LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Nettverk Fem avdelinger (a, b, c, d, e) vurderes å flytte ut av London, for å spare kostnader. Ingen by (London inkludert), kan ha mer enn 3 avdelinger lokalisert hos seg. Det påløper imidlertid en del kostnader ved at hver avdeling kommuniserer en del med hverandre. Kostnadene ved kommunikasjon er relatert til avstandene mellom avdelingene, avhengig av hvor de er lokalisert. Avd. 1 Avd. 2 : Bristol Brighton London Avd. 5 LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering data Årlige besparelser ved å flytte til Bristol eller Brighton er som følger : D = {dki} a b c d e Bristol 10 15 20 5 Brighton Mengden av kommunikasjon pr. år mellom avdelingene er som følger: B = {bij} a b c d e 0,0 1,0 1,5 1,4 1,2 2,0 0,7 Enhetskostnadene ved kommunikasjon er: A = {akl} Bristol Brighton London 5 14 13 9 10 LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering problem Vi skal altså plassere hver av de 5 avdelingene i en av de 3 byene, slik at netto kostnadsbesparelser blir størst mulig. La oss starte med kommunikasjonen mellom de 5 avdelingene. Kall denne matrisen for B = {bij}, og la oss benytte tallene 1 - 5 for å angi avdelingene a – d. Da vil for eksempel b13 angi kommunikasjonen mellom avdeling a og c, som er anslått til 1,0 pr. år. Matrisen B er vanligvis symmetrisk, b13 = b31, dvs. kommunikasjonen mellom avdeling a og c er den samme som mellom avdeling c og a. Mengden av kommunikasjon mellom avdelingene er antatt å være uavhengig av hvor avdelingene lokaliseres. Diagonalen i matrisen B er blank (0), og angir at kommunikasjonen innad i en avdeling ikke påvirker kostnadene. Enhetskostnadene ved kommunikasjon er relatert til avstandene, kall denne kostnadsmatrisen mellom byene for A = {akl}, og benevn de 3 byene a, b og c. Da vil aac = 13, og angi enhetskostnaden for kommunikasjon mellom Bristol og London. Merk at denne enhetskostnaden også er definert for diagonalen, og angir enhetskostnadene for ulike avdelinger lokalisert i samme by. Denne matrisen er selvfølgelig symmetrisk. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering problem For kvadratiske tilordningsproblem har vi altså i det generelle tilfellet en vanligvis symmetrisk matrise B[m×m] av interaksjoner mellom fasilitetene i og j, med totalt m fasiliteter. I tillegg har vi en symmetrisk matrise A[n×n] av avstander/enhetskostnader mellom områder k og l, med totalt n områder. La i, j  {1, …,m} være indekser for fasilitetene, og k, l {1, …,n} være indekser for områdene. Definer også matrisen U[m×n] som uik = 1 hvis fasilitet i lokaliseres i område k; ellers uik = 0. Uik er altså en binærvariabel som angir hvor avdelingene lokaliseres. Hvis et par {i,j} av fasiliteter tilordnes områdene {k,l}, så er altså frekvensen av interaksjoner mellom i og j lik bij, og avstanden mellom fasilitetene er lik akl. Derfor vil kostnaden ved interaksjonen mellom fasilitetene i og j, hvis de lokaliseres i områdene k og l, være lik bij∙akl. Dette skjer bare når uik = 1 og ujl = 1, dvs. når produktet uik∙ujl = 1. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering problem Totalkostnaden for kommunikasjon mellom fasilitetene kan derfor beregnes som: 32‑1 Total kommunikasjonskostnad ved allokering av alle fasiliteter til områdene. Dobbeltregner kostnadene. Merk at siden vi multipliserer beslutningsvariablene med hverandre så blir denne funksjonen ikke lineær, men kvadratisk. Og siden beslutningsvariablene også er heltallsvariabler, blir problemet enda vanskeligere å løse. Vi vil faktisk normalt ende opp med et ikke-konvekst problem, noe som i praksis gjør det nesten umulig å finne den globale optimale løsningen. Ikke mange generelle optimeringsprogram som vil akseptere en slik funksjon. Funksjonen har ellers den ulempen at den vanligvis dobbeltregner kostnadene, den vil inkludere kostnadene både over og under diagonalen i kostnadsmatrisen. For å unngå dette må vi enten begrense summeringen til å gjelde kun k > l, eller dividere summen med 2. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering problem Totalkostnaden kan alternativt uttrykkes med matrisenotasjon : 32‑2 Total kommunikasjonskostnad ved allokering av alle fasiliteter til områdene. Dobbeltregner ikke. Vi multipliserer matrisen B[m×m] med matrisen U[m×n], dette blir en ny matrise. Tilsvarende multipliseres matrisen U[m×n] med matrisen A[n×n], som gir en ny matrise. Denne matrisen transponeres, og de to nye matrisene multipliseres så med hverandre. Dette resulterer i en ny matrise i dimensjon [m×m], og trasen til denne matrisen gir oss totalkostnaden. For å unngå dobbeltregning divideres denne summen med 2. (Trasen til en matrise er summen av alle elementene i diagonalen.) LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n antall områder N mengden av områder Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering symboler n antall områder N mengden av områder N = {1, 2, ..., n} m antall fasiliteter M mengden av fasiliteter M= {1, 2, ..., m} G Mengden av greiner G = {(N×M)} Qk kapasitet til område k k  N Dki Besparelse ved å flytte fasilitet i til område k i  M; k  N Bij Mengde interaksjon mellom avdeling i og j i M; j  M Akl Enhetskostnad/avstand mellom område k og l k  N; l  N Beslutningsvariabler: Uki Uki = 1 hvis fasilitet i lokaliseres i område k, ellers 0 Uki  {0; 1} ; i  M; k  N Vi skal bestemme hvilke avdelinger som skal lokaliseres i de alternative byene LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Matematisk formulering Målfunksjon: 32‑3 Maksimer sum besparelser ved desentralisering minus kostnadene ved interaksjon mellom avdelingene. Merk at vi har endret dimensjonen på matrisen U fra forrige formel (fra [m×n] til [n×m]), vi må derfor også endre rekkefølgen på matrisene i matrisemultipliseringen. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 32‑4 Totalt antall fasiliteter lokalisert i et område kan ikke overstige kapasiteten til området. 32‑5 Hver fasilitet må lokaliseres til ett område. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark organisert rundt dataene Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Regneark organisert rundt dataene LOG530 Distribusjonsplanlegging

kostnadene Kommunikasjon mellom Mengde (bij) Kostnad (akl) Lokalisering A – C 1,0 14 Bristol - Brighton A – D 1,5 5 Bristol - Bristol B – C 1,4 Brighton - Brighton B – D 1,2 Brighton - Bristol C – E 2,0 D – E 0,7 Totalkostnaden blir da 65,1. LOG530 Distribusjonsplanlegging