Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis continued.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis continued."— Utskrift av presentasjonen:

1 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis continued

2 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Context of risk-return portfolio optimization risk performance Portfolio optimization Market data Statistical processing Implementation Dynamics New information

3 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Hovedpunkter •Utvidelse av standard modellen •Begrensninger for størrelse på handel, lån og transaksjonskostnader •Formulere faktor-modeller

4 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån •Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri rente Lånebeløp:, Forventet utbytte: Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri

5 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån til ulike rentesatser •Kan låne til renten for beløp opp til •Rente for beløp opp til •Lånebeløp •Restriksjoner: •Forventet utbytte: •  over null kun når

6 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader •Mange små posisjoner uønsket fordi –Mange posisjoner  høyere transaksjons- kostnader når porteføljen reviseres –Mer omfattende overvåkning  høyere driftskostnader

7 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Max-grense for antall aktiva i porteføljen, min-grense på posisjonsstørrelser •Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ •Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): •Mean-variance-efficient portfolios with trading size limits: Min s.t. for alle i=1,…,n

8 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Transaksjonskostnader •Effektivt forventet utbytte = Forventet utbytte – kostnader •For små transaksjoner: skalafordel  konkav trans.kost.funksjon •For store transaksjoner: innlikviditetskostnadene øker  konveks •Tilnærminger: –Trans.kostnader prop. med trans.størrelse –Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde, deretter lineær

9 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Lineær kostnadsfunksjon •C 0 Konstant kostnad for mengder opp til •Forventet utbytte:

10 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner •C 0 : Konstant kostnad for størrelser opp til •C 1 : Prop. kostnader for større transaksjoner • transaksjoner opp til • transaksjoner over hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C 0 ellers

11 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner (forts.) •Forventet utbytte: •Restriksjoner:

12 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio with transaction costs Min s.t.

13 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Portefølje revisjon •Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av en eksisterende portefølje. •Dette involverer både kjøp og salg, og transakjsonskostnader må taes med. •Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x 0.

14 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Portefølje rev., restriksjoner •Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading eller så skjer den ved enten kjøp eller salg. •Restriksjonsområdene er gitt ved og •For å modellere disse restriksjonene introduserer vi to ikke-negative variabler y +1 og y -1 for kjøp og salg av aktiva i, slik at vi får x i = x 0i + y +i – y -i

15 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management •Introduserer også to binærvariabler som følger: Z si = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir redusert gjennom salg, 0 ellers Z pi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker gjennom kjøp, 0 ellers •Ved revisjon blir det ofte også brukt en restriksjon på total endring i antall aktiva kalt portfolio turnover •Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og ser slik ut:

16 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio revision •Minimize •subject to }for alle i

17 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management 3.4 Factor models of return •Implementasjon av mean-variance optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne for middelverdi og varians og kovariansmatrisen •Krever ofte veldig mange parametere. •Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem hos S&P500 krever estimering av 1000 forventede avkastninger og kovarianser.

18 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Factor models, forts. •Skal her se på både en-faktor og multi- faktor modeller •En-faktor modellen kom først og er forløperen til CAPM •Multi-faktor modellen førte etter hvert til Arbitrage Pricing Theory

19 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management En-faktor modellen •Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert til den enkle faktoren gjennom den lineære relasjonen: •Variansen er gitt ved σ 2 M og er normalfordelt med middelverdi 0 og varianse σ 2 εi •r M er avkastningen fra en markedsindeks

20 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management •Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som kalles factor loading •Følgende antagelser ligger til grunn: –Kovariansen mellom det security specific restuttrykket og faktoren er 0, dvs. for alle i. –Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. for alle i ≠ i’. •Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå utlede parameterene som trengs i mean- variance modellen.

21 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management •Forventet avkastning fra verdipapiret: •Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved: –Setter inn r i fra faktor modellen og får:

22 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management •Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved: •Setter inn r i fra faktor modellen og får •Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0

23 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management •Mean-variance optimization with single-factor models –Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning blir:

24 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management –Porteføljevariansen blir: –Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians matrisen.

25 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolios with single factor models Minimize subject to

26 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko •Skriver variansen som: •Snur om og får:

27 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko •Porteføljebetaen β p reflekterer sensitiviteten av avkastningen mot faktoren. •Dette medfører at ved store antall investeringer i porteføljen vil den ikke- systematiske risikoen kunne diversifiseres bort.

28 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management En-faktor modeller og CAPM •Dersom vi skriver en-faktor modellen som en lineær relasjon mellom avkastningen som er større enn markedsfaktoren og overskuddet mellom markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og fjerner restleddet ε får vi: •Noe som er identisk med CAPM bortsett fra α i som, ifølge CAPM, skal være lik 0.


Laste ned ppt "TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis continued."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google