Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]

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1 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi :

2 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : w t

3 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t

4 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = …

5 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = …

6 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = π/2 + t + k2π w = …

7 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = π/2 + t + k2π w = π/2 – (- t) + k2π w = …

8 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
Dans le cercle trigonométrique, les réels w et t tels que cos t = sin w se trouvent placés ainsi : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = π/2 + t +k2π w = π/2–(-t) +k2π w = π/2+(- t) +k2π

9 Conclusion : les 4 positions de w et t dans le cercle
correspondent à … relations entre w et t : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = π/2 + t +k2π w = π/2-(-t) +k2π w = π/2 +(- t) +k2π

10 Conclusion : les 4 positions de w et t dans le cercle
correspondent à 2 relations entre w et t : 1er cas 2ème cas 3ème cas 4ème cas w w w w t t w = π/2 – t + k2π w = π/2 + t +k2π w = π/2 – (-t) +k2π w = π/2 +(- t) +k2π

11 Remarque : w = π/2 – t + k2π correspond à :
w + t = π/2 + k2π qui donne (w + t)/2 = π/4 + kπ 1er cas 4ème cas w w t

12 Remarque : w = π/2 – t + k2π correspond à :
w + t = π/2 + k2π qui donne (w + t)/2 = π/4 + kπ la moyenne de w et t est π/4 + kπ w w t

13 Remarque : w = π/2 – t + k2π correspond à :
w + t = π/2 + k2π qui donne (w + t)/2 = π/4 + kπ la moyenne de w et t est π/4 + kπ w w t mêmes arcs t

14 Remarque : w = π/2 + t + k2π correspond à :
w - t = π/2 + k2π qui donne (w + (-t) )/2 = π/4 + kπ la moyenne de w et -t est π/4 + kπ w w -t

15 Remarque : w = π/2 + t + k2π correspond à :
w - t = π/2 + k2π qui donne (w + (-t) )/2 = π/4 + kπ la moyenne de w et -t est π/4 + kπ w w -t 3ème cas 2ème cas t t -t

16 Application : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a donc le 1er cas algébrique cos t = sin w ( correspondant aux cas géométriques 1 et 4 ) : w = π/2 – t + k2π qui donne x = π/2 – 2x + k2π

17 Application : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a donc le 1er cas algébrique ( correspondant aux cas géométriques 1 et 4 ) : w = π/2 – t + k2π qui donne x = π/2 – 2x + k2π donc 3x = π/2 + k2π donc x = π/6 + k2π/3

18 Application : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a donc le 1er cas algébrique ( correspondant aux cas géométriques 1 et 4 ) : w = π/2 – t + k2π qui donne x = π/2 – 2x + k2π donc 3x = π/2 + k2π donc x = π/6 + k2π/3 qui sont placés dans le cercle ainsi : en π/6 + (0)2π/3 = π/6 en π/6 + (1)2π/3 = 5π/6 en π/6 + (2)2π/3 = 9π/6

19 Application : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
1er cas algébrique Il y a 3 réels dans I : c b a = 3π + π/2 = 7π/2 b = a + 2π/3 = 25π/6 c = b + 2π/3 = 29π/6 a

20 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a aussi le 2ème cas algébrique ( correspondant aux cas géométriques 2 et 3 ) : w = π/2 + t + k2π qui donne x = π/2 + 2x + k2π

21 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a aussi le 2ème cas algébrique ( correspondant aux cas géométriques 2 et 3 ) : w = π/2 + t + k2π qui donne x = π/2 + 2x + k2π qui donne - x = π/2 + k2π qui donne x = - π/2 - k2π

22 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
On a aussi le 2ème cas algébrique ( correspondant aux cas géométriques 2 et 3 ) : w = π/2 + t + k2π qui donne x = π/2 + 2x + k2π qui donne - x = π/2 + k2π qui donne x = - π/2 - k2π qui sont placés dans le cercle ainsi : en - π/2 - (0)2π = - π/2

23 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
2ème cas algébrique Ceux qui sont dans I sont : 3π + π/2 = 7π/2

24 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
2ème cas algébrique Ceux qui sont dans I sont : 3π + π/2 = 7π/2 Remarque : les réels solutions er cas er cas correspondant aux 2 cas sont parfois placés à des endroits communs. 1er cas ème cas

25 Exercice 6 : résoudre cos 2x = sin x dans I = [ 3π ; 5π ]
2ème cas algébrique Ceux qui sont dans I sont : 3π + π/2 = 7π/2 Solutions : S = { 7π/2 ; 25π/6 ; 29π/6 }

26 Vérification que cos 2x = sin x dans [ 3π ; 5π ] a pour solutions { 7π/2 ; 25π/6 ; 29π/6 } :
1ère méthode : On vérifie à la main. x = 7π/2 cos 2x = cos 7π = - 1 sin 7π/2 = - 1 OK

27 Vérification que cos 2x = sin x dans [ 3π ; 5π ] a pour solutions { 7π/2 ; 25π/6 ; 29π/6 } :
1ère méthode : On vérifie à la main. x = 7π/2 cos 2x = cos 7π = - 1 sin 7π/2 = - 1 OK x = 25π/6 cos 2x = cos 25π/3 = ½ sin 25π/6 = ½ OK

28 Vérification que cos 2x = sin x dans [ 3π ; 5π ] a pour solutions { 7π/2 ; 25π/6 ; 29π/6 } :
1ère méthode : On vérifie à la main. x = 7π/2 cos 2x = cos 7π = - 1 sin 7π/2 = - 1 OK x = 25π/6 cos 2x = cos 25π/3 = ½ sin 25π/6 = ½ OK x = 29π/6 cos 2x = cos 29π/3 = ½ sin 29π/6 = ½ OK

29 Vérification que cos 2x = sin x dans [ 3π ; 5π ] a pour solutions { 7π/2 ; 25π/6 ; 29π/6 } :
On rentre la fonction f(x) = cos( 2(x π/6) ) – sin (x π/6) dans sa calculatrice graphique ( ou son tableur ) dans la fenêtre x mini = 18 ; x maxi = 30 et on lit f(x) = 0 pour x = 21 ; x = 25 ; x = 29

30 A suivre … Devoir Maison pour lundi Résoudre cos ( x + π/6 ) = cos ( 2x ) dans I = [ 3π ; 4π ]

31 A suivre … Exercice qui sera traité en AP ( et mis sur Lilie) :
Résoudre sin ( 3x + π/2 ) = - sin x dans I = [ 13π ; 14π ] Remarque : sin ( 5x + π/3 ) = sin 2x dans I = [ 0 ; π/2 ] traité en AP le 19/12 est sur Lilie. Devoir Maison pour le 07/ ( Meilleurs vœux et bonne année ! ) : Résoudre cos ( x + π/6 ) = cos ( 2x ) dans I = [ 3π ; 4π ]