Korteste vei

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Ofte står en overfor ønsket om å finne korteste kjørerute fra et gitt utgangspunkt til et ønsket bestemmelsessted. Korteste vei Tallene langs greinene angir avstanden mellom nodene 1–9. En angir startpunkt med -1 (avgang), og stoppunkt angis med +1 (ankomst). Her skal vi altså reise fra node 2 og fram til node 9. Hva er korteste kjørerute?

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Korteste vei

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 • La X f,t angi mengde transportert fra node f til node t. • Om X f,t = 1 indikerer det at vi reiser (transporterer 1 enhet) fra node f til t. • Vi skal altså transportere denne enheten fra startnoden, via forskjellige transittnoder, helt til vi kommer fram til endenoden. • Vi forsøker å velge den kjøreruten som gjør at totalavstanden blir så kort som mulig. Korteste vei

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Beslutningsvariabler: Korteste vei X f,t Mengde transportert fra node f til node t (f,t)  {G} n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden av greiner mellom nodene djdjdjdj Tilbud/Behov ved node j j  {N}; d j  {-1, 0, +1} c ft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} Merk at mengden av greiner, G, inneholder start- og stopp - nodeangivelsen på alle greiner. Siden greinene er urettede må de angis i begge retninger, slik at for eksempel både (1,2) og (2,1) angir samme grein mellom node 1 og 2, men i forskjellig retning.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Målfunksjon: Korteste vei 11 ‑ 1 Minimer totalavstanden for alle greiner i nettverket som inngår i reisen. Minimer: 2 X 1,2 + 4 X 1,3 + 5 X 1,5 + 2 X 2,1 + 3 X 2,4 + 8 X 2,5 + 4 X 3,1 + 3 X 3,5 + 7 X 3,6 + 3 X 4,2 + 4 X 4,5 + 8 X 4,7 + 5 X 5,1 + 8 X 5,2 + 3 X 5,3 + 4 X 5,4 + 4 X 5,6 + 3 X 5, X 5,8 + 7 X 6,3 + 4 X 6, X 6,7 + 3 X 6,8 + 8 X 7, X 7,5 + 5 X 7,6 + 6 X 7, X 7, X 8,5 + 3 X 8,6 + 6 X 8,7 + 2 X 8, X 9,7 + 2 X 9,8

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Restriksjoner: Korteste vei • Siden ”behovet” = -1 i startnoden, må vi reise derfra. • Hvis vi kommer til en transittnode, vil restriksjonen tvinge oss til å reise videre, siden ”behovet” = 0. • Når vi kommer til endenoden må vi forbli der, fordi ”behovet” = ‑ 2 Sum transportert/ankommet til en node, minus sum transportert/avreist fra samme node, må minst tilsvare behovet i noden. Dette kravet gjelder alle noder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Restriksjoner: Korteste vei X 2,1 + X 3,1 + X 5,1 – X 1,2 – X 1,3 – X 1,5 ≥ 0Transitt-node1 X 1,2 + X 4,2 + X 5,2 – X 2,1 – X 2,4 – X 2,5 ≥ -1Start-node2 X 1,3 + X 5,3 + X 6,3 – X 3,1 – X 3,5 – X 3,6 ≥ 0Transitt-node3 X 2,4 + X 5,4 + X 7,4 – X 4,2 – X 4,5 – X 4,7 ≥ 0Transitt-node4 X 1,5 + X 2,5 + X 3,5 + X 4,5 + X 6,5 + X 7,5 + X 8,5 – X 5,1 – X 5,2 – X 5,3 – X 5,4 – X 5,6 – X 5,7 – X 5,8 ≥ 0Transitt-node5 X 3,6 + X 5,6 + X 7,6 + X 8,6 – X 6,3 – X 6,5 – X 6,7 – X 6,8 ≥ 0Transitt-node6 X 4,7 + X 5,7 + X 6,7 + X 8,7 + X 9,7 – X 7,4 – X 7,5 – X 7,6 – X 7,8 – X 7,9 ≥ 0Transitt-node 7 X 5,8 + X 6,8 + X 7,8 + X 9,8 – X 8,5 – X 8,6 – X 8,7 – X 8,9 ≥ 0Transitt-node8 X 7,9 + X 8,9 – X 9,7 – X 9,8 ≥ 1Stopp-node9

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Korteste vei En tabell for greinene (beslutningsvariablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Greinene i motsatt retning angis med formler. Alle greiner angis i kun én retning.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Korteste vei

LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Beslutningsvariabler: Korteste vei X f,t Mengde transportert fra node f til node t f  {N}; t  {N} n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden av greiner mellom nodene djdjdjdj Tilbud/Behov ved node j j  {N}; d j  {-1, 0, +1} c ft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} b ft Kapasitet fra node f til node t b ft = M for (f,t)  {G}; b ft = 0 for (f,t)  {G} Her angir M et tilstrekkelig stort tall (ikke 0). Tallet M bør ikke være så stort at vi får skaleringsproblemer. Poenget er at når b ft = 0 så utelukker vi greiner som ikke eksisterer.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Målfunksjon: Korteste vei 11 ‑ 3 Minimer totalavstanden for alle greiner som inngår i reisen. Dette er en alternativ formulering, der en tillater direktekoblinger mellom alle noder, uavhengig av eksisterende greiner.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 Restriksjoner: Korteste vei • Siden ”behovet” = -1 i startnoden, må vi reise derfra. • Hvis vi kommer til en transittnode, vil restriksjonen tvinge oss til å reise videre, siden ”behovet” = 0. • Når vi kommer til endenoden må vi forbli der, fordi ”behovet” = ‑ 4 Sum transportert/ankommet til en node, minus sum transportert/avreist fra samme node, må minst tilsvare behovet i noden. Dette kravet gjelder alle noder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 Restriksjoner: Korteste vei 11 ‑ 5 Maksimal mengde transportert fra node f til node t kan ikke overstige kapasiteten for greinen mellom node f og node t. Dette kravet gjelder for alle f og alle t. Disse restriksjonene forhindrer at greiner som ikke eksisterer blir benyttet.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Korteste vei Tabell med beslutningsvariabler for alle kombinasjoner Tabell som eliminerer greiner som ikke eksisterer