITM før utløpsdato

16 Opsjonsprising Module 1216

17 Module 1217 Myron S Scholes

18 Module 1218 Opsjonsprisingsmodeller  Black - Scholes modellen svært viktig bidrag til forståelse av opsjonsprising  Ble tatt i praktisk bruk praktisk talt dagen etter arbeidet ble publisert i 1973  Sikret Scholes Nobelpris (Black er død)  Modellen er «grei» å bruke men meget komplisert å utlede  Enklere modell som et første utgangspunkt - binomialmodellen

19 Binomisk opsjonsmodell  Et binomisk utfall har vi når en variabel kun kan anta to verdier. I vår verden kan en aksjekurs enten gå opp eller ned  Vi kan finne opsjonsverdien enten med  Risikonøytral verdsetting  Replikerende portefølje Module 1219

20 Module 1220 Black og Scholes gjennombruddet  Nøkkelen til å verdsette en opsjon er å låne penger og kjøpe en aksje, som gir en eiendel med samme avkastnings- egenskaper som en opsjon  Nettokostnaden ved å kjøpe ”opsjon- ekvivalenten” må tilsvare opsjons- verdien

21 Module 1221 Binomialmodellen - 1  I lærebokas eksempel kan man kjøpe en kjøpsopsjon med innløsningskurs 1.25, kurs nå er 1.50, dvs. opsjonen er ITM  Anta at risikofri rente er 10 %  Anta at bare to ting kan finne sted  kursen øker med 100 % til 3.00  kursen faller med 50 % til 0.75  Hvilken ”payoff” gir opsjonen?

22 Module 1222 Binomialmodellen - 2 Anta at du låner 0,5303 til 10 % rente; og kjøper 77,78% av en aksje – hva blir payoff ?

23 Module 1223 Binomialmodellen - 3  Hva er opsjonen verdt?  Payoff fra opsjonen og den låne- finansierte plasseringen er den samme, derfor må verdien være den samme

24 Module 1224 Binomialmodellen - 4  Men – hvor i all verden fant jeg følgende:  hvor stor andel av en aksje må vi kjøpe ?  hvor mye må vi låne ?  dette finner vi enkelt ved hjelp av et formelsett

25 Module 1225 Binomialmodellen - 5  Antall aksjer som trengs for å lage en kjøpsopsjon kalles ”option delta” og beregnes slik:

26 Module 1226 Binomialmodellen - 6  Bare ett spørsmål gjenstår – hvor mye skal lånes?  Lånet er nåverdien av avviket mellom payoff fra opsjonen, og payoff fra 77,78 % av en aksje

27 Module 1227 Binomialmodellen – 7 Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

28 Module 1228 Binomialmodellen - 8 Mer formell utledning  Vi innfører følgende symboler  S 0 = nåværende aksjekurs = 1.50  q = sannsynlighet for kursøkning = 0.6  uS 0 = ny aksjekurs hvis kursen øker = 3.00  dS 0 = ny aksjekurs hvis kursen faller = 0.75  u = ”multiplier” oppadd, dvs. faktor kurs øker til = 2.0  d = ”multiplier” nedad, dvs. faktor kurs faller til = 0.5

29 Module 1229 Binomiske utfall S o = 1.50 uS o = 2.0 • 1.50 = 3.00 dS o = 0.5 • 1.50 = 0.75 q=0,6 1-q=0,4

30 Module 1230 Binomialmodellen, 9  Litt flere notasjoner  C 0 = nåværende markedsverdi på opsjonen (C = ”call”, dvs. kjøp)  C u = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen stiger på den underliggende aksjen  C d = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen faller på den underliggende aksjen  X = innløsningskurs for opsjonen

31 Module 1231 Payoff for kjøpsopsjon CoCo Cu = max(0,uS 0 - X) = max (0, ) = 1.75 q=0,6 1-q=0,4 Cd = max(0,dS 0 - X) = max (0, ) = 0

32 Module 1232 Binomialmodellen, 10  Enda flere symboler  r f = risikofri rente (lån eller plassering)  Y = antall underliggende aksjer som må kjøpes (eller shortes, hvis negativ)  Z = plassering (hvis positiv), lån (hvis negativ) til risikofri rente

33 Module 1233 Binomialmodellen, 11  Vi har følgende betingede payoff  Hvis kursen øker: Y u S 0 + Z(1 + r f ) = C u  Hvis kursen faller: Y d S 0 + Z(1 + r f ) = C d  Vi kan løse ligningene over for Y og Z

34 Module 1234 Payoff for porteføljen Portefølje YS 0 + Z YuS 0 + Z(1+rf) = 0,778 • 2,0 • 1,5 - 0,5303 • 1,1 = 1.75 q=0,6 1-q=0,4 YdS 0 + Z(1+rf) = 0,778 • 0,5 • 1,5 - 0,5303 • 1,1 = 0

35 Module 1235 Opsjonsverdi  Opsjonsverdien er den samme som verdien til porteføljen  YS 0 + Z = • 1, =  C 0 = (opsjonspremie)  Verdi ut over innløsningsverdi (realverdi) = =

36 Module 1236 Binomialmodellen – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

37 Flere perioder Module 1237

38 Module 1238 Black and Scholes modellen  Den binomiske modellen utvides til å dekke ”mange korte perioder” - kontinuerlig C 0 = S 0 [N(d 1 )] - X e -rft [N(d 2 )] d 1 = [ln(S 0 /X)+rfT]/  (T 1/2 )+0,5  (T 1/2 ) d 2 = d 1 -  (T 1/2 )

39 Module 1239 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

40 Module 1240 Black and Scholes  Legg merke til at følgende variabler inngår i modellen  S 0 = kurs på underliggende aksje  X = innløsningskurs  r f = risikofri rente   = standardavvik  T = tid før forfall

41 Module 1241 Eksempel – Norsk Hydro  24. januar 2011 ble Statoil aksje omsatt for 141,80. Kjøpsopsjoner med innløsning 145 og bortfall 21. februar 2011 (24 dager) ble omsatt for 2,05. Risikofri rente 2,3 % p.a., standardavvik 20 % p.a.

42 Vi må finne N(d1) og N(d2) Module 1242 Kan finnes med NORMSFORDELING i Excel

43 Module 1243 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

44 Module 1244 Salgsopsjoner (put)  Salgsopsjoner gir retten til å selge noe  Payoff blir forskjellig fra kjøpsopsjoner  Hvis markedskurs er høyere enn innløsningskurs, er realverdien på salgs- opsjonen 0, motsatt er realverdien positiv hvis markedskursen er lavere enn innløsningskursen  Vi kan finne verdien på put opsjoner ved hjelp av ”put-call parity”

45 Module 1245 Kombinasjon av opsjoner  Anta at du kjøper en aksje og en salgs- opsjon på samme aksjen. Innløsnings- kurs er 1.25  Hva blir din payoff på hvert av disse objektene isolert, og sammen?

46 Module 1246 Kombinasjon av opsjoner  La oss nå prøve noe annet:  Vi kjøper en kjøpsopsjon (call)  Vi kjøper et risikofritt papir (zero coupon bond), som vi antar gir 1.25 ved salg  Hvordan blir avkastningen på hvert av objektene, og samlet?

47 Module 1247 Kombinasjon av opsjoner  Vi har sett noe meget viktig, nemlig at en investor oppnår samme avkastning fra følgende  Kjøp en aksje og en salgsopsjon på samme aksje  Kjøp en kjøpsopsjon og et risikofritt papir (zero coupon bond)  Hvis payoff er den samme, må kostnaden være den samme

48 Module 1248 Kombinasjon av opsjoner  Vi har altså sett det interessante at  Pris på underliggende aksje + pris på salgs- opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs  Dette er en av de mest fundamentale sammenhenger innen opsjoner – put call parity

49 Module 1249 Put – call parity  Man kan kjøpe forsikring eller protective put på to måter  Kjøp en aksje og salgsopsjon på aksjen samtidig. Kostnaden er prisen på aksjen og prisen på salgsopsjonen  Kjøp en salgsopsjon og en zero coupon bond. Kostnaden er prisen på opsjonen pluss prisen på obligasjonen (som vi antar er lik nåverdi av innløsningskurs, 1.25 i vårt eksempel)  Sammenhengen holder bare når put og call har samme innløsningskurs og samme utløpsdag, samt at obligasjonen innløses på samme dag som opsjonskontrakten løper ut

50 Module 1250 Put – call parity  Vi fant at  Pris på underliggende aksje + pris på salgs- opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs  Vi kan omforme dette til:  Pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs – pris på underliggende aksje

51 Module 1251 Put – call parity  Dette gir at:  Pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs – pris på underliggende aksje  = /1.1 – 1.50 =

52 Module 1252 Kontroll av verdien  Vi har at  P u = max(0, X – uS 0 ) = max (0, 1.25 – 3)=0  P d = max(0, X – dS 0 ) = max (0, 1.25 – 0.75)=0.50  Y = (0 – 0.50)/1.50(2 – 0.50) =  Z = ((2.0 • 0.5) – (0.5 • 0))/(2 – 0.5) • 1.1 = 0,6061  Po = YS 0 + Z = • =

53 Module 1253 Salg-kjøp-pariteten Black- Scholes  Salg-kjøp-pariteten holder også i Black-Scholes modellen, men modellen forutsetter kontinuerlig forrentning, og med våre symboler får vi at:

54 Module 1254 Anvendelse av opsjonsteori  Hva vi har lært fra opsjonsprising kan også brukes i andre sammenhenger  Egenkapitalen i et selskap med gjeld er en kjøpsopsjon. Betales gjelden, eier aksjonærene selskapets verdier  Vi skal se litt nærmere på dette

55 Anvendelse av opsjonsteori  Vi har sett tidligere at egenkapitalen er et ”residual claim” det vil si at egenkapitaleierne bare kan gjøre krav på de verdier som er tilbake etter at alle andre har fått sine krav dekket. Samtidig kan aksjonærene ikke tape mer enn de har betalt for aksjene pga. begrenset ansvar. Anta at  V = selskapsverdi  D = gjeldsverdi  Hvis selskapet likvideres, oppnår aksjonærene V – D hvis V > D, og 0 ellers Module 1255

56 Anvendelse av opsjonsteori  En kjøpsopsjon med innløsningskurs X på en eiendel med verdi S 0 er har en payoff på S 0 – X hvis S 0 > X og 0 ellers  Egenkapitalen i en bedrift er derfor en kjøpsopsjon på bedriften, hvor innløsningsprisen er gjeldsverdien  Hvordan påvirkes opsjonsverdien hvis variablene som inngår i prissettingen endres? Module 1256

57 Module 1257 Anvendelse av opsjonsteori  S 0 /X, hvor S 0 er verdien på eiendelene og X er innløsningsverdi eller gjelds- forpliktelsene. Hvis forholdet er høyt, er opsjonen ITM  Standardavvik (  ), øket risiko øker verdien på egenkapitalen, men total- verdi er konstant, slik at gjeldseierne taper

58 Anvendelse av opsjonsteori  Anta at selskapets verdi er 100 mill, mens det er utestående gjeld på 80 mill. Gjelden forfaller om 10 år  Risikofri rente er 10 %, standardavviket er 40 %  Hva er verdien av en kjøpsopsjon? Module 1258

59 Module 1259 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

60 Anvendelse av opsjonsteori  Anta at selskapets har mulighet til å starte et prosjekt med negativ NPV på – 2 millioner, og at dette prosjektet er meget risikabelt og vil øke standardavviket til 50 %  Bør prosjektet startes? Module 1260

61 Module 1261 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

62 Bedrift med problemer…  Anta at selskapets verdi er 50 mill, mens det er utestående gjeld på 80 mill. Gjelden forfaller om 10 år  Risikofri rente er 10 %, standardavviket er 40 %  Hva er verdien av en kjøpsopsjon? Module 1262

63 Module 1263 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

64 Module 1264 Realopsjoner  Tradisjonell investeringsanalyse blir av og til kritisert for at det indirekte forutsettes at etter at et prosjekt er startet, må det gå sin gang uten at det kan påvirkes i særlig grad  Et prosjekt kan kanskje selges en eller annen gang i løpet av levetiden, det kan utvides mv.  Man har en opsjon på fremtidige handlinger - realopsjoner

65 Module 1265 Walk Phone - Kontantstrøm

66 Nytt prosjekt Module 1266

67 Module 1267 Realopsjoner – Walk Phone  Walk Phone (kap 5), NPV =  Ulønnsomt – men kan åpne porten til et annet marked (prosjekt) etter 4 år, NPV = (- 802 samlet, eller hva?)  Nytt prosjekt er en opsjon, og opsjons- verdi er aldri negativ  Opsjon er OTM nå, men det kan endre seg

68 Module 1268 Realopsjoner – Walk Phone  Vi har at  Innløsningskurs = (investering)  Underliggende objektverdi =  Tid før forfall (4 år eller dager)  Risikofri rente 10 %  Hva må standardavviket være for at opsjonsverdien skal være minst 272 (slik at NPV = 0)?

69 Module 1269 Black-Scholes (Walk Phone) Målsøkeren i Excel

70 Andre derivater  Terminkontrakter (forwards)  Futures  Swaps (f eks rentebytte) Module 1270


Laste ned ppt "Module 121  Opsjoner, funksjoner og prissetting  Binomialmodellen og Black-Scholes  Agentteori  Derivater  Swaps  Financial Engineering Module 12:"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google