Managerial Decision Modeling A Practical Introduction to Management Science, 5ed by Cliff Ragsdale

Optimization With Multiple Objectives LOG350 Operasjonsanalyse2 Rasmus Rasmussen Chapter 7

Introduksjon  De fleste optimeringsproblemene vi har sett på så langt har hatt kun én målsetting.  Ofte kan det hende at et problem kan ha mer enn én målsetting.  Maksimere avkastning eller minimere risiko  Maksimere profitt eller minimere forurensing  Disse målsettingene er ofte i konflikt med hverandre.  I dette kapittelet skal vi vise hvordan vi kan løse slike problemstillinger. LOG350 Operasjonsanalyse3 Rasmus Rasmussen

Målprogrammering Goal Programming (GP)  De fleste LP problemer har hard constraints (absolutte restriksjoner) som ikke kan fravikes...  Det er bare 1,566 arbeidstimer tilgjengelig.  Det er $850,000 tilgjengelige investeringsmidler.  I noen tilfeller er absolutte restriksjoner for restriktive...  Ved kjøp av bil har du satt deg en maksimum pris (dette er din ”goal” eller mål -pris).  Hvis du ikke kan kjøpe bilen til denne prisen vil du sannsynligvis finne en måte å skaffe mere penger til bilen.  Vi bruker soft constraints (dvs. avviksvariabler) til å representere slike mål vi ønsker å oppnå. LOG350 Operasjonsanalyse4 Rasmus Rasmussen

Et målprogrammeringseksempel: Myrtle Beach Hotel Expansion  Davis McKeown ønsker å utvide møtesenteret ved sitt hotell i Myrtle Beach, South Carolina.  De forskjellige møterommene som vurderes er: 5 u Davis ønsker å utvide med 5 små, 10 medium og 15 store konferanserom. u Han ønsker også at utvidelsen skal være på totalt 25,000 m 2 og ikke koste mer enn $1,000,000. Størrelse (m 2 )Enhetspris Lite400$18,000 Medium750$33,000 Stort1,050$45,150

Definere beslutningsvariablene LOG350 Operasjonsanalyse6 Rasmus Rasmussen X 1 = antall nye små konferanserom X 2 = antall nye medium konferanserom X 3 = antall nye store konferanserom

Definere målsettingene  Mål 1: Utvidelsen bør inneholde omtrent 5 små konferanserom.  Mål 2: Utvidelsen bør inneholde omtrent 10 medium konferanserom.  Mål 3: Utvidelsen bør inneholde omtrent 15 store konferanserom.  Mål 4: Utvidelsen bør være på omtrent 25,000 m 2.  Mål 5: Utvidelsen bør koste omtrent $1,000,000. LOG350 Operasjonsanalyse7 Rasmus Rasmussen

Definere mål-restriksjonene  Små rom LOG350 Operasjonsanalyse8 Rasmus Rasmussen u Medium rom u Store rom hvor

Definere mål-restriksjonene (forts.)  Total utvidelse LOG350 Operasjonsanalyse9 Rasmus Rasmussen u Totale kostnader (i $1,000) hvor

Målfunksjonen i målprogrammering  Det er en mengde målfunksjoner vi kan formulere til dette målprogrammerings- problemet.  Minimere sum avvik: MIN LOG350 Operasjonsanalyse10 Rasmus Rasmussen u Problem: Avvikene måler forskjellige ting, så hva er det målfunksjonen representerer ?

Målfunksjonen i målprogrammering (forts.)  Minimere sum prosentvise avvik MIN der t i representerer målsettingsverdien til mål i LOG350 Operasjonsanalyse11 Rasmus Rasmussen u Problem: Anta at første målsetting mangler ett lite rom mens femte målsetting har $20,000 til overs. –Vi får et negativt avvik for mål 1 med 1/5=20% –Vi får et positivt avvik for 5 med 20,000/1,000,000= 2% –Dette betyr at å overskride budsjettet med $200,000 er like uønsket som å ha ett lite konferanserom for lite. –Er det slik? Bare beslutningstakeren kan svare på det.

Målfunksjonen i målprogrammering (forts.)  Minimere den veide sum av avvik MIN LOG350 Operasjonsanalyse12 Rasmus Rasmussen u Minimere den veide sum av %-vise avvik MIN u Vekter kan brukes i de tidligere målsettingene slik at beslutningstaker kan vektlegge : –Ønskelige kontra uønskede avvik –Den relative viktigheten av forskjellige mål

Definere målsettingen  Anta at:  Det er uønsket å oppnå for få av de første tre rom- målsettingene.  Det er uønsket både å overgå og få for lite av 25,000 m 2 utvidelses-målsettingen.  Det er uønsket å overskride $1,000,000 kostnads- målsettingen. LOG350 Operasjonsanalyse13 Rasmus Rasmussen I utgangspunktet vil vi anta at alle vektene er lik.

Implementere målprogrammering LOG350 Operasjonsanalyse14 Rasmus Rasmussen

Merknader til Målprogrammering  Målprogrammering innebærer avveininger mellom målsettingene inntil den mest tilfredsstillende løsningen er funnet.  Målfunksjonens verdi i målprogrammering må ikke sammenlignes med andre løsninger hvis vektene er endret. Sammenlign løsningene (beslutnings- variablene)!  En vilkårlig stor vekt vil endre en soft constraint til en absolutt restriksjon.  Hard constraints (absolutte restriksjoner) kan plasseres på avviksvariablene. LOG350 Operasjonsanalyse15 Rasmus Rasmussen

MiniMax målfunksjon  Kan brukes til å minimere det største avviket fra alle målsettingene. LOG350 Operasjonsanalyse16 Rasmus Rasmussen MIN: Q etc...

Sammendrag Målprogrammering 1.Identifiser beslutningsvariablene i problemet. 2.Finn eventuelle absolutte restriksjoner i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3.Angi målsettingene sammen med målverdiene. 4.Lag restriksjoner ved bruk av beslutningsvariablene slik at målene nøyaktig oppfylles. 5.Transformer disse restriksjonene til mål-restriksjoner ved å føye til avviksvariabler. 6.Angi hvilke variabler som representerer uønskede avvik fra målsettingene. 7.Formuler en målfunksjon som straffer uønskede avvik. 8.Sett passende vekter for målfunksjonen. 9.Løs problemet. 10.Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, gå tilbake til punkt 8 og revurder vektene som trengs justeres. LOG350 Operasjonsanalyse17 Rasmus Rasmussen

Multiple Objective Linear Programming (MOLP)  Et MOLP problem er et LP problem med mer enn én målfunksjon.  MOLP problemer kan ses på som spesielle typer av GP problemer der vi også må fastsette målverdier for hver målsetting.  Effektiv analyse av slike problemer krever at vi også benytter MiniMax kriteriet. LOG350 Operasjonsanalyse18 Rasmus Rasmussen

Et MOLP eksempel: The Blackstone Mining Company  Blackstone Mining driver to kullgruver i Southwest Virginia.  Månedlig produksjon ved ett skift av arbeidere i hver gruve : LOG350 Operasjonsanalyse19 Rasmus Rasmussen u Blackstone må produsere 48 ekstra tonn høy-kvalitet, 28 ekstra tonn medium-kvalitet, og 100 ekstra tonn av lav- kvalitets kull i løpet av kommende år. Kulltype Wythe Mine Giles Mine Høy-kvalitet12 tonn4 tonn Medium-kvalitet4 tonn 4 tonn Lav-kvalitet10 tonn 20 tonn Kostnad pr måned$40,000$32,000 Liter av forurenset vann800 1,250 Livsfarlige ulykker

Definere beslutningsvariablene X 1 = antall måneder med et ekstra skift ved Wythe gruven kommende år X 1 = antall måneder med et ekstra skift ved Wythe gruven kommende år X 2 = antall måneder med et ekstra skift ved Giles gruven kommende år X 2 = antall måneder med et ekstra skift ved Giles gruven kommende år LOG350 Operasjonsanalyse20 Rasmus Rasmussen

Definere målsettingen  Det er tre målsettinger: Min: $40 X 1 + $32 X 2 } Produksjonskost Min: 800 X X 2 } Giftig vann Min: 0.20 X X 2 } Ulykker LOG350 Operasjonsanalyse21 Rasmus Rasmussen

Definere restriksjonene  Behov for høykvalitets kull 12 X X 2 >= 48  Behov for mediumkvalitets kull 4 X X 2 >= 28 4 X X 2 >= 28  Behov for lavkvalitets kull 10 X X 2 >= 100  Ikke-negativitets-betingelsene X 1, X 2 >= 0 LOG350 Operasjonsanalyse22 Rasmus Rasmussen

Håndtere multiple målsettinger  Hvis vi hadde målsettingsverdier for hvert mål, kunne vi behandlet dem som følgende mål: Mål 1:Totale produksjonskostnader bør omtrent være lik t 1. Mål 2:Mengden giftig vann bør være omtrent lik t 2. Mål 3:Antall livstruende ulykker bør være omtrent lik t 3.  Vi kan løse 3 separate LP problemer, og uavhengig optimere hver målsetting, for å finne verdier for t 1, t 2 og t 3. LOG350 Operasjonsanalyse23 Rasmus Rasmussen

Implementere modellen LOG350 Operasjonsanalyse24 Rasmus Rasmussen

Mulighetsområde LOG350 Operasjonsanalyse25 Rasmus Rasmussen X1X1 X1X Mulighetsområdet 0 0 X2X2 High Grade: 12X X 2 ≥ 48 Medium Grade: 4 X X 2 ≥ 28 Low Grade: 10 X X 2 ≥ 100

Minimere kostnadene LOG350 Operasjonsanalyse26 Rasmus Rasmussen X1X1 X1X Mulighetsområdet 0 0 X2X2 High Grade: 12X X 2 ≥ 48 Medium Grade: 4 X X 2 ≥ 28 Low Grade: 10 X X 2 ≥ 100 Minimum kostnad 40X X 2 LøsningX 1 X 2 KostnadGiftig vannUlykker $2447,

Mninimere forurenset vann LOG350 Operasjonsanalyse27 Rasmus Rasmussen LøsningX 1 X 2 KostnadGiftig vannUlykker $2447, $2566, X1X1 X1X Mulighetsområdet Løsning 1 (minimum produksjonskostnader) 0 0 Løsning 2 (minimum giftig vann) X2X2 Minimum Toxins 800X X 2

Sammendrag av løsningene LOG350 Operasjonsanalyse28 Rasmus Rasmussen LøsningX 1 X 2 KostnadGiftig vannUlykker $2447, $2566, $4008, X1X1 X1X Mulighetsområdet Løsning 1 (minimum produksjonskostnader) 0 0 Løsning 2 (minimum giftig vann) Løsning 3 (minimum ulykker) X2X2 Minimum Accidents 0.20X X 2

Definere målene  Mål 1: Totale produksjonskostnader bør vøre omkring $244.  Mål 2: Antall liter forurenset vann bør være rundt 6,950.  Mål 3: Antall livstruende ulykker bør være nær 2. LOG350 Operasjonsanalyse29 Rasmus Rasmussen

Definere målfunksjonen  Vi kan minimere sum % -vis avvik på følgende måte: LOG350 Operasjonsanalyse30 Rasmus Rasmussen u Det kan vises at dette er en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. u En slik målfunksjon vil bare gi optimale løsninger ved hjørnepunktene av mulighetsområdet (uansett hvilke vekter som brukes).

Definere en bedre målfunksjon LOG350 Operasjonsanalyse31 Rasmus Rasmussen Under følgende ekstra restriksjoner: MIN: Q u En slik målfunksjon vil tillate beslutningstaker å vurdere andre løsninger enn bare hjørnepunktene til mulighetsområdet. Veide avvik må være mindre eller lik Q. Når Q minimeres blir max avvik lik Q.

Implementere modellen LOG350 Operasjonsanalyse32 Rasmus Rasmussen

Mulige MiniMax løsninger LOG350 Operasjonsanalyse33 Rasmus Rasmussen X1X1 X1X Mulighetsområdet w 1 =10, w 2 =1, w 3 =1, x 1 =3.08, x 2 = X2X2 w 1 =1, w 2 =10, w 3 =1, x 1 =4.23, x 2 =2.88 w 1 =1, w 2 =1, w 3 =10, x 1 =7.14, x 2 =1.43

Kommentarer til MOLP  Løsninger funnet ved MiniMax målsettingen er Pareto Optimal.  Avviksvariabler og/eller MiniMax målsettingen er nyttige også i en mengde situasjoner som ikke involverer MOLP eller GP.  For minimerings målsettinger er prosentvis avvik: (faktisk – målverdi)/målverdi  For maximerings målsettinger er prosentvis avvik : (målverdi - faktisk)/målverdi  Hvis målverdien er null, bruk veide avvik i steden for % avvik. LOG350 Operasjonsanalyse34 Rasmus Rasmussen

Sammendrag av MOLP LOG350 Operasjonsanalyse35 Rasmus Rasmussen 1. Finn beslutningsvariablene i problemet. 2. Identifiser målsettingene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 3. Finn restriksjonene i problemet og formuler dem på vanlig måte. 4. Løs problemet for hver av målsettingene i trinn 2, for å finne optimal verdi for hver målsetting. 5. Reformuler målsettingene til målprogrammering der de optimale verdiene fra trinn 4 benyttes som målverdier. 6. Lag en avviksvariabel som måler avviket mellom oppnådd verdi og målverdien (enten i % eller som absolutt avvik), for hver målsetting. 7. Tildel en vekt for hvert avvik beregnet i trinn 6, og lag en restriksjon som krever at det veide avviket skal være mindre enn MINIMAX variabelen Q. 8. Løs det nye problemet, der målsettingen er å minimere Q. 9. Evaluer løsningen. Hvis løsningen er uakseptabel, juster vektene i trinn 7 og fortsett på trinn 8.

End of Chapter 7 LOG350 Operasjonsanalyse36 Rasmus Rasmussen