LOG530 Distribusjonsplanlegging Veid avstandsmatrise LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Veid avstandsmatrise Nettverk 1 2 4 5 3 6 8 7 9 12 Det skal opprettes 2 brannstasjoner som skal betjene nodene i nettverket. Nodene har ulik størrelse, og det er antatt at behovet for utrykninger er proporsjonal med innbyggertallet. Vi ønsker nå å plassere brannstasjonen slik at den lengste vektede avstanden er kortest mulig. Vi må derfor vekte avstandene med innbyggertallet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Veid avstandsmatrise DATA Noder 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 14 11 10 16 13 Node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Innbyggere 1400 800 900 1300 1000 1200 1500 1100 1600 LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 Distribusjonsplanlegging Veid avstandsmatrise Problem Vi har nå nesten samme problemstilling som i eksempel 16 Lokalisering og minimum maxavstand. Forskjellen er at vi nå må ta hensyn til innbyggertallet i hver enkelt node, i tillegg til avstandene mellom nodene. Vi multipliserer hver kolonne i avstandsmatrisen med innbyggertallet for noden som den aktuelle kolonnen representerer for å finne vektete avstander. Vi ønsker at den lengste veide avstanden til de nodene som skal betjenes fra brannstasjonene skal være kortest mulig. 1 2 4 5 3 6 8 7 9 12 LOG530 Distribusjonsplanlegging

symboler Beslutningsvariabler: n Antall noder N Mengden noder Veid avstandsmatrise symboler n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} di Antall innbyggere i node i i  {N} aij Korteste avstand mellom node i og node j i  {N} ; j  {N} cij ”veid” avstand mellom node i og j u Antall brannstasjoner som skal opprettes Beslutningsvariabler: Ui Angir om det opprettes en brannstasjon i node i Ui  {0,1} ; i  {N} Xij Angir om node j blir betjent av node i Xij  {0,1} ; i  {N} ; j  {N} A Maksimal veid avstand fra en brannstasjon til noder den betjener Merk at både Ui og Xij er binærvariabler. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Veid avstandsmatrise Veid avstandsmatrise 22‑1 Veid avstand fra node i til j er lik korteste avstand multiplisert med innbyggertallet i node j. Merk at den veide avstandsmatrisen ikke er symmetrisk. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Veid avstandsmatrise Matematisk formulering Målfunksjon: 22‑2 Minimer maksimalavstanden fra en brannstasjon til noder den betjener. Merk at A både er en beslutningsvariabel og vår målfunksjon. Vi skal også benytte den som en restriksjonsgrense. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑3 En node må bli betjent av minst en brannstasjon. Dette kravet gjelder for alle noder. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑4 Antall noder betjent fra en node må være mindre eller lik kapasiteten. Dette kravet gjelder for alle noder. Merk at Ui = 0 for noder uten brannstasjon, disse får dermed 0 kapasitet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑5 Veid avstand mellom en node og den brannstasjonen den blir betjent fra kan ikke være større enn maksimalavstanden A. Dette kravet gjelder for alle noder. Den veide avstanden mellom en brannstasjon ved node i og noden j den betjener er cij, og variabelen Xij = 1, hvis node i betjener node j. Vi kan derfor beskrive de veide avstandene som aij∙Xij, og summen av de veide avstandene fra en node j til alle brannstasjoner i den blir betjent av er Ettersom en node j bare blir betjent av en brannstasjon (i), vil denne summen bare bestå av ett ledd, og beskriver altså den veide avstanden til den brannstasjonen den blir betjent fra. Denne avstanden kan selvsagt ikke være større enn maksimalavstanden A, ellers ville ikke A være maksimalavstanden fra en brannstasjon til noder den betjener. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑6 Antall brannstasjoner som opprettes må være mindre enn maksimal antall brannstasjoner. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark basert på veid avstandstabell Veid avstandsmatrise Regneark basert på veid avstandstabell Merk at total veid avstand er 32 000. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Matematisk formulering Veid avstandsmatrise Matematisk formulering Målfunksjon trinn 2: 22‑7 Minimer sum veide avstander fra brannstasjonene til nodene de betjener. Om vi ønsker å finne en mer ”fornuftig” fordeling av hvilke noder en brannstasjon skal betjene, kan vi løse problemet gang til, der vi minimerer sum veid avstand, men krever at ingen maksimalavstander får være større enn A*, dvs. den optimale verdien for maksimalavstanden A (som er lik 7000) LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner trinn 2: 22‑8 En node må bli betjent av minst en brannstasjon. Dette kravet gjelder for alle noder. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑9 Antall noder betjent fra en node må være mindre eller lik kapasiteten. Dette kravet gjelder for alle noder. Merk at Ui = 0 for noder uten brannstasjon, disse får dermed 0 kapasitet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑10 Avstanden mellom en node og den brannstasjonen den blir betjent fra kan ikke være større enn maksimalavstanden A*. Dette kravet gjelder for alle noder. LOG530 Distribusjonsplanlegging

MATEMATISK FORMULERING Veid avstandsmatrise MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: 22‑11 Antall brannstasjoner som opprettes må være mindre enn maksimal antall brannstasjoner. LOG530 Distribusjonsplanlegging

Regneark basert på veid avstandstabell Veid avstandsmatrise Regneark basert på veid avstandstabell Målfunksjonen er flyttet fra Max avstand til Sum veid avstand. Max avstand er satt lik minimum max avstand (A*), og er ikke lenger en beslutningsvariabel. LOG530 Distribusjonsplanlegging