برنامه نویسی رایانه Computer Programming بخش عملی 1:

Presentasjon om: "برنامه نویسی رایانه Computer Programming بخش عملی 1:"— Utskrift av presentasjonen:

1 برنامه نویسی رایانه Computer Programming بخش عملی 1:
دانشگاه کردستان دانشکده کشاورزی گروه مهندسی بیوسیستم برنامه نویسی رایانه Computer Programming بخش عملی 1: مقدمه ای بر MATLAB مدرس: دکتر کاوه ملازاده

2 مقدمه MATLAB یک نرم افزار قوی جهت استفاده دانشجویان و پژوهشگران رشته های ریاضی و مهندسی است که اولین نگارش های آن در دانشگاه نیومکزیکو و استانفورد در سال 1970 توسطCleve Moler جهت حل مسائل تئوری ماتریس ها، جبر خطی و آنالیز عددی به وجود آمد. نسخه کامل MATLAB در سال 1984 روانه بازار شد. لغتMATLAB ترکیبی از دو کلمهMATrix LABoratory است. در حقیقت MATLAB یک زبان برنامه نویسی آسان با مشخصات بسیار پیشرفته و ساده تر از زبان های کامپیوتری نظیر پاسکال وC است. زبان برنامه نویسی این بسته، بواسطه دارا بودن کتابخانه عظیم شامل توابع از پیش تعریف شده، مدل های آماده و سیستم های شبیه سازی و بهینه سازی توانسته است نیازهای کاربران را به صورت قابل قبولی ارضا کند. ماتریس ها، معادلات دیفرانسیل، رشته های عددی، ترسیمات و گراف ها از لوازم اصلی به کار رفته در ریاضیات و نیز درMATLAB است. 1

3 برخی از کاربردهای MATLAB
کاربرد و اداره ماتریس ها و آرایه های جامع در آنالیز عددی یافتن ریشه های چند جمله ای ها با درجات بالا رسم نمودارهای دو بعدی و سه بعدی با سیستم های مختصات مختلف انتگرال گیری و مشتق گیری کنترل و پردازش سیگنال شناسایی و هوش مصنوعی بهینه سازی و محاسبات سیمولینکی 2

4 مزایای استفاده از MATLAB
رسم های گرافیکی و محاسبات را به زیبایی در کنار هم ترکیب می کند. یادگیری نرم افزار MATLAB آسان است. یک نرم افزار تفسیری (interpreted language) است نه مترجمی (compiled language). بنابراین تصحیح خطا در آن آسان است. طوری بهینه شده است که عملیات ماتریسی را سریع انجام می دهد. 3

5 معایب استفاده از MATLAB
یک زبان برنامه نویسی با هدف های عام مانند C، C++ و FORTRAN نیست. یک زبان تفسیری است؛ بنابراین از زبان های مترجمی کندتر است. بالا بودن هزینه ی خرید نرم افزار 4

6 آشنایی با محیط MATLAB منوهای اصلی پنجره ی MATLAB: Apps، Plots، Home
پنجره فرمان : Command Window پنجره تاريخچه دستورات: Command History پنجره دايرکتوري جاري : Current Folder پنجره فضاي کاري و ویرایش متغیرها : Workspace 5

7 آشنایی با محیط MATLAB 6

8 آشنایی با محیط MATLAB در منوی Home می توان M-fileها یا متغیرهای جدید را ایجاد، باز یا ذخیره کرد؛ داده های جدید را وارد نمود. همچنین در این منو می توان پنجره های اصلی متلب را سفارشی ساخته یا مدیریت نمود. در منوی Plot می توان نمودارهای متنوع دو بعدی و سه بعدی را بر روی داده ها ایجاد نمود. در منویApps می توان از Toolboxهای متنوعی که برای رشته های مختلف علم و مهندسی توسعه داده شده است، استفاده نمود. همچنین در این بخش می توان برنامه ای که توسط کاربر به صورت رابط گرافیکی (Graphical User Interface) آماده شده است را به صورت برنامه های رایانه ای مجزا تولید نمود. 7

9 پنجره دستورات Command Window
اصلی ترین پنجره MATLAB است که کاربر می تواند در این قسمت از دستورات ساده تا کدهای برنامه نویسی را در این محل تایپ کند و اجرا نماید. این دستورات در مقابل علامت << (Command prompt) نوشته می شوند و پس از اتمام دستورنویسی و زدنEnter دستور مورد نظر اجرا می شود. این صفحه می تواند مانند یک ماشین حساب ساده بکار برده شود. پیغام های خطا و سایر پیغام های MATLAB در این پنجره دیده می شود. به عنوان مثال >> 4+2 Ans= 6 محتویات این صفحه را می توان از طریق کلیک راست بر روی نوار بیرونی پنجره دستورات و استفاده از گزینهClear Command Window پاک کرد. 8

10 پنجره تاريخچه دستورات Command History
هر بار که برنامه MATLAB باز می شود، زمان و تاریخ ورود کاربر در پنجرهCommand History به رنگ سبز نشان داده می شود. مثلاً: %-- 17/9/16 11:05 AM --% پس دستوراتی که به برنامه می دهیم نیز پشت سر هم در این پنجره ذخیره می شوند. این دستورات تا زمانی که پاک نشوند در لیست باقی می مانند. حتی بعد از خارج شدن از برنامه نیز همچنان سر جای خود باقی هستند. برای اجرای دوباره این دستورات کافیست دو بار روی آنها کلیک چپ کنیم و برای پاک کردن آنها کافیست پس از انتخاب دستورات مورد نظر بر روی آنها کلیک راست کرده و گزینه Delete را اجرا کنیم. محتویاتCommand History را می توان از طریق کلیک راست بر روی نوار بیرونی این پنجره و استفاده از گزینهClear Command History پاک نمود. 9

11 پنجره فضاي کاري Workspace
اگر در این پنجره روی هر کدام از متغیرها دبل کلیک کنیم، پنجره Array Editor مربوط به آن متغیر باز می شود که در این پنجره می توان هر گونه تغییری در مقادیر متغیرها ایجاد کرد. برای پاک کردن محتویات آن می توان از طریق کلیک راست بر روی نوار بیرونی پنجره فضای کاری و استفاده از گزینهClear Workspace عمل نمود. پس از ایجاد متغیر در فضای کاری، می توان روی متغیر مورد نظر کلیک راست نموده و پس از انتخاب گزینه Save As... متغیر را به صورتMAT-file ذخیره کرد. 10

12 پنجره مسیر جاري Current Directory
این پنجره مکان فایلی را که برنامه ی در حال اجرای MATLAB در آن قرار دارد را نشان می دهد. که البته همه فایل های موجود، گزارشات و نتایج و... را نیز نشان می دهد. MATLAB به طور پیش فرض پوشه ای در My Document به نام MATLAB ایجاد می کند که می توان با تغییر مسیر و رفتن به شاخه جدید، مدیریت شاخه را در قسمت جدید انجام داد. هر دستور ورودی و خروجی در این فایل انجام خواهد شد (یعنی اگر پارامتری را بخواهیم ذخیره کنیم در این شاخه و در این فایل ذخیره خواهد شد). البته اگر بخواهیم برنامه ای را اجرا کنیم باید در این شاخه باشد. در صورت یکی نبودن شاخه ها، MATLAB خود شاخه را تغییر خواهد داد. توجه: اگر یکی از پنجره ها را به اشتباه ببندید، می توان از مسیر زیر یک بار دیگر به صفحه شکل و پنجره های اولیه بازگشت. Home>>Layout>>Default 11

13 آشنایی با محیط MATLAB Simulink: از سیمولینک برای شبیه سازی سیستم های دینامیکی پیوسته و ناپیوسته زمانی خطی و غیرخطی استفاده می شود. با کلیک برروی آن کتابخانه ی Simulink یا Simulink Library Browser باز می شود. سفارشی کردن Desktop: برای مینیمم کردن پنجره است، با کلیک برروی آن پنجره به سمت راست صفحه می رود. برای بازگرداندن آن کافی است برروی آن کلیک راست کرده و گزینهRestore را انتخاب کنیم. برای آزاد کردن پنجره یاUndock کردن از منوی استفاده می کنیم. برای بازگرداندن آن کافیست بر روی آیکون (Dock) کلیک کرد. 12

14 متغیرها متغیر در حقیقت فضایی اختصاصی می باشد که نرم افزار از آن برای ذخیره مقادیر و ماتریس ها و یا هر نوع اطلاعات دیگر استفاده می کند. شرایط ایجاد متغیرها: 1. نرم افزار MATLAB به حروف بزرگ و کوچک بسیار حساس است و آن ها رامتفاوت می شناسد. 2. حرف اول یک متغیر نباید از عدد استفاده شود. 3. نام متغیرها حداکثر 63 کاراکتر می تواند باشد (بستگی به نسخه نرم افزار دارد). 4. نام متغیرها را نباید از کلمات تعریف شده در MATLAB باشد. البته دستورات MATLAB با حروف کوچک نوشته می شود و شما می توانید برای نامگذاری متغیر خود از این نام ها با حروف بزرگ استفاده نمایید. 5. بین حروف یک کلمه نباید فاصله وجود داشته باشد. 6. از (_) در نامگذاری متغیرها می توان استفاده کرد، اما از کاراکترهای علامت و دستوری نمی توان استفاده کرد. 13

15 متغیرهای ویژه در MATLAB
1. ans برای ذخیره مقادیری که کاربر متغیری را برای ذخیره آن ها در نظر نگرفته است. 2. pi مقدار عدد پی (3.1416) 3. eps کوچک ترین عدد مثبت بزرگ تر از صفر (بزرگترین عددی که اگر با یک جمع شود باز هم یک را به عنوان نتیجه برمی گرداند). 4. inf به عنوان علامت بی نهایت. این مقدار از تقسیم یک عدد غیر صفر بر عدد صفر بدست می آید. 5. NaN یا nan مقدار غیر عددی (نتیجه تمام عملگرها روی NaN ها، NaN است). این مقدار از تقسیم عدد صفر بر صفر بدست می آید. 14

16 دو دستور کاربردی >> clc پاک کردن پنجره دستورات (Command window)
>> clear پاک کردن پنجره دستورات و فضای کاری (Command window & Workspace) 15

17 ماتریس تک عنصری یک ماتریس از m سطر و n ستون تشکیل شده است. در صورتی که m=n=1 باشد، ماتریس تک عنصری گفته می شود. >> a=2 a = 2 در صورتی که بخواهید تنها مقدار ثبت شود و نمایش داده نشود، از علامت ; در پایان دستور استفاده نمایید. >> a=2; 16

18 ایجاد ماتریس m سطر و n ستون
>> a=[1,2,3] a = >> b=[1 3 5; 6 7 8; 5 3 0] b = 17

19 ماتریس با آرایه رشته (متن)
برای ایجاد کردن ماتریسی که اعضای آن مقادیر رشته ای یا همان کاراکترهای متنی است، کافی است رشته خود را در داخل علامت ‘رشته’ قرار دهید. نکته: تعداد کاراکترهای رشته ها باید با یکدیگر برابر باشد. >> g=['MATLAB'; 'insert'; 'dimens'] g = MATLAB insert dimens 18

20 ایجاد ماتریس به روش سطری
جهت ایجاد این گونه ماتریس ها از علامت : استفاده می شود. در این روش می توان هم ماتریس سطری و هم ماتریس ستونی و یا هر دو را ایجاد کرد. عدد پایانی : مقدار پرش : عدد شروع = A در صورتی که عدد مقدار پرش را ننویسید، به صورت پیش فرض 1 در نظر گرفته می شود. >> A=2:2:10 A = >> A = [7:-2:1; 1:4] A = 19

21 دست یابی به آرایه ای مشخص از یک ماتریس
برای دستیابی به سطر یا ستونی خاص از یک ماتریس و یا حتی آرایه ای دلخواه از یک ماتریس، از فرم های زیر استفاده می شود: A=B(x,y) از ماتریس B آرایه سطر x و ستون y جدا شده و در متغیر A قرار می گیرد. A=B(x,:) جدا کردن سطر x از ماتریس B و قرارگیری در ماتریس .A A=B(:,y) جدا کردن ستون y از ماتریس B و قرارگیری در ماتریس A. >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = >> B=A(2,3) B = 6 >> n=A(:,2) n = 2 5 8 >> j=A(3,:) j = 20

22 دست یابی به آرایه ای مشخص از یک ماتریس
نکته: در صورتی که بخواهید از عدد مورد نظر ماتریس خود تا آخرین آرایه سطر یا ستون جدا کنید، اما عدد آخرین آرایه را نمی شناسید، می توانید از کلمه end استفاده نمایید. >> x=[ ; ; ] x = >> nn=x(2:end, 1:end-1) nn = 21

23 اضافه کردن سطر یا ستون به ماتریس
در صورتی که بخواهید به یک ماتریس که در یک متغیر قرار داده شده است سطری را اضافه کنید، به صورت زیر عمل کنید: ]]سطر مورد نظر[ [A; = A در صورتی که بخواهید به یک ماتریس که در یک متغیر قرار داده شده است ستونی را اضافه کنید، به صورت زیر عمل کنید: ]’]ستون مورد نظر[ [A = A >> d=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] d = >> bb=[d;[4 4 3]] bb = >> cx=[d [1 1 6]'] cx = 22

24 ایجاد ماتریس با استفاده از توابع
ماتریس واحد (تعداد ستون , تعداد سطر) eye = A >> A=eye(3,3) A = ماتریس یک (تعداد ستون , تعداد سطر) ones = A >> A=ones(3,3) A = 23

25 ایجاد ماتریس با استفاده از توابع
ماتریس صفر (تعداد ستون , تعداد سطر) zeros = A >> A=zeros(3,4) A = ماتریس تصادفی (اعداد اتفاقی بین 0 و 1) (تعداد ستون , تعداد سطر) rand = A >> A=rand(3,4) A = 24

26 ایجاد ماتریس با استفاده از توابع
ماتریس تصادفی (اعداد مثبت و منفی تصادفی) (تعداد ستون , تعداد سطر) randn = A >> A=randn(3,4) A = ماتریس مربعی جادویی (ماتریسی مربعی که جمع سطرها یا ستون ها برابر است) (تعداد سطر و ستون) magic = A >> A=magic(3) A = 25

27 توابع اطلاعاتی ماتریس شناسایی متغیرها: این دستور لیست تمام متغیرهای مورد استفاده را به همراه ابعاد و مقدار حافظه اشغال شده در برنامه و حقیقی یا مختلط بودن آن ها را نمایش می دهد. whos >> whos Name Size Bytes Class Attributes A x double B x double x x double اندازه ماتریس ها: این دستور اندازه ماتریس را به صورت دو عدد که اولی تعداد سطر و دومی تعداد ستون ماتریس مدنظر است، نشان می دهد. size (B) or [m, n] = size (B) = A >> x=[1 2 3; 5 4 7] x = >> A=size(x) A = >> [m, n]=size(x) m = 2 n = 3 26

28 توابع اطلاعاتی ماتریس اندازه ماتریس سطری یا بردار: این دستور تعداد آرایه های ماتریس B در هر سطر را در ماتریس A قرار می دهد. این دستور در واقع طول بردار را نشان می دهد. A = length (B) >> x=[ ] x = >> A=length(x) A = 6 نمایش آرایه: با این دستور متون مورد نظر خود را می توانید با قرار دادن در بین علامت ‘ ‘ به نمایش در آورید. disp (‘متن’) >> disp ('Hello') Hello 27

29 عملگرهای ریاضی خارجی (عملگرهای ریاضی ماتریسی)
نحوه استفاده علامت نام عملگر A + B + جمع A – B - تفریق A / B / تقسیم A بر B A \ B \ تقسیم B بر A A’ ‘ ترانهاده A * B * ضرب A ^ B ^ توان 28

30 عملگرهای ریاضی داخلی (عملگرهای ریاضی درایه ای (درایه به درایه))
نحوه استفاده علامت نام عملگر A + B + جمع A – B - تفریق A ./ B ./ تقسیم A بر B A .\ B .\ تقسیم B بر A A’ ‘ ترانهاده A .* B .* ضرب A .^ B .^ توان 29

31 عملگرهای منطقی نحوه استفاده علامت نام عملگر 30 ~ A ~ NOT A & B & AND
| OR xor(A,B) xor XOR >> A=[1 2; 3 4] A = >> ~B ans = >> A|B ans = >> B=[2 2; 2 0] B = >> A&B ans = >> xor (A,B) ans = 30

32 عملگرهای رابطه ای نحوه استفاده علامت نام عملگر == مساوی ~= نامساوی
A == B == مساوی A ~= B ~= نامساوی A > B > بزرگ تر A < B < کوچک تر A >=B >= بزرگ تر مساوی A <= B <= کوچک تر مساوی 31

33 توابع اولیه ریاضی جمع ستون: این تابع که حاصل آن یک ماتریس سطری است، آرایه های موجود در ستون ماتریس B را جمع کرده و حاصل را در متغیر A قرار می دهد. sum (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 6]; >> A=sum(B) A = ماکزیمم ستون: این تابع که حاصل آن یک ماتریس سطری است، آرایه های موجود در ستون ماتریس B را مقایسه کرده و ماکزیمم مقدار هر ستون را در متغیر A قرار می دهد. max (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 6]; >> A=max(B) A = 32

34 توابع اولیه ریاضی مینیمم ستون: این تابع که حاصل آن یک ماتریس سطری است، آرایه های موجود در ستون ماتریس B را مقایسه کرده و مینیمم مقدار هر ستون را در متغیر A قرار می دهد. min (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 6]; >> A=min(B) A = میانگین ستون: این تابع که حاصل آن یک ماتریس سطری است، میانگین هر ستون ماتریس B را در متغیر A قرار می دهد. mean (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 6]; >> A=mean(B) A = 33

35 توابع اولیه ریاضی میانه ستون: این تابع که حاصل آن یک ماتریس سطری است، میانه هر ستون ماتریس B را در متغیر A قرار می دهد. median (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 7]; >> A=median(B) A = مرتب سازی ستون ماتریس: این تابع آرایه های ستون های ماتریس B را به صورت صعودی مرتب می کند و در متغیر A قرار می دهد. sort (B) = A >> B=[1 8 4; 3 5 9; 2 6 8]; >> A=sort(B) A = 34

36 توابع اولیه ریاضی فاکتوریل ماتریس: این دستور، فاکتوریل هر درایه از ماتریس B را در متغیر A به صورت ماتریس قرار می دهد. factorial (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 7]; >> A=factorial(B) A = چرخش ماتریس: این دستور به اندازه 90 درجه در جهت خلاف عقربه ساعت ماتریس B را چرخش داده و در متغیر A به صورت ماتریس قرار می دهد. rot90 (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 7] B = >> A=rot90(B) A = 35

37 توابع اولیه ریاضی دترمینان ماتریس: این دستور، دترمینان ماتریس B را محاسبه کرده و در متغیر A قرار می دهد. det (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 7; 8 9 5] B = >> A=det(B) A = -49 قطر اصلی ماتریس: این دستور قطر اصلی ماتریس B را جدا کرده و در متغیر A به صورت ماتریس ستونی قرار می دهد. diag (B) = A >> B=[1 1 4; 3 5 7; 8 9 5] B = >> A=diag(B) A = 1 5 36

38 توابع اولیه ریاضی تشخیص وجود مقادیر غیرقابل قبول ماتریس: توسط این دستور، مقادیر غیرقابل قبول ماتریس B مانند 0/0 (صفر تقسیم بر صفر) را به صورت عدد یک و اعداد قابل قبول را به صورت عدد صفر در ماتریس A قرار می دهد. isnan (B) = A >> B=[1 0 4; 3 nan 7; 8 9 nan] B = 3 NaN 7 NaN >> A=isnan(B) A = گرد کردن آرایه به سمت صفر: توسط این دستور، مقادیر آرایه ماتریس B به سمت صفر گرد شده و در ماتریس A قرار می گیرد. fix (B) = A >> B=[ ; ] B = >> A=fix(B) A = 37

39 توابع اولیه ریاضی گرد کردن آرایه به سمت منفی بی نهایت: توسط این دستور، مقادیر آرایه ماتریس B به سمت منفی بی نهایت گرد شده و در ماتریس A قرار می گیرد. floor (B) = A >> B=[ ; ] B = >> A=floor(B) A = گرد کردن آرایه به سمت بی نهایت: توسط این دستور، مقادیر آرایه ماتریس B به سمت بی نهایت گرد شده و در ماتریس A قرار می گیرد. ceil (B) = A >> B=[ ; ] B = >> A=ceil(B) A = 38

40 توابع اولیه ریاضی باقی مانده تقسیم: توسط این دستور، باقی مانده تقسیم آرایه های ماتریس B بر ماتریس A در ماتریس C قرار می گیرد. rem (B, A) =C >> B=[ ]; >> A=[ ]; >> C=rem(B,A) C = قدرمطلق بعد از تقسیم: توسط این دستور، مقدار یا ماتریس B بر مقدار یا ماتریس A تقسیم شده و قدرمطلق حاصل تقسیم در متغیر C قرار می گیرد. C = mod (B, A) >> C=mod(-14, 5) C = 1 39

41 توابع اولیه ریاضی جستجوی آرایه: توسط این دستور می توان مکان آرایه های مورد نظر خود در ماتریس B را نسبت به شرایطی که با عملگرها انتخاب می کنید را جدا کرده و در متغیر A به صورت ماتریس ستونی قرار می دهد. find (B, A) =C >> B=[1 1 4; 3 5 7; 8 9 5] B = >> A=find(B>5) A = 3 6 8 >> [A, C]=find(B>5) A = C= تابع نمایی: این دستور عدد e را به توان ماتریس B رسانده و حاصل را در متغیر A قرار می دهد. A = exp (B) >> B=[1 3 4]; >> A=exp(B) A = 40

42 توابع اولیه ریاضی لگاریتم: توسط این دستور لگاریتم طبیعی ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. A = log (B) >> B=[1 3 4]; >> A=log(B) A = لگاریتم بر مبنای 2: توسط این دستور لگاریتم مبنای 2 ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. A = log2 (B) >> B=[1 3 4]; >> A=log2(B) A = 41

43 توابع اولیه ریاضی لگاریتم بر مبنای 10: توسط این دستور لگاریتم مبنای 10 ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. A = log10 (B) >> B=[1 3 4]; >> A=log10(B) A = جذر: توسط این دستور جذر ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. A = sqrt (B) >> B=[1 3 4]; >> A=sqrt(B) A = 42

44 توابع اولیه ریاضی قدرمطلق: توسط این دستور قدرمطلق ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. این تابع اندازه مقادیر مختلط را هم نشان می دهد. A = abs (B) >> B=[ j]; >> A=abs(B) A = جداکردن بخش موهومی عدد مختلط: توسط این دستور بخش موهومی آرایه های مختلط ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. برای نوشتن اعداد موهومی از حروف i و j استفاده می شود. A = imag (B) >> B=[1+4.2j 3-5j 4]; >> A=imag(B) A = 43

45 توابع اولیه ریاضی جداکردن بخش حقیقی عدد مختلط: توسط این دستور بخش حقیقی آرایه های مختلط ماتریس B گرفته شده و در ماتریس A قرار داده می شود. برای نوشتن اعداد موهومی از حروف i و j استفاده می شود. A = real (B) >> B=[1+4.2j 3-5j 4]; >> A=real(B) A = زاویه فاز بر حسب رادیان: توسط این دستور می توان اندازه زاویه فاز آرایه های مختلط ماتریس B را گرفته و در ماتریس A قرار داد. A = angle (B) >> B=[1+4.2j 3-5j 4]; >> A=angle(B) A = 44

46 توابع اولیه ریاضی مزدوج: توسط این دستور می توان مزدوج آرایه های مختلط ماتریس B را گرفته و در ماتریس A قرار داد. A = conj (B) >> B=[1+4.2j 3-5j 4j]; >> A=conj(B) A = i i i تشکیل عدد مختلط: توسط این دستور می توان دو عدد A و B را به عدد مختلط به فرم A+Bi تبدیل نمود و در ماتریس C قرار داد. C= complex(A, B) >> C=complex(3,4) C = i 45

47 توابع مثلثاتی فرم استفاده تابع بر حسب سینوس درجه کسینوس تانژانت
A = sind (B) سینوس درجه A = cosd (B) کسینوس A = tand (B) تانژانت A = cotd (B) کتانژانت A = asind (B) عکس سینوس A = acosd (B) عکس کسینوس A = atand (B) عکس تانژانت A = acotd (B) عکس کتانژانت 46

48 توابع مثلثاتی فرم استفاده تابع بر حسب سینوس رادیان کسینوس تانژانت
A = sin (B) سینوس رادیان A = cos (B) کسینوس A = tan (B) تانژانت A = cot (B) کتانژانت A = asin (B) عکس سینوس A = acos (B) عکس کسینوس A = atan (B) عکس تانژانت A = acot (B) عکس کتانژانت 47

49 توابع مثلثاتی فرم استفاده تابع بر حسب سینوس هایپربولیک کسینوس تانژانت
A = sinh (B) سینوس هایپربولیک A = cosh (B) کسینوس A = tanh (B) تانژانت A = coth (B) کتانژانت A = asinh (B) عکس سینوس A = acosh (B) عکس کسینوس A = atanh (B) عکس تانژانت A = acoth (B) عکس کتانژانت 48

50