Résoudre à 0,001 près dans R puis dans J = [ 101π ; 102π ] Exercice : Résoudre à 0,001 près dans R puis dans J = [ 101π ; 102π ] cos x = - 0,3

cos x = - 0,3 a b

a b Il n’y a aucun angle remarquable donnant cos x = + 0,3 ou – 0,3

cos x = - 0,3 a b Il n’y a aucun angle remarquable donnant cos x = + 0,3 ou – 0,3 On doit donc utiliser la calculatrice sans obtenir ( ou prouver ) de valeur exacte.

a b On tape cos-1 – 0,3 on obtient ≈ 1,875… cos x = - 0,3 a b On tape cos-1 – 0,3 on obtient ≈ 1,875…

cos x = - 0,3 a b On tape cos-1 – 0,3 on obtient ≈ 1,875… alors qu’on devrait obtenir 2 réponses

cos x = - 0,3 a b On tape cos-1 – 0,3 on obtient ≈ 1,875… alors qu’on devrait obtenir 2 réponses à k2π près

cos x = - 0,3 a π/2 ≈ 1,57 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… 1,57 < 1,875 < 3,14 donc a ≈ 1,875…

cos x = - 0,3 a π/2 ≈ 1,57 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… Trajet = a – 0 = a π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… 1,57 < 1,875 < 3,14 donc a ≈ 1,875…

cos x = - 0,3 a π/2 ≈ 1,57 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… Trajet = a – 0 = a π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… 1,57 < 1,875 < 3,14 donc a ≈ 1,875…

cos x = - 0,3 a π/2 ≈ 1,57 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… Trajet = a – 0 = a π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… 1,57 < 1,875 < 3,14 donc a ≈ 1,875… et b = 0 - trajet ≈ - 1,875…

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… S R ≈ { 1,875 + k2π ; - 1,875 + k2π }

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… S R ≈ { 1,875 + k2π ; - 1,875 + k2π } Je place les réels 101π et 102π.

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… S R ≈ { 1,875 + k2π ; - 1,875 + k2π } Je place les réels 101π et 102π, et tous les réels de J : amplitude = 102π - 101π = π = ½ tour

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 π ≈ 3,14 0 b cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… c a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… Je place les réels 101π et 102π, et tous les réels de J : amplitude = 102π et 101π = π = ½ tour Il n’y a qu’un seul réel c solution dans J.

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 Trajet = a – 0 = a π ≈ 3,14 0 = 0 – b = - b ≈ 1,875 b c cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… S R ≈ { 1,875 + k2π ; - 1,875 + k2π }

cos x = - 0,3 dans J = [ 101π ; 102π ] a π/2 ≈ 1,57 Trajet = a – 0 = a π ≈ 3,14 0 = 0 – b = - b ≈ 1,875 b c cos-1 – 0,3 donne ≈ 1,875… a ≈ 1,875… et b = - a ≈ - 1,875… S R ≈ { 1,875 + k2π ; - 1,875 + k2π } c ≈ 102π - 1,875 ≈ 318,567 SJ ≈ { 318,567 }

Résoudre à 0,001 près dans R puis dans J = [ - 98π ; - 96π ] Exercice : Résoudre à 0,001 près dans R puis dans J = [ - 98π ; - 96π ] sin x = 0,2

sin x = 0,2 π/2 ≈ 1,57 b a π ≈ 3,14 0 trajet = a – 0 = a sin-1 0,2 donne ≈ 0,201… 0 < 0,201 < 1,57 donc a ≈ 0,201… et b = π - trajet ≈ 2,940… S R ≈ { 0,201 + k2π ; 2,940 + k2π }

π/2 b a a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… Je place - 98π et - 96π, sin x = 0,2 dans J = [ - 98π ; - 96π ] π/2 b a a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… Je place - 98π et - 96π,

sin x = 0,2 dans J = [ - 98π ; - 96π ] b a a ≈ 0,201… π/2 b a a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… Je place - 98π et - 96π, et je trace tous les réels de J : amplitude = (- 96π) – (- 98π) = 2π = 1 tour

π/2 b a a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… S R ≈ { 0,201 + k2π ; 2,940 + k2π } sin x = 0,2 dans J = [ - 98π ; - 96π ] π/2 b a a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… S R ≈ { 0,201 + k2π ; 2,940 + k2π }

sin x = 0,2 dans J = [ - 98π ; - 96π ] x2 b a x1 a ≈ 0,201… π/2 x2 b a x1 a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… Il y a 2 réels solutions dans J : x1 ≈ - 98π + 0,201 ≈ - 307,675 x2 ≈ - 98π + π - 0,201 ≈ - 304,935

sin x = 0,2 dans J = [ - 98π ; - 96π ] x2 b a x1 a ≈ 0,201… π/2 x2 b a x1 a ≈ 0,201… π 0 b ≈ 2,940… x1 ≈ - 98π + 0,201 ≈ - 307,675 x2 ≈ - 98π + π - 0,201 ≈ - 304,935 S R ≈ { 0,201 + k2π ; 2,940 + k2π } SJ ≈ { - 307,675 ; - 304,935 }