Opsjoner, funksjoner og prissetting Binomialmodellen og Black-Scholes

Presentasjon om: "Opsjoner, funksjoner og prissetting Binomialmodellen og Black-Scholes"— Utskrift av presentasjonen:

1 Module 12: Advanced Topics Options, Agency, Derivatives and Financial Engineering
Opsjoner, funksjoner og prissetting Binomialmodellen og Black-Scholes Agentteori Derivater Swaps Financial Engineering Module 12

2 Opsjoner En opsjon gir eieren rett, men ikke plikt, til å selge eller kjøpe det underliggende objekt til en på forhånd avtalt pris, på (European) eller innen (American) en bestemt dato Opsjonens verdi avhenger av verdien på ”det underliggende objekt” – contingent claim Module 12

3 Opsjoner Opsjonsterminologi:
Call option = kjøpsopsjon (rett til å kjøpe) Put option = salgsopsjon (rett til å selge) Strike price eller exercise price = utøvelsespris, prisen man har rett men ikke plikt til å kjøpe eller selge det underliggende objekt for Expiration date = utløpsdato/bortfallsdato Writer = utsteder (selger) av opsjonen Holder = kjøper (eier) av opsjonen Module 12

4 Norsk Hydro opsjoner Module 12

5 Opsjoner på Oslo Børs Antall: I det standardiserte markedet omfatter hver opsjonskontrakt 100 underliggende aksjer, og en handel kan minimum bestå av 10 kontrakter. Mao må man kjøpe/utstede opsjoner tilsvarende minimum 1000 aksjer. Innløsningskursen: Den prisen som skal betales pr. aksje dersom kjøperen av opsjonen ønsker å innløse. Antall innløsningskurser er standardiserte og fastsettes utfra bestemte regler. Module 12

6 Opsjoner på Oslo Børs Bortfall: En standardisert opsjon har en løpetid på 6 måneder (tid til bortfall). Hver tredje måned noteres det nye opsjoner, slik at det alltid kan handles opsjoner med to forskjellige bortfall. Bortfallsdatoen er alltid den tredje torsdagen i bortfallsmåneden Module 12

7 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?
Innløsning: Innløsning kan kun gjøres av kjøperen av en opsjon, og betyr helt enkelt at han ønsker å gjøre bruk av sin rett. Eier du en kjøpsopsjon betyr det at du kjøper opsjonens underliggende aksje til innløsningskursen av han som har utstedt opsjonen. Er det en salgsopsjon du eier, medfører innløsning at du selger opsjonens underliggende aksje til utstederen av opsjonen Module 12

8 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?
Stengning: Du kan når som helst i løpetiden selge opsjonen videre (stenge posisjonen) til noen som ønsker å overta rettigheten du sitter på . På samme måte kan du kjøpe tilbake solgte (utstedte) opsjoner og overlate plikten til å oppfylle avtalen til noen andre. Dette er den vanligste og enkleste måten å realisere gevinst eller tap på, og ca 90% av alle opsjoner omsettes videre på denne måten.. Module 12

9 Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ?
Bortfall: Både stengning og innløsning av en opsjon kan gjøres i hele opsjonens løpetid, t.o.m opsjonens bortfallsdag. Dersom du ikke har gjort noe med opsjonen innen Oslo Børs stenger på bortfallsdagen, vil opsjonen gå til automatisk innløsning dersom opsjonen har en realverdi på minimum 1% av innløsningskursen. Opsjoner uten realverdi bortfaller verdiløse og premien du i sin tid betalte for opsjonen er tapt. Hvis man ønsker det er det imidlertid mulig å reservere seg mot automatisk bortfall. Module 12

10 Hva er en opsjon verdt ? Realverdi: Opsjonens realverdi bestemmes av forskjellen mellom innløsningskursen og aksjekursen. Realverdien er på den måten opsjonens indre verdi og er minsteprisen en investor må betale for opsjonen. For en kjøpsopsjon er realverdien til en hver tid aksjekursen minus innløsningskursen, mens realverdien for en salgsopsjon er innløsningskursen minus aksjekursen. Da opsjonen enten har verdi eller er verdiløs, kan realverdien aldri bli negativ. Module 12

11 Hva er en opsjon verdt ? Tidsverdi: Opsjonens tidsverdi er den verdien en opsjon har utover realverdien, dvs forskjellen mellom realverdi og opsjonens markedskurs. Denne verdien reflekterer markedets prising av investorens sjanser til å tjene penger på opsjonen innen bortfallsdagen. Tidsverdien er størst i begynnelsen og reduseres mer og mer ettersom det nærmer seg bortfall. Fallet i tidsverdien akselererer når det kun er kort tid igjen av løpetiden, og på bortfall er den lik null. Hvis opsjonen da har verdi, er dette kun realverdi. Module 12

12 Eksempel: kjøpsopsjon
Opsjonen er ITM – In The Money (men kan bli enda mer ITM senere) Ved aksjekurs under 1,25 er opsjonen OTM – Out of The Money, og ved kurs lik 1,25 ATM – At The Money Module 12

13 Kontantstrøm for kjøpsopsjon Innløsningskurs: 1.25
kjøper 0,25 1,25 1,50 Aksjekurs -0,25 selger Module 12

14 Opsjonens markedsverdi
Module 12

15 Hva er opsjonen verdt - eller hva omsettes den for?
Viktig - opsjonen er minst verdt realverdi (intrinsic value), som regel mer Hvis opsjonen er ATM - kan den bli ITM før utløpsdato Selv om opsjonen er OTM nå - kan den bli ITM Hvis opsjonen er ITM - kan den bli enda mer ITM før utløpsdato Module 12

16 Opsjonsprising Module 12

17 Myron S Scholes Module 12

18 Opsjonsprisingsmodeller
Black - Scholes modellen svært viktig bidrag til forståelse av opsjonsprising Ble tatt i praktisk bruk praktisk talt dagen etter arbeidet ble publisert i 1973 Sikret Scholes Nobelpris (Black er død) Modellen er «grei» å bruke men meget komplisert å utlede Enklere modell som et første utgangspunkt - binomialmodellen Module 12

19 Binomisk opsjonsmodell
Et binomisk utfall har vi når en variabel kun kan anta to verdier. I vår verden kan en aksjekurs enten gå opp eller ned Vi kan finne opsjonsverdien enten med Risikonøytral verdsetting Replikerende portefølje Module 12

20 Black og Scholes gjennombruddet
Nøkkelen til å verdsette en opsjon er å låne penger og kjøpe en aksje, som gir en eiendel med samme avkastnings-egenskaper som en opsjon Nettokostnaden ved å kjøpe ”opsjon-ekvivalenten” må tilsvare opsjons-verdien Module 12

21 Binomialmodellen - 1 I lærebokas eksempel kan man kjøpe en kjøpsopsjon med innløsningskurs 1.25, kurs nå er 1.50, dvs. opsjonen er ITM Anta at risikofri rente er 10 % Anta at bare to ting kan finne sted kursen øker med 100 % til 3.00 kursen faller med 50 % til 0.75 Hvilken ”payoff” gir opsjonen? Module 12

22 Binomialmodellen - 2 Anta at du låner 0,5303 til 10 % rente; og kjøper 77,78% av en aksje – hva blir payoff ? Module 12

23 Binomialmodellen - 3 Hva er opsjonen verdt?
Payoff fra opsjonen og den låne-finansierte plasseringen er den samme, derfor må verdien være den samme Module 12

24 Binomialmodellen - 4 Men – hvor i all verden fant jeg følgende:
hvor stor andel av en aksje må vi kjøpe ? hvor mye må vi låne ? dette finner vi enkelt ved hjelp av et formelsett Module 12

25 Binomialmodellen - 5 Antall aksjer som trengs for å lage en kjøpsopsjon kalles ”option delta” og beregnes slik: Module 12

26 Binomialmodellen - 6 Bare ett spørsmål gjenstår – hvor mye skal lånes?
Lånet er nåverdien av avviket mellom payoff fra opsjonen, og payoff fra 77,78 % av en aksje Module 12

27 Binomialmodellen – 7 Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

28 Binomialmodellen - 8 Mer formell utledning
Vi innfører følgende symboler S0 = nåværende aksjekurs = 1.50 q = sannsynlighet for kursøkning = 0.6 uS0 = ny aksjekurs hvis kursen øker = 3.00 dS0 = ny aksjekurs hvis kursen faller = 0.75 u = ”multiplier” oppadd, dvs. faktor kurs øker til = 2.0 d = ”multiplier” nedad, dvs. faktor kurs faller til = 0.5 Module 12

29 Binomiske utfall uSo = 2.0 • 1.50 = 3.00 So = 1.50
q=0,6 So = 1.50 1-q=0,4 dSo = 0.5 • 1.50 = 0.75 Module 12

30 Binomialmodellen, 9 Litt flere notasjoner
C0 = nåværende markedsverdi på opsjonen (C = ”call”, dvs. kjøp) Cu = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen stiger på den underliggende aksjen Cd = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen faller på den underliggende aksjen X = innløsningskurs for opsjonen Module 12

31 Payoff for kjøpsopsjon
Cu = max(0,uS0 - X) = max (0, ) = 1.75 q=0,6 Co Cd = max(0,dS0 - X) = max (0, ) = 0 1-q=0,4 Module 12

32 Binomialmodellen, 10 Enda flere symboler
rf = risikofri rente (lån eller plassering) Y = antall underliggende aksjer som må kjøpes (eller shortes, hvis negativ) Z = plassering (hvis positiv), lån (hvis negativ) til risikofri rente Module 12

33 Binomialmodellen, 11 Vi har følgende betingede payoff
Hvis kursen øker: YuS0 + Z(1 + rf) = Cu Hvis kursen faller: YdS0 + Z(1 + rf) = Cd Vi kan løse ligningene over for Y og Z Module 12

34 Payoff for porteføljen
YuS0 + Z(1+rf) = 0,778 • 2,0 • 1,5 - 0,5303 • 1,1 = 1.75 q=0,6 Portefølje YS0 + Z YdS0 + Z(1+rf) = 0,778 • 0,5 • 1,5 - 0,5303 • 1,1 = 0 1-q=0,4 Module 12

35 Opsjonsverdi Opsjonsverdien er den samme som verdien til porteføljen
YS0 + Z = • 1, = C0 = (opsjonspremie) Verdi ut over innløsningsverdi (realverdi) = = Module 12

36 Binomialmodellen – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

37 Flere perioder Module 12

38 Black and Scholes modellen
Den binomiske modellen utvides til å dekke ”mange korte perioder” - kontinuerlig C0 = S0[N(d1)] - X e-rft[N(d2)] d1 = [ln(S0/X)+rfT]/(T1/2)+0,5 (T1/2) d2 = d1 - (T1/2) Module 12

39 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

40 Black and Scholes Legg merke til at følgende variabler inngår i modellen S0 = kurs på underliggende aksje X = innløsningskurs rf = risikofri rente  = standardavvik T = tid før forfall Module 12

41 Eksempel – Norsk Hydro 24. januar 2011 ble Statoil aksje omsatt for 141,80. Kjøpsopsjoner med innløsning 145 og bortfall 21. februar 2011 (24 dager) ble omsatt for 2,05. Risikofri rente 2,3 % p.a., standardavvik 20 % p.a. Module 12

42 Vi må finne N(d1) og N(d2) Kan finnes med NORMSFORDELING i Excel
Module 12

43 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

44 Salgsopsjoner (put) Salgsopsjoner gir retten til å selge noe
Payoff blir forskjellig fra kjøpsopsjoner Hvis markedskurs er høyere enn innløsningskurs, er realverdien på salgs-opsjonen 0, motsatt er realverdien positiv hvis markedskursen er lavere enn innløsningskursen Vi kan finne verdien på put opsjoner ved hjelp av ”put-call parity” Module 12

45 Kombinasjon av opsjoner
Anta at du kjøper en aksje og en salgs-opsjon på samme aksjen. Innløsnings-kurs er 1.25 Hva blir din payoff på hvert av disse objektene isolert, og sammen? Module 12

46 Kombinasjon av opsjoner
La oss nå prøve noe annet: Vi kjøper en kjøpsopsjon (call) Vi kjøper et risikofritt papir (zero coupon bond), som vi antar gir 1.25 ved salg Hvordan blir avkastningen på hvert av objektene, og samlet? Module 12

47 Kombinasjon av opsjoner
Vi har sett noe meget viktig, nemlig at en investor oppnår samme avkastning fra følgende Kjøp en aksje og en salgsopsjon på samme aksje Kjøp en kjøpsopsjon og et risikofritt papir (zero coupon bond) Hvis payoff er den samme, må kostnaden være den samme Module 12

48 Kombinasjon av opsjoner
Vi har altså sett det interessante at Pris på underliggende aksje + pris på salgs-opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs Dette er en av de mest fundamentale sammenhenger innen opsjoner – put call parity Module 12

49 Put – call parity Man kan kjøpe forsikring eller protective put på to måter Kjøp en aksje og salgsopsjon på aksjen samtidig. Kostnaden er prisen på aksjen og prisen på salgsopsjonen Kjøp en salgsopsjon og en zero coupon bond. Kostnaden er prisen på opsjonen pluss prisen på obligasjonen (som vi antar er lik nåverdi av innløsningskurs, 1.25 i vårt eksempel) Sammenhengen holder bare når put og call har samme innløsningskurs og samme utløpsdag, samt at obligasjonen innløses på samme dag som opsjonskontrakten løper ut Module 12

50 Put – call parity Vi fant at Vi kan omforme dette til:
Pris på underliggende aksje + pris på salgs-opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs Vi kan omforme dette til: Pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs – pris på underliggende aksje Module 12

51 Put – call parity Dette gir at: = 0.6364 + 1.25/1.1 – 1.50 = 0.2727
Pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs – pris på underliggende aksje = /1.1 – 1.50 = Module 12

52 Kontroll av verdien Vi har at
Pu = max(0, X – uS0) = max (0, 1.25 – 3)=0 Pd = max(0, X – dS0) = max (0, 1.25 – 0.75)=0.50 Y = (0 – 0.50)/1.50(2 – 0.50) = Z = ((2.0 • 0.5) – (0.5 • 0))/(2 – 0.5) • 1.1 = 0,6061 Po = YS0 + Z = • = Module 12

53 Salg-kjøp-pariteten Black-Scholes
Salg-kjøp-pariteten holder også i Black-Scholes modellen, men modellen forutsetter kontinuerlig forrentning, og med våre symboler får vi at: Module 12

54 Anvendelse av opsjonsteori
Hva vi har lært fra opsjonsprising kan også brukes i andre sammenhenger Egenkapitalen i et selskap med gjeld er en kjøpsopsjon. Betales gjelden, eier aksjonærene selskapets verdier Vi skal se litt nærmere på dette Module 12

55 Anvendelse av opsjonsteori
Vi har sett tidligere at egenkapitalen er et ”residual claim” det vil si at egenkapitaleierne bare kan gjøre krav på de verdier som er tilbake etter at alle andre har fått sine krav dekket. Samtidig kan aksjonærene ikke tape mer enn de har betalt for aksjene pga. begrenset ansvar. Anta at V = selskapsverdi D = gjeldsverdi Hvis selskapet likvideres, oppnår aksjonærene V – D hvis V > D, og 0 ellers Module 12

56 Anvendelse av opsjonsteori
En kjøpsopsjon med innløsningskurs X på en eiendel med verdi S0 er har en payoff på S0 – X hvis S0 > X og 0 ellers Egenkapitalen i en bedrift er derfor en kjøpsopsjon på bedriften, hvor innløsningsprisen er gjeldsverdien Hvordan påvirkes opsjonsverdien hvis variablene som inngår i prissettingen endres? Module 12

57 Anvendelse av opsjonsteori
S0/X, hvor S0 er verdien på eiendelene og X er innløsningsverdi eller gjelds-forpliktelsene. Hvis forholdet er høyt, er opsjonen ITM Standardavvik (), øket risiko øker verdien på egenkapitalen, men total-verdi er konstant, slik at gjeldseierne taper Module 12

58 Anvendelse av opsjonsteori
Anta at selskapets verdi er 100 mill, mens det er utestående gjeld på 80 mill. Gjelden forfaller om 10 år Risikofri rente er 10 %, standardavviket er 40 % Hva er verdien av en kjøpsopsjon? Module 12

59 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

60 Anvendelse av opsjonsteori
Anta at selskapets har mulighet til å starte et prosjekt med negativ NPV på – 2 millioner, og at dette prosjektet er meget risikabelt og vil øke standardavviket til 50 % Bør prosjektet startes? Module 12

61 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

62 Bedrift med problemer…
Anta at selskapets verdi er 50 mill, mens det er utestående gjeld på 80 mill. Gjelden forfaller om 10 år Risikofri rente er 10 %, standardavviket er 40 % Hva er verdien av en kjøpsopsjon? Module 12

63 Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten
Module 12

64 Realopsjoner Tradisjonell investeringsanalyse blir av og til kritisert for at det indirekte forutsettes at etter at et prosjekt er startet, må det gå sin gang uten at det kan påvirkes i særlig grad Et prosjekt kan kanskje selges en eller annen gang i løpet av levetiden, det kan utvides mv. Man har en opsjon på fremtidige handlinger - realopsjoner Module 12

65 Walk Phone - Kontantstrøm
Module 12

66 Nytt prosjekt Module 12

67 Realopsjoner – Walk Phone
Walk Phone (kap 5), NPV = - 272 Ulønnsomt – men kan åpne porten til et annet marked (prosjekt) etter 4 år, NPV = (- 802 samlet, eller hva?) Nytt prosjekt er en opsjon, og opsjons-verdi er aldri negativ Opsjon er OTM nå, men det kan endre seg Module 12

68 Realopsjoner – Walk Phone
Vi har at Innløsningskurs = (investering) Underliggende objektverdi = 4 151 Tid før forfall (4 år eller dager) Risikofri rente 10 % Hva må standardavviket være for at opsjonsverdien skal være minst 272 (slik at NPV = 0)? Module 12

69 Black-Scholes (Walk Phone) Målsøkeren i Excel
Module 12

70 Andre derivater Terminkontrakter (forwards) Futures
Swaps (f eks rentebytte) Module 12