Tildeling av snødeponeringssted

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Kommunen skal kommende vinter frakte snø fra 10 soner til 5 deponeringssteder. Snøen fra en sone fraktes til samme deponeringssted hele vinteren. Deponeringen fra hver sone lyses ut på anbud, og kommunen budsjetterer med en anbudspris på kr. 10,- pr. m 3 snø pr. km. Tildeling av snødeponeringssted Sone 1 Sone 2 : : Depot 1 Depot 2 Depot 5 : : Sone 10

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Tildeling av snødeponeringssted Avstandene er i km, kapasiteter og behov er angitt i m 3.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 Tildeling av snødeponeringssted I dette eksemplet er deponeringsstedene hjelpemidlene, og hvert hjelpemiddel kan utføre flere oppdrag. Oppdragene er å ta imot snø fra de 10 sonene. I dette eksemplet er deponeringsstedene hjelpemidlene, og hvert hjelpemiddel kan utføre flere oppdrag. Oppdragene er å ta imot snø fra de 10 sonene. I dette eksemplet kan hvert oppdrag bare bli betjent av ett hjelpemiddel, dvs. snøen fra en sone må fraktes til samme deponeringssted hele vinteren. I dette eksemplet kan hvert oppdrag bare bli betjent av ett hjelpemiddel, dvs. snøen fra en sone må fraktes til samme deponeringssted hele vinteren.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Tildeling av snødeponeringssted n antall hjelpemidler N mengden av hjelpemidler N = {1, 2,..., n} m antall oppdrag M mengden av oppdrag M= {1, 2,..., m} G Mengden av greiner G = {(N×M)} QkQkQkQk kapasitet (m 3 ) til hjelpemiddel k k  N DjDjDjDj Behov (m 3 ) ved oppdrag j j  M c jk Avstand (km) pr. enhet oppdrag j med hjelpemiddel k j  M; k  N a Kostnad pr. avstandsenhet (m 3 ∙km) Vi har her byttet om betydningen av indeksene j og k i forhold til tidligere eksempler. Indeks j angir nå oppdragene, mens indeks k angir hjelpemidlene.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Beslutningsvariabler: Tildeling av snødeponeringssted Merk at vi strengt tatt ikke behøver X jk som beslutningsvariabel. Ettersom snøen fra en sone må fraktes til samme deponeringssted hele vinteren kan vi erstatte X jk med Y jk · D j. Y jk Er 1 hvis hjelpemiddel k utfører oppdrag j, ellers 0 Y jk  {0; 1} ; j  M; k  N X jk Mengde (m 3 ) av oppdrag j utført med hjelpemiddel k j  M; k  N

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Målfunksjon: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 1 Minimer totale kostnader fra alle oppdrag utført av alle hjelpemidlene. 31 ‑ 2 Minimer totale kostnader fra alle oppdrag utført av alle hjelpemidlene. Alternativ formulering:

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 3 Et hjelpemiddel kan bare utføre et oppdrag hvis det er tildelt oppdraget. Snøen fra en sone kan bare fraktes til det depotet som er utpekt for oppdraget.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 4 Hvert oppdrag kan bare utføres av ett hjelpemiddel. Snøen i hver sone kan fraktes til maksimalt ett depot.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 5 Kan ikke levere mer snø til et hjelpemiddel enn kapasiteten som deponeringsstedet har.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 6 Må frakte all snøen bort fra hver sone.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Tildeling av snødeponeringssted

LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Målfunksjon: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 7 Minimer totale kostnader fra alle oppdrag utført av alle hjelpemidlene.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 8 Hvert oppdrag kan bare utføres av ett hjelpemiddel. Snøen fra en sone kan bare fraktes til det depotet som er utpekt for oppdraget.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 9 Kan ikke levere mer snø til et hjelpemiddel enn kapasiteten som deponeringsstedet har.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 10 Må frakte all snøen bort fra hver sone. 31 ‑ 11 Hvert oppdrag må utføres fullstendig, og av bare ett hjelpemiddel. Vi ser at restriksjon 31-8 og kan kombineres og erstattes av:

LOG530 Distribusjonsplanlegging 17 Tildeling av snødeponeringssted

LOG530 Distribusjonsplanlegging 18 Tildeling av snødeponeringssted Kommunen vurderer å utvide kapasiteten for ett av deponeringsstedene med ytterligere 100m 3. Kommunen vurderer å utvide kapasiteten for ett av deponeringsstedene med ytterligere 100m 3. Normalt vil vi kunne svare på et slikt spørsmål ved kun å foreta en sensitivitetsanalyse – vi ville velge utvidelsen hos det deponeringsstedet (restriksjon) som hadde størst skyggepris, forutsatt at tillatt økning var innenfor grensen på 100m 3. Men for problemer som inneholder heltallsvariabler/binærvariabler, så er det ikke mulig å foreta sensitivitetsanalyse. Vi må derfor angripe problemet på en litt annen måte. Normalt vil vi kunne svare på et slikt spørsmål ved kun å foreta en sensitivitetsanalyse – vi ville velge utvidelsen hos det deponeringsstedet (restriksjon) som hadde størst skyggepris, forutsatt at tillatt økning var innenfor grensen på 100m 3. Men for problemer som inneholder heltallsvariabler/binærvariabler, så er det ikke mulig å foreta sensitivitetsanalyse. Vi må derfor angripe problemet på en litt annen måte. I følgende modell er det lagt til en binærvariabel for utvidelse, den angir om et deponeringssted skal få utvidet kapasitet eller ikke. I følgende modell er det lagt til en binærvariabel for utvidelse, den angir om et deponeringssted skal få utvidet kapasitet eller ikke. Modellen vil derfor velge utvidelse ved det deponeringssted som gir størst reduksjon i kostnadene. Modellen vil derfor velge utvidelse ved det deponeringssted som gir størst reduksjon i kostnadene.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 19 Tildeling av snødeponeringssted n antall hjelpemidler N mengden av hjelpemidler N = {1, 2,..., n} m antall oppdrag M mengden av oppdrag M= {1, 2,..., m} G Mengden av greiner G = {(N×M)} QkQkQkQk kapasitet (m 3 ) til hjelpemiddel k k  N DjDjDjDj Behov (m 3 ) ved oppdrag j j  M c jk Avstand (km) pr. enhet oppdrag j med hjelpemiddel k j  M; k  N a Kostnad pr. avstandsenhet (m 3 ∙km) S Økt kapasitet (m 3 )

LOG530 Distribusjonsplanlegging 20 Beslutningsvariabler: Tildeling av snødeponeringssted Y jk Er 1 hvis hjelpemiddel k utfører oppdrag j, ellers 0 Y jk  {0; 1} ; j  M; k  N UkUkUkUk Er 1 hvis kapasiteten utvides for hjelpemiddel k U k  {0; 1} ; k  N

LOG530 Distribusjonsplanlegging 21 Målfunksjon: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 12 Minimer totale kostnader fra alle oppdrag utført av alle hjelpemidlene.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 22 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 13 Hvert oppdrag må utføres fullstendig, og av bare ett hjelpemiddel.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 23 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 14 Kan ikke levere mer snø til et hjelpemiddel enn kapasiteten som deponeringsstedet har (fått).

LOG530 Distribusjonsplanlegging 24 Restriksjoner: Tildeling av snødeponeringssted 31 ‑ 15 Max ett hjelpemiddel får utvidet kapasitet.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 25 Tildeling av snødeponeringssted Maksimal verdi av utvidelse