LOG530 Distribusjonsplanlegging Rutenettmodellen LOG530 Distribusjonsplanlegging

Kontinuerlig lokalisering Rutenettmodellen Kontinuerlig lokalisering I denne delen skal vi nå forsøke å finne gode lokaliseringer til fasiliteter som lager, fabrikker, osv., som betjener kunder lokalisert i gitte noder. Til forskjell fra nettverksmodellene, hvor vi hadde gitte plasseringer av alle noder for produsenter, lager, kunder, etc., så er nå plasseringen av enkelte noder ennå helt ukjent. Det kan være plassering av ett eller flere lager, en skole, brannstasjon e.l., som vi ønsker å finne en gunstig lokalisering til. Denne fasiliteten skal så betjene kundene, som er lokalisert i kjente posisjoner/noder. Ved kontinuerlig lokalisering kan vi helt fritt velge den geografiske plasseringen av de nye nodene. Vi kan f.eks. tenke oss et kart med x og y koordinater, der vi har plottet inn nodene hvor kundene er plassert. Vårt problem blir nå å finne x og y koordinatene til de nye fasilitetene. Målsettingen med lokaliseringen vil ofte være å minimere avstander eller kostnader forbundet med transport fra fasiliteten til kundenodene. Men ved kontinuerlige lokaliseringsmetoder er vi stort sett begrenset til å måle avstandene som rette linjer eller som rektangulære avstander, og vi er avskåret fra å benytte reelle avstander. Vi kan heller ikke beregne avstandene på forhånd, ettersom vi ennå ikke vet lokaliseringen av de nye fasilitetene. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Rutenettmodellen avstander Euklidsk avstand måler korteste avstand mellom to punkter i og j med koordinatene (xi; yi) og (xj; yj) som en rett linje: For båttrafikk og flytrafikk over store avstander må en beregne avstander basert på storsirkler. I mange praktiske situasjoner korrigeres den korteste avstanden med en faktor k > 1 for å kompensere for at faktisk avstand er lenger enn den korteste rette linje. Faktorer på 1,2 – 1,5 er f.eks. brukt ved beregning av amerikanske highways og jernbaner. Rektangulær avstand måles ved formelen: Navnet er beskrivende, ettersom den først beregner avstanden ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Avstanden mellom punktene beregnes altså som ”en halv firkant”, i stedet for som ”diagonalen” mellom punktene. Avstandsmålet kalles også Manhattan metrikk, ettersom det tilsvarer rimelig godt til rutenettet av gater på Manhattan og avstandene der. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Rutenettmodellen problem 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. I et område på Manhattan skal det plasseres en postkasse for ekspresspost. Åtte store firmaer innenfor området skal bruke denne, og er plassert på gatehjørner som angitt i figuren. Det er bare mulig å bevege seg langs de angitte gatene i nord/sør og øst/vest retning. Avstanden mellom 2 nabo avenyer er 800 meter, og avstanden mellom 2 nabo ”streets” er 600 meter. Vi har her tatt oss den frihet og sjonglert med x- og y –aksene. Rotér figuren 90° mot klokken for å få origo i «normal» posisjon. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Rutenettmodellen data Node Firma E-W Street Street nr. N-S Avenue Avenue nr. Pakker pr.dag 1 Sue Em Ltd. A Street First Avenue 30 2 Tort and Retort B Street Third Avenue 3 50 Bank and Rupt Forth Avenue 4 25 Jail Em Fast Ltd. C Street Second Avenue 45 5 Hang Em Inc. Fifth Avenue 60 6 Trial By Jury Inc. D Street 35 7 Never Guilty Inc. E Street 70 8 Mob Law and Sons F Street 20 Vi skal forsøke å plassere postkassen slik at de 8 firmaene totalt sett får kortest mulig avstand å tilbakelegge. Daglig behov for ekspresspakker varierer mellom firmaene, og vi bør derfor vektlegge avstandene med behovet. Dette problemet passer godt til tyngdepunktmetoden. Tyngdepunktmetoden er en kontinuerlig lokaliseringsmetode, og velger x- og y- koordinater helt fritt i grafen. Ulempen er at plasseringen man kommer fram til ikke nødvendigvis finner sted langs vegnettet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n antall noder N mengden av noder Rutenettmodellen symboler n antall noder N mengden av noder N = {1, 2, ..., n} di behov ved node i i  N Ri Transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i (xi ; yi) Koordinater for node i Beslutningsvariabler: x0 x-koordinat for lokalisering av fasiliteten (postkassen) y0 y-koordinat for lokalisering av fasiliteten (postkassen) LOG530 Distribusjonsplanlegging

Rutenettmodellen heurestikk Tyngdepunktmetoden er en meget enkel heuristikk; velg koordinatene (x0 ; y0) slik: Beregn veide gjennomsnittskoordinater for nodene, og plasser fasiliteten i det ”veide midtpunktet”. I vårt eksempel har vi ikke oppgitt noen transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i, og vi kan derfor sette Ri = 1. Formlene beregner da veid totalavstand delt på total etterspørsel. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark tyngdepunktmetoden Rutenettmodellen Regneark tyngdepunktmetoden 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. I stedet for å benytte en heuristikk for å finne tyngdepunktet, kan vi bruke rutenettmetoden. Den vil beregne korrekte avstander nå vi benytter et rektangulært avstandsmål, ettersom den først reiser ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Plasseringen en kommer fram til vil finne sted langs vegnettet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: 36‑1 Minimer samlet transportkostnad for alle noder til fasiliteten. Vi ønsker å minimere totale kostnader ved å frakte pakkene til postkassen. For node i vil den rektangulære avstanden til postkassen utgjøre |xi – x0| + |yi – y0|. Multipliserer vi denne avstanden med mengde (di) og kostnad pr. mengdeenhet pr. avstandsenhet (Ri) får vi totalkostnaden for node i : Ridi[|xi – x0| + |yi – y0|]. 36‑1 Minimer 30(|0  X0| +|0  Y0|) + 50(|600  X0| +|1600  Y0|)   + 25(|600  X0| +|2400  Y0|) 45(|1200  X0| +|800  Y0|) + 60(|1200  X0| +|3200  Y0|) 35(|1800  X0| + 70(|2400  X0| 20(|3000  X0| Restriksjoner: Vi har ingen restriksjoner til dette problemet, postkassen kan plasseres hvor som helst. Vi kan også tillate negative verdier for koordinatene, ettersom nullpunktet kan velges fritt i grafen. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark rutenettmodellen Merk at Solver automatisk transformerer fra NSP til et LP-problem LOG530 Distribusjonsplanlegging

Lokalisering rutenettmetoden Rutenettmodellen Lokalisering rutenettmetoden 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Vi ser at vi nå faktisk får den optimale plasseringen akkurat på hjørnet mellom C Street og 4. Avenue. Om vi benytter Euklidske avstander blir optimale koordinater (1272,3; 1791,3), som er ganske nær heuristikkløsningen (1379; 1743), dvs. nær hjørnet C Street og 3. Avenue. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Flere fasiliteter kontinuerlig metode: n antall noder N Rutenettmodellen symboler Flere fasiliteter kontinuerlig metode: n antall noder N mengden av noder N = {1, 2, ..., n} di behov ved node i i  N Ri Transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i (xi ; yi) Koordinater for node i p Antall fasiliteter som skal opprettes P Mengden av fasiliteter P = {n+1, n+2, ..., n+p} LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: xj Rutenettmodellen symboler Beslutningsvariabler: xj x-koordinat for lokalisering av fasilitet j (postkasse j) j P yj y-koordinat for lokalisering av fasilitet j (postkasse j) Wij Angir om node i blir betjent av fasilitet j Wij  {0, 1,} ; i  N ; j P LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: 36‑2 Minimer samlet transportkostnad fra alle noder til fasilitetene som benyttes. Restriksjoner: 36‑3 Hver kunde benytter kun en postkasse. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Kontinuerlig lokalisering to fasiliteter Rutenettmodellen Kontinuerlig lokalisering to fasiliteter 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Lokalisering etter diskret metode Rutenettmodellen Lokalisering etter diskret metode Når vi benytter en diskret lokaliseringsmetode, så skal lokaliseringen skje i en på forhånd utvalgt mengde av mulige noder. Vi har altså et endelig antall gitte punkter å velge blant. I dette eksemplet er punktene definert som gatehjørnene. Ettersom det er 5 Avenues og 6 Streets, gir det i alt 5∙6 = 30 hjørner/noder. Vi må anta at postkassen har ”ubegrenset” kapasitet, i hvert fall stor nok kapasitet til å dekke sum etterspørsel. Da kan vi benytte en p-MP modell. 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n antall noder N mengden av noder Rutenettmodellen symboler n antall noder N mengden av noder N = {1, 2, ..., n} k antall kunder 1 ≤ k ≤ n K mengden av kunder K = {1, 2, ..., k} p antall fasiliteter 1 ≤ p ≤ k dt behov ved node t t  K cft avstand mellom node f og node t f  N; t  K Beslutningsvariabler: Yft Binærvariabel som indikerer om en fasilitet i node f betjener kunde t f  N; t  K Uf Binærvariabel som indikerer om en fasilitet skal opprettes i node f f  N LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: 36‑4 Minimer samlet transportkostnad for alle kunder til fasilitetene som betjener de. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 36‑5 Hver kunde blir betjent fra kun en fasilitet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 36‑6 Ingen kunder kan bli betjent fra en node uten fasilitet. 36‑7 Ingen kunder kan bli betjent fra en node uten fasilitet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 36‑8 Det skal opprettes nøyaktig p fasiliteter. Forenkling: Vi kan her forenkle modellen, ettersom det i dette eksemplet bare skal plasseres en postkasse, dvs. antall fasiliteter p = 1. Vi trenger derfor ikke Yft variabelen, fordi alle klienter må bli betjent fra den ene fasiliteten som opprettes. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: 36‑9 Minimer samlet transportkostnad for alle kunder til fasiliteten som opprettes. Restriksjoner: 36‑10 Det skal opprettes kun 1 fasilitet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark diskret lokalisering Rutenettmodellen Regneark diskret lokalisering Merk at vi har løst problemet uten bruk av Solver. Vi velger den lokalisering som gir lavest total veid avstand til alle kundene. Samme lokalisering som ved kontinuerlig metode LOG530 Distribusjonsplanlegging

diskret lokalisering to fasiliteter Rutenettmodellen diskret lokalisering to fasiliteter LOG530 Distribusjonsplanlegging

Lokalisering 2 fasiliteter diskret metode Rutenettmodellen Lokalisering 2 fasiliteter diskret metode 1 2 3 4 5 6 7 8 800 1600 2400 3200 600 1200 1800 3000 A Street B Street C Street D Street E Street F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Nå kan vi ikke benytte forenklingen, og må derfor bruke ligning 36‑4 til 36‑8 som vår modell, dvs. en generell p-MP modell. Vi ser at optimal plassering nå er på hjørnet av C Street og 1. Avenue, samt hjørnet av C Street og 4. Avenue. Total veid avstand (brevmeter) blir redusert fra 538.000 til 346.000. LOG530 Distribusjonsplanlegging