AST5220 – forelesning 1 Litt praktisk CMB-analyse

Presentasjon om: "AST5220 – forelesning 1 Litt praktisk CMB-analyse"— Utskrift av presentasjonen:

1 AST5220 – forelesning 1 Litt praktisk CMB-analyse
Hans Kristian Eriksen 20. januar 2009

2 Litt om kurset Pensum basert på ”Modern Cosmology” av Scott Dodelson
”Mål”: Å forstå dannelse av storskala-strukturer i universet Tre eller fire forelesere: Øystein Elgarøy Per Lilje Frode Hansen (litt uklart foreløpig pga. permisjon) Hans Kristian Eriksen En hoved-forelesning i uka – klokka på tirsdager i peisestua En regne-time eller ekstra-forelesning på fredag når nødvendig Holder på til en gang uti mai Obligatorisk prosjekt-oppgave Skal analysere CMB-data fra COBE-DMR, og skrive en tilhørende ”artikkel”! Med andre ord, dere skal gjenta analysen som førte til Nobel-prisen i 2006  Innleveringsfrist er 24. april, men start så snart som mulig Muntlig eksamen Tidspunkt avtales senere

3 Plan for første forelesning
Første time – introduksjon til CMB-teori og -analyse: Kjapp kosmologi-oppsummering fra tidligere (håper jeg) Matematisk beskrivelse av bakgrunnsstrålingen Andre time – praktiske eksempler og forberedelser: CMBFast – fra kosmologi til CMB-spektrum Hvordan velge parametere, kjøre programmet, og plotte resultatet Healpix – praktisk behandling av CMB-data Synfast – Hvordan lage et CMB-kart fra CMBFast-spekteret Map2gif – Hvordan plotte resultatet Anafast – Hvordan estimere power spekteret fra kartet Forberede kontoer, pather etc. på lokale maskiner og Titan Beskrivelse og utdeling av prosjektoppgave

4 Bittelitt kosmologi

5 1) Big Bang-modellen Grunnleggende idéer bak Big Bang:
Universet ekspanderer i dag Derfor må universet ha vært mindre tidligere Veldig tidlig må det ha vært veldig lite Når en gass komprimeres, blir den varm Det tidlige universet må ha vært veldig varmt Høy-energi-fotoner ødelegger partikler Kun elementær-partikler kan ha eksistert tidlig Mer komplekse partikler ble dannet etterhvert som temperaturen falt Viktige epoker i universets CMB-historie: Skapelse (!) – omtrent 14 milliarder år siden Inflasjon – rask ekspansjon omtrent s etter Big Bang; strukturer dannes Rekombinasjon– temperaturen faller under K omtrent 300,000 år etter Big Bang; hydrogen dannes

6 2) Inflasjon og initial-betingelser
Vi observerer at universet er svært nær flatt (euklidsk) isotropt (ser likt ut i alle retninger) Hvorfor? Beste idé: Inflasjon! Kort periode med eksponentiell ekspansjon Størrelsen til universet øker med i løpet av sekunder! Effekter: Geometri drives mot flatt Alle før-inflasjons-strukturer vaskes ut Men aller viktigst: Universet fylles med et plasma bestående av høy-energi-fotoner og elementær-partikler Kvante-fluktuasjoner dannet små variasjoner i plasma-tettheten

7 3) Gravitasjonell strukturdannelse

8 4) Kosmisk bakgrunnsstråling
Universet startet som en varm gass med fotoner og frie elektroner Hyppige kollisjoner førte til termodynamisk likevekt Fotoner kunne bare bevege seg noe få meter før de spredte på et elektron Gassen ekspanderte raskt, og derfor ble avkjølt Da temperaturen falt under 3000°K gikk elektroner og protoner sammen, og dannet nøytralt hydrogen Uten frie elektroner kunne fotonene bevege seg fritt gjennom hele universet! Tid Temp. I dag

9 4) Kosmisk bakgrunnsstråling
Universet startet som en varm gass med fotoner og frie elektroner Hyppige kollisjoner førte til termodynamisk likevekt Fotoner kunne bare bevege seg noe få meter før de spredte på et elektron Gassen ekspanderte raskt, og derfor ble avkjølt Da temperaturen falt under 3000°K gikk elektroner og protoner sammen, og dannet nøytralt hydrogen Uten frie elektroner kunne fotonene bevege seg fritt gjennom hele universet! Tid Temp. Bakgrunnsstrålingen er vår eldste og reneste informasjons- kilde om det tidlige univers! I dag

10 Matematisk beskrivelse av CMB-fluktuasjoner

11 CMB-observasjoner og kart
Et CMB måle-instrument er egentlig bare en dyr TV-antenne Man retter antennen i en retning, og får ut en spenning Jo høyere spenning, desto mer innkommende stråling Jo mer innkommende stråling, desto varmere CMB-temperatur Man scanner så himmelen med antennen, og får et kart over temperaturer i alle retninger på himmelen Kartet blir ofte vist i den såkalte Mollweide-projeksjonen: Nord-pol Ekvator 180° 90° 0° 270° 180° Sør-pol

12 CMB-observasjoner og kart
Problem: Hvordan pikseliserer man en kule-flate? Det finnes ingen ”perfekt” regulær oppdeling Man må spørre hvilke operasjoner man ønsker å optimalisere ”Standard” i CMB-miljøet i dag er HEALPix: Pikslene ligger på ringer med lik bredde-grad De er hierarkisk inndelt Høy-oppløsnings piksler ligger innenfor lav-oppløsnings-piksler

13 CMB-observasjoner og kart
Oppløsningen er gitt ved en parameter kalt Nside Antall sub-piksler langs kanten på én basis-piksel Siden det er 12 basis-piksler, er totalt antall piksler i et kart Gjennomsnittlig piksel-størrelse er derfor Nside = 1 Nside = 4

14 CMB-observasjoner og kart
Vi er mer imidlertid interessert i fysikk enn detaljer i et CMB-kart Forskjellige fysiske effekter virker på forskjellige skalaer Inflasjon virker på alle skalaer, fra små til veldig store Strålings-diffusjon virker på små skalaer  Nyttig å kunne splitte opp kartet i veldefinerte skalaer

15 Fourier-transformasjon
”Teorem”: Enhver funksjon kan ekspanderes i bølge-funksjoner I vanlig flatt rom kalles dette Fourier-transformasjon: |ak| bestemmer modens (bølgens) amplitude Fasen til ak bestemmer posisjonen til bølgen langs x-aksen Fourier-komponentene er (opp til normalisering) gitt ved →

16 Power spekteret For ”støy”-fenomener er vi kun interessert i amplituden til fluktuasjonene som en funksjon av skala Husk at bakgrunnsstrålingen er støy fra Big Bang! Spesifikke posisjon til maksima eller minima er irrelevant Dette kvantifiseres ved hjelp av power spekteret, P(k) = |ak|2 Power på en gitt skala = kvadratet av Fourier-amplituden

17 Laplace’s likning på kula
Fourier-transformasjonen er spesifikk for flatt rom De ønskede basis-bølge-funksjonene i et vilkårlig rom er gitt ved Laplace’s likning: Siden CMB-feltet er definert på en kule-flate, må man løse denne likningen i sfæriske koordinater (der ): Det er (heldigvis!) gjort i andre kurs, og svaret er for l  0 og m = - l, ..., l Funksjonene Ylm kalles sfærisk harmoniske funksjoner

18 Sfærisk harmoniske funksjoner
Sfærisk harmoniske funksjoner er bølge-funksjoner på kule-flaten Fullstendig analog til den komplekse eksponential-funksjon i flatt rom Istedet for bølge-tall k, beskrives disse av to ”kvante-tall” l og m l bestemmer ”bølge-lengden” til moden l er antall bølger langs en meridian m bestemmer ”fasongen” til moden m er antall bølger langs ekvator m = 4 m = 2 m = 0 m = 1 m = 3 l = 4

19 Forholdet mellom skala og multipol
Hvis vi øker l med én, så øker antall bølger mellom 0 og 2π med én Bølgelengden er derfor Dette holder kun langs ekvator For en generell l-mode (sum over m) sier vi mer generelt at ”typisk størrelse” for en flekk er ` = ` = 1 ` = 2 ` = 3 ` = 4

20 Sfærisk harmoniske transformasjoner
”Teorem”: Enhver funksjon definert på kuleflaten kan ekspanderes i sfærisk harmoniske: Ekspansjons-koeffisientene er gitt ved: l = 2 l = 3 = + l = 20 + l = 50 + l = 100 +

21 Det angulære power spekteret
Det angulære power spekteret måler amplitude som en funksjon av bølgelengde Det er definert som et gjennomsnitt over m for hver l: Merk: Denne m-midlingen er kun vel-begrunnet dersom feltet er isotropt!

22 Gaussianitet Anta at bakgrunnsstrålingen er Gaussisk fordelt
Dette vil være tilfellet dersom den ble dannet fra et kvante-felt (harmoniske oscillatorer) i grunntilstanden under inflasjons-fasen I så fall er sannsynlighets-distribusjonen for alm gitt ved Power spekteret er ganske enkelt variansen til alm-ene! Generelt: For et Gaussisk og isotropt felt, inneholder power spekteret all statistisk informasjon! Litt mer presist: Alle momenter av sannsynlighets-distribusjonen er gitt av variansen

23 Egenskaper ved reelle felt
En nyttig symmetri-egenskap ved sfæriske harmoniske funksjoner er Fordi et CMB-kart er et reelt felt, og ikke komplekst, må

24 Simulering av Gaussiske CMB-kart
Algoritme: For hver l  0, og m = 0, trekk og sett imaginær-delen til 0. Husk symmetri-egenskapen, For hver l > 0, og m = 1, ..., l, trekk Beregn den inverse sfærisk harmoniske transformasjonen

25 Teoretisk og observert spektrum
Man har to typer power spektra: Gitt et spesifikt kart, beregn Dette er det observerte spekteret til en bestemt realisasjon Gitt et ensemble av kart (tenk tusenvis av uavhengige realisasjoner), beregn Dette er det ensemble-midlede spekteret Fysikken sitter i , mens vi observerer kun Alle CMB-målinger er forbundet med en usikkerhet kalt kosmisk varians Den kosmiske variansen er gitt ved

26 Teoretisk og observert spektrum

27 Kosmologi og CAMB Forskjellige fysiske effekter påvirker forskjellige skalaer Gravitasjonell tiltrekning klumper materie Fluktuasjoner blir forsterket Power spekteret øker på de relevante skalaene Strålingstrykk vasker ut struktur Fluktuasjoner blir dempet Power spekteret avtar på de relevante skalaene For at CMB-observasjoner skal være nyttige, må vi kunne beregne det teoretiske CMB-spekteret fra en gitt kosmologisk modell Heldigvis har andre skrevet programmer som gjør dette for oss, og vi kan benytte resultatene Vi skal bruke programmet CAMB (skrevet av Antony Lewis) i dette kurset

28 Oppsummering av hoved-punkter
All statistisk informasjon i et Gaussisk og isotropt felt er inneholdt i power spekteret Et teoretisk spektrum for en gitt kosmologisk modell kan beregnes ved hjelp av programmer som CAMB Dette skal vi gjøre i neste time Gitt et teoretisk power spektrum er det enkelt å simulere en tilhørende CMB-realisasjon ved å trekke de sfærisk harmoniske koeffisientene fra en Gaussisk distribusjon, og så beregne