p-MP modeller

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Det skal opprettes p fasiliteter (lager) for å betjene en gitt mengde kunder. Kundenodene er også potensielle lokaliseringer for fasilitetene. Fasilitetene opprettes kostnadsfritt og har ubegrenset kapasitet. Her er angitt et nettverk med 8 potensielle noder for lokalisering av et lager. Node 5 er kun et knutepunkt uten etterspørsel. p-MP modeller

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Direkte avstander fra nettverksfiguren er ikke alltid tilstrekkelig. Noen formuleringer krever en komplett avstandsmatrise, med de korteste avstandene. p-MP modeller Avstander/Kostnader Noder

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4

5 5 Komplett symmetrisk avstandstabell med korteste avstander. p-MP modeller Noder

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Fasilitetene opprettes kostnadsfritt og har ubegrenset kapasitet. En kunde vil derfor alltid bli betjent fra den billigste fasiliteten, dvs. den som ligger ”nærmest” i kostnad. Hvis en ser bort fra etterspørselen, eller antar at den er den samme i alle nodene, kaller vi det en uvektet p-MP modell. Hvis alle kunder betjenes fra ett lager (1-median problemet, p = 1), og hver leveranse betjener kun en kunde, så velges den lokalisering som gir lavest sum kostnad ved å betjene alle kundene fra den noden. (Ser her bort fra behovet.) p-MP modeller Her inkluderes avstandene til node 5, selv om ingen kunder finnes der.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Fasilitetene opprettes kostnadsfritt og har ubegrenset kapasitet. En kunde vil derfor alltid bli betjent fra den billigste fasiliteten, dvs. den som ligger ”nærmest” i kostnad. Hvis en ser bort fra etterspørselen, eller antar at den er den samme i alle nodene, kaller vi det en uvektet p-MP modell. Hvis alle kunder betjenes fra ett lager (1-median problemet, p = 1), og hver leveranse betjener kun en kunde, så velges den lokalisering som gir lavest sum kostnad ved å betjene alle kundene fra den noden. (Ser her bort fra behovet.) Optimal lokalisering endres hvis en bare tar hensyn til etterspørselsnoder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Tar vi hensyn til at etterspørselen er ulik i de forskjellige nodene, må vi beregne vektet kostnadsmatrise. Tar vi hensyn til at etterspørselen er ulik i de forskjellige nodene, må vi beregne vektet kostnadsmatrise. Om vi fortsatt bare skal lokalisere en fasilitet, velger vi den lokalisering som gir lavest totalkostnad ved å dekke totalt behov i alle andre noder. Om vi fortsatt bare skal lokalisere en fasilitet, velger vi den lokalisering som gir lavest totalkostnad ved å dekke totalt behov i alle andre noder. Merk at den vektede kostnadsmatrisen ikke lenger er symmetrisk. Merk at den vektede kostnadsmatrisen ikke lenger er symmetrisk. Vektingen vil korrekt ta hensyn til noder uten etterspørsel. Vektingen vil korrekt ta hensyn til noder uten etterspørsel. p-MP modeller

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Beslutningsvariabler: p-MP modeller Merk at både U f og V ft er binærvariabler. Vi skal først se på en formulering som bare benytter disse to variablene. n Antall noder N mengden av noder N = {1, 2,..., n} c f,t Korteste avstand fra node f til node t f, t  N dtdtdtdt Behov i node t t  N C f,t ”Kostnad” ved å dekke totalt behov i node t fra node f C f,t = d t ∙c f,t p Antall fasiliteter som skal opprettes UfUfUfUf Angir om en fasilitet er opprettet i node f U f  {0 ; 1 } V f,t Angir om kunden i node t blir betjent fra fasiliteten i node f V f,t  {0 ; 1 } X f,t Mengde transportert fra node f til node t

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Målfunksjon: p-MP modeller I fravær av kapasitetsrestriksjoner vil hver node bli betjent av kun en fasilitet. Kostnaden ved å dekke all etterspørsel i en node er C f,t, og vi summerer bare de nodene som blir betjent av en fasilitet,siden V f,t er 0 for de øvrige. Ytterste summetegn summerer disse totalkostnadene for alle fasilitetene. 23 ‑ 1 Vi minimerer totale kostnader fra alle noder med fasiliteter til alle noder med kunder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 2 Alle kunder må betjenes fra bare en fasilitet.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 3 Ingen kunder kan bli betjent fra en node uten fasilitet. 23 ‑ 5 En node kan betjene inntil n kunder hvis det er opprettet en fasilitet der, ellers ingen. Alternativ formulering:

LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 4 Det skal opprettes nøyaktig p fasiliteter.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 p-MP modeller

LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 p-MP modeller

LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Målfunksjon: p-MP modeller Merk at her bruker vi enhetskostnadene, ikke vektede kostnader. Dette fordi vi nå bruker mengde som beslutningsvariabel. 23 ‑ 6 Vi minimerer summen av enhetskostnad∙mengde fra alle noder med fasiliteter til alle noder med kunder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 17 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 7 Alle kunder må motta minst like mye som behovet i noden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 18 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 8 Sum levert fra en node må være mindre eller lik kapasiteten til fasiliteten i noden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 19 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 9 Det skal opprettes nøyaktig p fasiliteter.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 20 p-MP modeller Denne formuleringen har n 2 + n, dvs. n(n+1) = 72 variabler, og krever en komplett avstandstabell.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 21 Beslutningsvariabler: p-MP modeller Merk at a ft nå angir faktisk avstand mellom node f og t, og at modellen bare benytter eksisterende greiner i nettverket (G). n Antall noder N Mengden av noder N = {1, 2,..., n} G Mengden av greiner i nettverket a ft Faktisk avstand direkte fra node f til node t (f, t)  G dtdtdtdt Behov i node t t  N p Antall fasiliteter som skal opprettes UfUfUfUf Angir om en fasilitet er opprettet i node f. f  N ; U f  {0 ; 1 } X ft Mengde transportert fra node f til node t. (f, t)  G

LOG530 Distribusjonsplanlegging 22 Målfunksjon: p-MP modeller Merk at her bruker vi faktiske avstander. 23 ‑ 10 Vi minimerer summen av avstand∙mengde fra alle noder med fasiliteter til alle noder med kunder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 23 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 11 Opprettet kapasitet + mengde transportert inn - mengde transportert ut må dekke behovet i noden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 24 Restriksjoner: p-MP modeller 23 ‑ 12 Det skal opprettes høyst p fasiliteter.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 25 p-MP modeller Denne formuleringen har kun 40 variabler, og krever ikke komplett avstandstabell. Modellen er nesten identisk med den som beregner korteste avstand, men må bare løses én gang. Denne formuleringen er opplagt den som krever minst forarbeid, og er dermed raskest.