LOG530 Distribusjonsplanlegging Lokalisering og distribusjon i nettverk LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Lokalisering og distribusjon i nettverk Nettverk 1 2 4 5 3 6 8 7 9 12 I diskret lokalisering har vi et nettverk med en gitt mengde noder, og disse nodene kan være aktuelle steder å foreta lokaliseringen i. Vi har altså foretatt en mengde analyser av potensielle lokaliseringer, og plukket ut diverse gode kandidater som kan være formålstjenelige steder å bygge nye fasiliteter. Om vi f.eks. skal bestemme plasseringen av et nytt meieri, så må det altså først foretas analyser av tilgjengelige tomter, og kontrollere at grunnleggende infrastruktur som et godt veinett, tilstrekkelig kraft, vanntilførsel, etc. er tilgjengelig. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Lokalisering og distribusjon i nettverk data Node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kostnad 50000 65000 40000 35000 70000 55000 45000 60000 Kapasitet 3200 2500 3000 3500 2800 3400 3100 2700 3300 Behov 1400 800 900 1300 1000 1200 1500 1100 1600 Hver node er et tettsted med et visst behov som grossisten skal dekke. For å dekke behovet må det opprettes mist ett lager, og aktuelle lokaliseringer er i de angitte nodene. Kostnaden og kapasiteten til et lager vil avhenge av hvor det blir bygd. Grossisten må altså bestemme både hvor lagrene skal bygges, samt hvor mye som skal leveres, og til hvem. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Lokalisering og distribusjon i nettverk Problem Grossisten må nå bestemme hvor mange lager som skal bygges, og hvor. Han må også bestemme hvor mye som skal sendes fra de forskjellige lagrene til de ulike kundene, og også hvor forsendelsen skal foregå, dvs. langs hvilke grener. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n Antall noder N Mengden noder Lokalisering og distribusjon i nettverk symboler n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden greiner dj Etterspørsel ved node j j  {N} qi kapasitet hos lager i i  {N} ci kostnad ved å opprette lager i aft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} bft Maksimal transportkapasitet fra node f til node t Beslutningsvariabler: Xft Mengde fraktet fra node f til node t (f,t)  {G} Ui Angir om det opprettes et lager i node i Ui  {0,1} ; i  {N} Merk at Ui er en binærvariabel som er lik 1 hvis det opprettes et lager i node i, hvis ikke det opprettes et lager i node i er Ui lik 0. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Lokalisering og distribusjon i nettverk Matematisk formulering Målfunksjon: 15‑1 Minimer summen av totale faste kostnader ved opprettelse av lager og totale transportkostnader ved frakt langs alle greiner. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Lokalisering og distribusjon i nettverk MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 15‑2 Mengde transportert langs en grein kan ikke være større enn kapasiteten for greinen. Dette kravet gjelder alle greiner. Her er det lagt inn restriksjoner på transportmengdene ut fra node 5, men ikke til nodene 3 og 4. Det er av praktiske grunner lagt inn restriksjoner på alle greinene, men grensen er satt svært høy for de greinene som faktisk ikke har kapasitetsbegrensinger. For de greiner med begrensing er maks kapasitet lik 3 000. For de greiene med ubegrenset kapasitet er grensen satt lik 30 000. Det tilsvarer nesten 3 ganger totaletterspørselen, og vil derfor aldri være en begrensing. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Lokalisering og distribusjon i nettverk MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 15‑3 Lagerkapasitet + frakt inn – frakt ut må minst dekke etterspørselen i noden. Dette kravet gjelder alle noder. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark organisert som nettverk Lokalisering og distribusjon i nettverk Regneark organisert som nettverk En tabell for nodene (restriksjonene) En tabell for greinene (beslutningsvariablene) LOG530 Distribusjonsplanlegging

Alternativ formulering Lokalisering og distribusjon i nettverk Alternativ formulering Om vi har utarbeidet en komplett avstandsmatrise, kan vi formulere problemet på en alternativ måte. Noder 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 14 11 10 16 13 Merk at avstandene aij nå angir korteste avstand fra node i til node j, og at vi må beregne en komplett avstandsmatrise. Dvs. vi må beregne korteste avstand fra enhver node til enhver node. Vi må altså løse en mengde LP-modeller for korteste reiserute, for å skaffe grunnlagsdata for lokaliseringsmodellen vår. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n Antall noder N Mengden noder Lokalisering og distribusjon i nettverk symboler n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} dj Etterspørsel ved node j j  {N} qi kapasitet hos lager i i  {N} ci kostnad ved å opprette lager i aij Korteste avstand mellom node i og node j i  {N} ; j  {N} bij Maksimal transportkapasitet fra node f til node t Beslutningsvariabler: Xij Mengde fraktet fra node i til node j i  {N} ; j  {N} Ui Angir om det opprettes et lager i node i Ui  {0,1} ; i  {N} Merk at Ui er en binærvariabel som er lik 1 hvis det opprettes et lager i node i, hvis ikke det opprettes et lager i node i er Ui lik 0. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Lokalisering og distribusjon i nettverk Matematisk formulering Målfunksjon: 15‑4 Minimer summen av totale faste kostnader ved opprettelse av lager og totale transportkostnader ved frakt fra alle lager til alle kunder. Her er altså benyttet variabler for direkte forbindelser fra alle noder til alle noder. Avstandene representerer da ofte transport via andre transittnoder, slik at «direkteavstanden» er kortest mulig. Merk at avstanden fra node i til node j=i (fra og til samme node) er null, og mengden representerer i så fall mengde på lager men ikke videresendt, altså lagret til eget forbruk. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Lokalisering og distribusjon i nettverk MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 15‑5 Mengde transportert langs en grein kan ikke være større enn kapasiteten for greinen. Dette kravet gjelder alle greiner. Denne restriksjonen er nå noe tvilsom. Det vil være mange «direkteforbindelser» som er virtuelle, dvs. de er beregnet som korteste «direkteavstand», men ofte via andre noder i mellom. F.eks. kan «direkteforbindelsene» 1-9 og 3-8 for noen eksempler begge gå via 5-7. Men ingen av disse kvanta X19 og X38 blir registrert på strekningen 5-7 slik modellen er formulert. Denne restriksjonen er derfor ikke med i regnearket. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Lokalisering og distribusjon i nettverk MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 15‑6 Lagerkapasitet + frakt inn – frakt ut må minst dekke etterspørselen i noden. Dette kravet gjelder alle noder. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark basert på avstandstabell Lokalisering og distribusjon i nettverk Regneark basert på avstandstabell Dette regnearket bygger på en komplett avstandsmatrise, og har n2 beslutningsvariabler. Mange av disse angir kjøreruter som ikke eksisterer, f.eks. X2,9. Her må vi konsultere beregningene fra LP-modellen over korteste kjørerute fra node 2 til node 9 for å finne den faktiske kjøreruten. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Parametrisk analyse av kostnader Vi har antatt at transportkostnaden er 1,- pr. mengdeenhet, og målfunksjonen vår inneholder i prinsippet kun mengdeavstand, ikke transportkostnad. Men om vi multipliserer total mengdeavstand med kr. 1,- (kostnaden pr. lengdeeenhet), så får vi selvsagt samme tall, bare at da er enheten i kroner. På grunn av at hvert lager har svært begrenset kapasitet, så ender vi opp med at det trengs totalt 4 lager (i node 3, 4, samt 7 og 8). Selv om transportkostnaden blir mindre enn kr. 1,- pr. lengdeenhet, så kan vil altså ikke finne en mulig løsning med færre enn 4 lager, hvis vi skal kunne dekke total etterspørsel. Men om transportkostanadene øker, vil det selvsagt bli mindre lønnsomt med transport, og mer lønnsomt å opprette flere lagre. Den løsningen vi har funnet er altså ikke den beste løsningen uavhengig av transportkostnad pr. mengdeenhet, selv om transportkostnaden er proporsjonal med avstandene. LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n Antall noder N Mengden noder Lokalisering og distribusjon i nettverk symboler n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden greiner dj Etterspørsel ved node j j  {N} qi kapasitet hos lager i i  {N} ci kostnad ved å opprette lager i aft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} bft Maksimal transportkapasitet fra node f til node t k Enhetskostnad pr. lengdeenhet Beslutningsvariabler: Xft Mengde fraktet fra node f til node t (f,t)  {G} Ui Angir om det opprettes et lager i node i Ui  {0,1} ; i  {N} Merk at Ui er en binærvariabel som er lik 1 hvis det opprettes et lager i node i, hvis ikke det opprettes et lager i node i er Ui lik 0. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Lokalisering og distribusjon i nettverk Matematisk formulering Målfunksjon: 15‑7 Minimer summen av totale faste kostnader ved opprettelse av lager og totale transportkostnader ved frakt langs alle greiner. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Modifisert regneark Celle Formel Kopieres til J3 =I3*O3 J4:J11 K3 =SUMIF($C$3:$C$36;H3;$E$3:$E$36) K4:K11 L3 =SUMIF($B$3:$B$36;H3;$E$3:$E$36) L4:L11 M3 =J3+K3-L3 M4:M11 P12 =SUMPRODUCT(I3:I11;P3:P11) - P13 =SUMPRODUCT(D3:D36;E3:E36)*H13 P14 =SUM(P12:P13) I12 =SUM(I3:I11) H12 =PsiOptValue(I12) H13 =PsiOptParam(1;50;1) LOG530 Distribusjonsplanlegging

Parametrisk analyse LOG530 Distribusjonsplanlegging

Ulik lokalisering av 4 lager Selv om det er optimalt med 4 lager for kostnader inntil kr. 8,- pr. lengdeenhet, så vil lokaliseringen av disse 4 kunne variere avhengig av kostnaden. LOG530 Distribusjonsplanlegging