Lokalisering og minimum maxavstand

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 I mange situasjoner ønsker en å finne lokaliseringer som minimerer maksimalavstanden til de som skal betjenes. Et klassisk eksempel er plassering av brannstasjoner – en ønsker at den lengste avstanden til de nodene som skal betjenes fra brannstasjonen skal være kortest mulig. Anta at vi ønsker at nodene i nettverket skal betjenes av høyst 2 brannstasjoner. Hvor skal disse lokaliseres slik at den lengste avstanden til en node blir kortest mulig? Lokalisering og minimum maxavstand

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Lokalisering og minimum maxavstand Noder Merk at avstandene a ij nå angir korteste avstand fra node i til node j, og at vi må beregne en komplett avstandsmatrise. Dvs. vi må beregne korteste avstand fra enhver node til enhver node. Vi må altså løse en mengde LP-modeller for korteste reiserute, for å skaffe grunnlagsdata for lokaliseringsmodellen vår.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 Vi skal i utgangspunktet anta et om vi etablerer en brannstasjon i en node, så kan den i prinsippet betjene alle andre noder, inklusive seg selv. Det er altså ingen kapasitetsbeskrankinger for hvor mange noder en brannstasjon kan betjene. Vårt problem blir da å finne ut i hvilke noder vi skal plassere brannstasjonene, og hvilke noder disse stasjonene skal betjene. Vi ønsker at den lengste avstanden til de nodene som skal betjenes fra brannstasjonen skal være kortest mulig. Lokalisering og minimum maxavstand

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Beslutningsvariabler: Lokalisering og minimum maxavstand Merk at både U i og X ij er binærvariabler. n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} a ij Korteste avstand mellom node i og node j i  {N}; j  {N} u Maksimal antall brannstasjoner som skal opprettes UiUiUiUi Angir om det opprettes en brannstasjon i node i U i  {0,1} ; i  {N} X ij Angir om node j blir betjent av node i X ij  {0,1} ; i  {N}; j  {N} A Maksimal avstand fra en brannstasjon til noder den betjener

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Målfunksjon: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 1 Minimer maksimalavstanden fra en brannstasjon til noder den betjener. Merk at A både er en beslutningsvariabel og vår målfunksjon. Vi skal også benytte den som en restriksjonsgrense.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 2 En node må bli betjent av minst en brannstasjon. Dette kravet gjelder for alle noder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 3 Antall noder betjent fra en node må være mindre eller lik kapasiteten. Dette kravet gjelder for alle noder. Merk at U i = 0 for noder uten brannstasjon, disse får dermed 0 kapasitet. Hvis U i = 1 så opprettes en brannstasjon i noden, og den får kapasitet til å betjene alle nodene i nettverket.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 4 Avstanden mellom en node og den brannstasjonen den blir betjent fra kan ikke være større enn maksimalavstanden A. Dette kravet gjelder for alle noder. Avstanden mellom en brannstasjon ved node i og noden j den betjener er a ij, og variabelen X ij = 1, hvis node i betjener node j. Vi kan derfor beskrive avstandene som a ij ∙X ij, og summen av avstandene fra en node j til alle brannstasjoner i den blir betjent av er Ettersom en node j bare blir betjent av en brannstasjon (i), vil denne summen bare bestå av ett ledd, og beskriver altså avstanden til den brannstasjonen den blir betjent fra. Denne avstanden kan selvsagt ikke være større enn maksimalavstanden A, ellers ville ikke A være maksimalavstanden fra en brannstasjon til noder den betjener.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 5 Antall brannstasjoner som opprettes må være mindre enn maksimal antall brannstasjoner.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Lokalisering og minimum maxavstand Målfunksjon, beslutningsvariabel, restriksjonsgrense.

 Merk at løsningen bare sikrer at en node blir betjent fra en node ikke lenger unna enn A.  Det kan tenkes at en annen node med opprettet service ligger nærmere enn A, men at denne løsningen ikke blir valgt.  Løs da problemet en gang til:  Ny målfunksjon: Minimer sum betjent avstand.  Ny restriksjon: A  A* (A* fra opprinnelig løsning) LOG530 Distribusjonsplanlegging 12

LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Målfunksjon trinn 2: Lokalisering og minimum maxavstand Vi ønsker nå at totalavstanden skal bli kortest mulig. 16 ‑ 6 Minimer sum avstander fra brannstasjonene til nodene de betjener.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 Restriksjoner trinn 2: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 7 En node må bli betjent av minst en brannstasjon. Dette kravet gjelder for alle noder.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 8 Antall noder betjent fra en node må være mindre eller lik kapasiteten. Dette kravet gjelder for alle noder. Merk at U i = 0 for noder uten brannstasjon, disse får dermed 0 kapasitet. Hvis U i = 1 så opprettes en brannstasjon i noden, og den får kapasitet til å betjene alle nodene i nettverket.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 4 Avstanden mellom en node og den brannstasjonen den blir betjent fra kan ikke være større enn maksimalavstanden A*. Dette kravet gjelder for alle noder. Avstanden mellom en brannstasjon ved node i og noden j den betjener er a ij, og variabelen X ij = 1, hvis node i betjener node j. Vi kan derfor beskrive avstandene som a ij ∙X ij, og summen av avstandene fra en node j til alle brannstasjoner i den blir betjent av er Ettersom en node j bare blir betjent av en brannstasjon (i), vil denne summen bare bestå av ett ledd, og beskriver altså avstanden til den brannstasjonen den blir betjent fra. Denne avstanden kan selvsagt ikke være større enn maksimalavstanden A*, som vi fant i trinn 2. Vi skal altså ikke ha større maksimalavstand enn før.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 17 Restriksjoner: Lokalisering og minimum maxavstand 16 ‑ 5 Antall brannstasjoner som opprettes må være mindre enn maksimal antall brannstasjoner.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 18 Lokalisering og minimum maxavstand Minimum totalavstand, uten at maksavstand har økt.