Managerial Decision Modeling A Practical Introduction to Management Science, 5ed by Cliff Ragsdale

Integer Programming LOG350 Operasjonsanalyse2 Rasmus Rasmussen Chapter 6

Introduksjon  Når en eller flere variabler i et LP problem må anta heltallsverdier har vi et Heltallsproblem, Integer Linear Programming (ILP) problem.  ILP problemer er ganske vanlige: Fordele arbeidsstyrke Fordele arbeidsstyrke Produsere fly Produsere fly  Heltallsvariabler gjør oss også i stand til å lage mer nøyaktige modeller for en mengde økonomiske problemer. LOG350 Operasjonsanalyse3 Rasmus Rasmussen

Heltallsrestriksjoner LOG350 Operasjonsanalyse4 Rasmus Rasmussen MAX: 350X X 2 } dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <= 200} pumper 9X 1 + 6X 2 <= 1566} arbeid 12X X 2 <= 2880} rør X 1, X 2 >= 0} ikke-negativitet X 1, X 2 må være heltall } heltallsrestriksjon Heltallsbetingelser er enkle å angi, men problemet blir ofte mye vanskeligere (og noen ganger umulig) å løse.

Forenkling  Opprinnelig ILP MAX:2X 1 + 3X 2 S.T.:X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1, X 2 >= 0 X 1, X 2 må være heltall  LP forenkling MAX:2X 1 + 3X 2 S.T.:X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1, X 2 >= 0 Vi ser bort fra heltallsbetingelsene LOG350 Operasjonsanalyse5 Rasmus Rasmussen

Mulige heltallsløsninger og Mulighetsområdet til LP problemet LOG350 Operasjonsanalyse6 Rasmus Rasmussen X1X1 X2X2 Mulige heltallsløsninger

Løsning av ILP problemer  Når en løser et LP-forenklet heltallsproblem, kan en noen ganger være heldig å få en optimal heltallsløsning.  Det var tilfellet i det opprinnelige Blue Ridge Hot Tubs problemet i tidligere kapitler.  Men hva hvis vi reduserer tilgjengelig arbeidstid til 1520 timer og tilgjengelig mengde rør til 2650 dm ? LOG350 Operasjonsanalyse7 Rasmus Rasmussen

LP problem med desimalløsning LOG350 Operasjonsanalyse8 Rasmus Rasmussen

Grenser  Den optimale løsningen til et LP-forenklet heltallsproblem gir oss en grense for den optimale verdien på målfunksjonen.  For maksimerings problemer er den optimale forenklede målfunksjonen en øvre grense for den optimale heltallsløsningen.  For minimerings problemer er den optimale forenklede målfunksjonen en nedre grense for den optimale heltallsløsningen. LOG350 Operasjonsanalyse9 Rasmus Rasmussen

Avrunding  Det er fristende å ganske enkelt avrunde en desimalløsning til nærmeste heltallsløsning.  Generelt vil dette ikke virke tilfredsstillende: Den avrundede løsningen kan være umulig. Den avrundede løsningen kan være umulig. Den avrundede løsningen kan være suboptimal. Den avrundede løsningen kan være suboptimal. LOG350 Operasjonsanalyse10 Rasmus Rasmussen

Hvordan avrunding nedover kan skape en umulig løsning LOG350 Operasjonsanalyse11 Rasmus Rasmussen X1X1 X2X Optimal forenklet løsning Ikke mulig løsning som resultat av å runde av nedover

Branch-and-Bound  Branch-and-Bound (B&B) algoritmen kan brukes for å løse ILP problemer.  Krever løsning av en serie med LP problemer kalt ”kandidat problemer”.  Teoretisk kan dette løse et hvilket som helst ILP.  I praksis krever det ofte enormt mye regnekraft (og tid). LOG350 Operasjonsanalyse12 Rasmus Rasmussen

Stoppe - regler  Fordi B&B tar så lang tid, tillater de fleste ILP pakker å angi en suboptimalitets toleranse faktor.  Den lar deg stoppe straks en heltallsløsning er funnet som er innenfor en gitt % av den globale optimale løsningen.  Grenser oppnådd fra LP-forenklingen er her nyttige. F.eks. F.eks. LP forenklingen har en optimal verdi på målfunksjonen lik $64,306.LP forenklingen har en optimal verdi på målfunksjonen lik $64, % av $64,306 er $61,090.95% av $64,306 er $61,090. En heltallsløsning med verdi på målfunksjonen lik $61,090 eller mer må derfor ligge innenfor 5% av den optimale løsningen.En heltallsløsning med verdi på målfunksjonen lik $61,090 eller mer må derfor ligge innenfor 5% av den optimale løsningen. LOG350 Operasjonsanalyse13 Rasmus Rasmussen

Bruk av Solver på heltall  Angi heltall som en restriksjon på de aktuelle beslutningsvariablene : LOG350 Operasjonsanalyse14 Rasmus Rasmussen

Angi toleranse i Solver  Velg Options og Integer Options : Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse15

Heltallsløsning fra Solver  Når Solver har løst et heltallsproblem får vi følgende beskjed : LOG350 Operasjonsanalyse16 Rasmus Rasmussen

Bruk av Solver på heltall  Angi heltall som en restriksjon på de aktuelle beslutningsvariablene : LOG350 Operasjonsanalyse17 Rasmus Rasmussen  Bare beslutningsvariabler kan ha heltallskrav.

Angi toleranse i Solver  Under Engine tab i Task Pane, Integer Tolerance.  I den nye Solver (V9 osv.) er standard Integer Tolerance = 0  Forbedret B&B algoritmer (strong branching) gjør at Solver raskere finner gode heltallsløsninger. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse18

Er heltallsløsningen optimal ? LOG350 Operasjonsanalyse19 Rasmus Rasmussen

Hvordan få optimal heltallsløsning  Da må vi sette Tolerance til 0%: Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse20 Sett denne verdien til 0 hvis du vil finne den globale optimale løsningen. (Men det kan ta lang tid)

Optimal heltallsløsning LOG350 Operasjonsanalyse21 Rasmus Rasmussen

Et skiftplanleggingsproblem: Air-Express LOG350 Operasjonsanalyse22 Rasmus Rasmussen Dag Behov Skift 1Skift 2Skift 3Skift 4Skift 5Skift 6Skift 7 Mandag 27 Fri Tirsdag 22 Fri Onsdag 26 Fri Torsdag 25 Fri Fredag 21 Fri Lørdag 19 Fri Søndag 18 Fri Lønn Behovet for antall ansatte varierer med ukedagene. Lønn pr. ansatt pr. uke er lavest for de som har fri i helgene (lørdag og søndag).

Definer beslutningsvariablene LOG350 Operasjonsanalyse23 Rasmus Rasmussen X 1 = antall arbeidere tildelt skift 1 X 2 = antall arbeidere tildelt skift 2 X 3 = antall arbeidere tildelt skift 3 X 4 = antall arbeidere tildelt skift 4 X 5 = antall arbeidere tildelt skift 5 X 6 = antall arbeidere tildelt skift 6 X 7 = antall arbeidere tildelt skift 7

Definer målfunksjonen Minimer totale lønnskostnader : MIN: 680X X X X X X X 7 LOG350 Operasjonsanalyse24 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Behov for arbeidere hver ukedag: 0X 1 + 0X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 27 } Mandag 1X 1 + 0X 2 + 0X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 22 } Tirsdag 1X 1 + 1X 2 + 0X 3 + 0X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 26 } Onsdag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 0X 4 + 0X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 25 } Torsdag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 0X 5 + 0X 6 + 1X 7 >= 21 } Fredag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 0X 6 + 0X 7 >= 19 } Lørdag 0X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 0X 7 >= 18 } Søndag  Ikke-negativitets-betingelsene: X i >= 0 for alle i LOG350 Operasjonsanalyse25 Rasmus Rasmussen

Standard LP i regneark LOG350 Operasjonsanalyse26 Rasmus Rasmussen

Alternativ layout LOG350 Operasjonsanalyse27 Rasmus Rasmussen

Binær -variabler  Binære variabler er heltallsvariabler som bare kan anta to verdier: 0 eller 1.  Slike variabler kan være meget nyttige i en mengde praktiske modelleringssituasjoner. LOG350 Operasjonsanalyse28 Rasmus Rasmussen

Et kapitalbudsjetteringsproblem: CRT Technologies Forventet NPV Prosjekt (i $000) År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 1$141 $75$25$20$15$10 2$187 $90$35 $0 $0$30 3$121 $60$15$15$15$15 4 $83 $30$20$10 $5 $5 5$265$100$25$20$20$20 6$127 $50$20$10$30$40 LOG350 Operasjonsanalyse29 Rasmus Rasmussen Kapital (i $000) som trengs i u Selskapet har for øyeblikket $250,000 disponibelt til å investere i nye prosjekter. Det har budsjettert $75,000 til fornyet dekning til disse prosjektene i år 2, og $50,000 per år for årene 3, 4, og 5.

Definere beslutningsvariablene LOG350 Operasjonsanalyse30 Rasmus Rasmussen Vi kan altså investere i prosjektene 1 – 6, men bare i hele prosjekter. Og vi kan ikke investere i mer enn ett prosjekt av samme type, dvs. prosjektene kan ikke dupliseres.

Definere målfunksjonen  Maksimer total netto nåverdi av de valgte prosjektene. MAX: 141X X X X X X 6 LOG350 Operasjonsanalyse31 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Kapitalrestriksjoner 75X X X X X X 6 <= 250} år 1 25X X X X X X 6 <= 75} år 2 20X 1 + 0X X X X X 6 <= 50} år 3 15X 1 + 0X X 3 + 5X X X 6 <= 50} år 4 10X X X 3 + 5X X X 6 <= 50} år 5  Binærrestriksjoner X i <= 1, i = 1, 2,..., 6 X i >= 0, i = 1, 2,..., 6 Alle X i må være heltall LOG350 Operasjonsanalyse32 Rasmus Rasmussen

Programvaretips  Solver i Excel 8.0 (Office 97) har en “bin” mulighet for angivelse av binære variabler.  Du slipper da å benytte de restriksjonene som var angitt på forrige slide vedrørende binære variabler. LOG350 Operasjonsanalyse33 Rasmus Rasmussen

Implementere Modellen LOG350 Operasjonsanalyse34 Rasmus Rasmussen

Binære Variabler & Logiske Betingelser  Binære variabler er også nyttige ved modellering av en rekke logiske betingelser. Av prosjektene 1, 3 & 6, kan maksimalt ett velges: Av prosjektene 1, 3 & 6, kan maksimalt ett velges: X 1 + X 3 + X 6 <= 1X 1 + X 3 + X 6 <= 1 Av prosjektene 1, 3 & 6, må nøyaktig ett velges: Av prosjektene 1, 3 & 6, må nøyaktig ett velges: X 1 + X 3 + X 6 = 1X 1 + X 3 + X 6 = 1 Prosjekt 4 kan ikke velges med mindre også prosjekt 5 velges: Prosjekt 4 kan ikke velges med mindre også prosjekt 5 velges: X 4 – X 5 <= 0X 4 – X 5 <= 0eller X 4 <= X 5X 4 <= X 5 LOG350 Operasjonsanalyse35 Rasmus Rasmussen

Faste kostnader  Mange beslutninger medfører at faste kostnader endres: l Kostnad ved leasing, leie eller kjøp av utstyr som kreves hvis et spesielt alternativ velges. l Klargjøringskostnader som er nødvendige for å forberede en maskin eller et produksjonsutstyr til å produsere en annen type produkt. l Kostnaden ved å konstruere nytt produksjonsutstyr som kreves hvis en bestemt beslutning fattes. l Kostnader ved å ansette mer personale som vil bli nødvendig hvis en bestemt beslutning tas. LOG350 Operasjonsanalyse36 Rasmus Rasmussen

Eksempel med faste kostnader : Remington Manufacturing OperasjonProd. 1Prod. 2Prod. 3Timer tilgjengelig Maskinering Sliping Montering DB pr. Stk.$48$55$50 Klargjøringskost$1000$800$900 LOG350 Operasjonsanalyse37 Rasmus Rasmussen Timer som trengs for:

Definere beslutningsvariablene Y i = binærvariabel X i = kvantum av produkt i som skal produseres, i = 1, 2, 3 LOG350 Operasjonsanalyse38 Rasmus Rasmussen Y i angir om vi har klargjort til produksjon av produkt X i :

Definere målfunksjonen  Maksimere total fortjeneste. MAX: – 1000Y 1 – 800Y 2 – 900Y X X X 3 LOG350 Operasjonsanalyse39 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Ressursrestriksjoner 2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering  Binær-restriksjoner Y i <= 1, i = 1, 2, 3 Y i >= 0, i = 1, 2, 3 Alle Y i må være heltall  Ikke-negativitetsrestriksjoner X i >= 0, i = 1, 2, 3  Er det noe som mangler ? LOG350 Operasjonsanalyse40 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene (forts.)  Koble restriksjonene (med “Big M”) X 1 <= M 1 Y 1 eller X 1 - M 1 Y 1 <= 0 X 2 <= M 2 Y 2 eller X 2 - M 2 Y 2 <= 0 X 3 <= M 3 Y 3 eller X 3 - M 3 Y 3 <= 0  Hvis Y i = 0 så vil disse restriksjonene tvinge X i til å bli lik 0.  Hvis Y i = 1 så tillater disse restriksjonene X i å være 0 eller større. Men hvis X i = 0 vil målsettingen da medføre at også Y i settes til 0, for å spare kostnader.  Merk at M i angir en øvre grense for X i.  Vi må velge en tilstrekkelig stor men ikke for stor verdi til M i. LOG350 Operasjonsanalyse41 Rasmus Rasmussen

Finne rimelige verdier for M 1  Betrakt ressursrestriksjonene 2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering  Hva er maksimum verdi X 1 kan anta? La X 2 = X 3 = 0 X 1 = MIN(600/2, 300/6, 400/5) = MIN(300, 50, 80) = 50  Maximum verdier for X 2 & X 3 kan finnes på samme måte. LOG350 Operasjonsanalyse42 Rasmus Rasmussen

Sammendrag av modellen MAX:- 1000Y Y Y X X X 3 Slik at:2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering X 1 <= 50Y 1 X 1 <= 50Y 1 X 2 <= 67Y 2 kobling X 3 <= 75Y 3 Y i <= 1, i = 1, 2, 3 Y i >= 0, i = 1, 2, 3 binær-restriksjoner Alle Y i må være heltall Y i >= 0, i = 1, 2, 3 binær-restriksjoner Alle Y i må være heltall X i >= 0, i = 1, 2, 3} ikke-negativitet LOG350 Operasjonsanalyse43 Rasmus Rasmussen } }

Mulige feller  Ikke bruk IF( ) funksjonen til å modellere sammenhengen mellom X i og Y i. Anta celle A5 representerer X 1 Anta celle A5 representerer X 1 Anta celle A6 representerer Y 1 Anta celle A6 representerer Y 1 Du ønsker å lage A6 = IF(A5>0;1;0) Du ønsker å lage A6 = IF(A5>0;1;0) Dette vil skape store problemer for Solver! Dette vil skape store problemer for Solver!  La Y i være som en hvilken som helst variabel. Gjør dem til binære beslutningsvariabler. Gjør dem til binære beslutningsvariabler. Bruk koblingsrestriksjoner til å skape de nødvendige sammenhengene mellom X i og Y i. Bruk koblingsrestriksjoner til å skape de nødvendige sammenhengene mellom X i og Y i. LOG350 Operasjonsanalyse44 Rasmus Rasmussen

Implementere modellen LOG350 Operasjonsanalyse45 Rasmus Rasmussen

Minimum ordre størrelse Anta at Remington ikke ønsker å produsere noe av produkt 3 uten at det blir produsert minst 40 enheter... LOG350 Operasjonsanalyse46 Rasmus Rasmussen Vurder følgende: X 3 <= M 3 Y 3 X 3 >= 40 Y 3

Kvantumsrabatter LOG350 Operasjonsanalyse47 Rasmus Rasmussen MAX: 350X X 2 } dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <= 200} pumper 9X 1 + 6X 2 <= 1520} arbeid 12X X 2 <= 2650} rør X 1, X 2 >= 0} ikke-negativitet u Kvantumsrabatter: – Ved produksjon over 75 X 1 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 375$ pr. enhet. –Ved produksjon over 50 X 2 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 325$ pr. enhet.

Revidert modell LOG350 Operasjonsanalyse48 Rasmus Rasmussen MAX: 350X X 21 + } kvanta uten rabatt 375X X 22 } kvanta med rabatt S.T.:1X X X X 22 <= 200} pumper 9X X X X 22 <= 1560} arbeid 12X X X X 22 <= 2650} rør X 12 <= M 12 Y 1 } kan ikke produsere med rabatt X 11 >= 75Y 1 } før vi ha produsert 75 uten. X 22 <= M 22 Y 2 } kan ikke produsere med rabatt X 21 >= 50Y 2 } før vi ha produsert 50 uten. Y 1, Y 2 binærvariabler; X ij ikke-negative heltall.

Standard LP modell LOG350 Operasjonsanalyse49 Rasmus Rasmussen

Alternativ lay-out LOG350 Operasjonsanalyse50 Rasmus Rasmussen

Et kontraktstildelingsproblem: B&G Construction Kostnad pr levert tonn sement Selskap Prosjekt 1 Prosjekt 2 Prosjekt 3 Prosjekt 4 Kapasitet 1$120 $115$130$ tonn 2$100 $150$110 $ tonn 3$140 $95$145$ tonn Behov450 tonn 275 tonn300 tonn350 tonn LOG350 Operasjonsanalyse51 Rasmus Rasmussen u Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn. u Selskap 2 kan levere ordrer på over 200 tonn bare for ett prosjekt. u Selskap 3 leverer totalt bare i kvanta på 200, 400 eller 550 tonn.

Definere beslutningsvariablene X ij = tonn sement kjøpt fra selskap i til prosjekt j i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 LOG350 Operasjonsanalyse52 Rasmus Rasmussen

Definere målfunksjonen  Minimere totale kostnader. MIN:120X X X X X X X X X X X X 34 LOG350 Operasjonsanalyse53 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Kapasitetsrestriksjoner X 11 + X 12 + X 13 + X 14 <= 525} Selskap 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 <= 450} Selskap 2 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 <= 550} Selskap 3  Etterspørselsrestriksjoner X 11 + X 21 + X 31 = 450} Prosjekt 1 X 12 + X 22 + X 32 = 275} Prosjekt 2 X 13 + X 23 + X 33 = 300} Prosjekt 3 X 14 + X 24 + X 34 = 350} Prosjekt 4  Ikke-negativitetsrestriksjoner X ij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 LOG350 Operasjonsanalyse54 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene (forts.)  Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn X 1j <= 525Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 1j >= 150Y 1j j = 1, 2, 3, 4  Selskap 2 kan levere over 200 tonn bare for ett prosjekt X 2j <= Y 2j j = 1, 2, 3, 4 Y 21 + Y 22 + Y 23 + Y 24 <= 1  Selskap 3 leverer totalt bare 200, 400 eller 550 tonn X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200Y Y Y 33 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200Y Y Y 33 Y 31 + Y 32 + Y 33 <= 1 LOG350 Operasjonsanalyse55 Rasmus Rasmussen

Sammendrag av modellen MIN:120X X X X X X X X X X X X 34 slik at:X 11 + X 12 + X 13 + X 14 <= 525} Selskap 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 <= 450} Selskap 2 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 <= 550} Selskap 3 X 11 + X 21 + X 31 = 450} Prosjekt 1 X 12 + X 22 + X 32 = 275} Prosjekt 2 X 13 + X 23 + X 33 = 300} Prosjekt 3 X 14 + X 24 + X 34 = 350} Prosjekt 4 LOG350 Operasjonsanalyse56 Rasmus Rasmussen

Sammendrag av modellen (forts.) X 1j <= 525Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 1j >= 150Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 2j <= Y 2j j = 1, 2, 3, 4 Y 21 + Y 22 + Y 23 + Y 24 <= 1 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200Y Y Y 33 Y 31 + Y 32 + Y 33 <= 1 X ij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 Y ij =binær-variabel; i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 LOG350 Operasjonsanalyse57 Rasmus Rasmussen

Implementere modellen LOG350 Operasjonsanalyse58 Rasmus Rasmussen

Branch-And-Bound algoritmen LOG350 Operasjonsanalyse59 Rasmus Rasmussen MAX: 2X 1 + 3X 2 S.T. X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1, X 2 >= 0 og heltall

Løsning av LP Relaxation LOG350 Operasjonsanalyse60 Rasmus Rasmussen X1X1 X2X2 Mulige heltallsløsninger Optimal Relaxed løsning X 1 = 2.769, X 2 =1.826 Målfunksjon =

Branch-And-Bound algoritmen LOG350 Operasjonsanalyse61 Rasmus Rasmussen MAX: 2X 1 + 3X 2 S.T. X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1 <= 2 X 1, X 2 >= 0 og heltall Problem I MAX: 2X 1 + 3X 2 S.T. X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1 >= 3 X 1, X 2 >= 0 og heltall Problem II

Løsning til LP Relaxation LOG350 Operasjonsanalyse62 Rasmus Rasmussen X1X1 X2X2 Problem I Problem II X 1 =2, X 2 =2.083, Målfunksjon = 10.25

Branch-And-Bound algoritmen LOG350 Operasjonsanalyse63 Rasmus Rasmussen MAX: 2X 1 + 3X 2 S.T. X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1 <= 2 X 2 <= 2 X 1, X 2 >= 0 og heltall Problem III MAX: 2X 1 + 3X 2 S.T. X 1 + 3X 2 <= X 1 + X 2 <= 8.75 X 1 <= 2 X 2 >= 3 X 1, X 2 >= 0 og heltall Problem IV

Løsning til LP Relaxation LOG350 Operasjonsanalyse64 Rasmus Rasmussen X1X1 X2X2 Problem III Problem II X 1 =2, X 2 =2, Målfunksjon = 10 X 1 =3, X 2 =1.25, Målfunksjon = 9.75

B&B Sammendrag LOG350 Operasjonsanalyse65 Rasmus Rasmussen X 1 =2.769 X 2 =1.826 Obj = X 1 =2 X 2 =2.083 Obj = X 1 =2 X 2 =2 Obj = 10 infeasible X 1 =3 X 2 =1.25 Obj = 9.75 Opprinnelig Problem Problem II Problem I Problem IIIProblem IV X 1 >=3 X 1 <=2 X 2 >=3X 2 <=2

End of Chapter 6 LOG350 Operasjonsanalyse66 Rasmus Rasmussen