Maksimal gjennomstrømming

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 StartOil må transportere store mengder utstyr og materialer til utbyggingen av et nytt anlegg. Anslagsvis 60 tonn må transporteres hvert døgn fra A (”basen”) til H (utbyggingsstedet), via diverse knutepunkt (B – G). Transporten mellom disse stedene er koordinert i tid, men har ulik kapasitet, angitt for hver grein. Vil selskapet greie å transportere 60 tonn fra A til H hvert døgn? Maksimal gjennomstrømming

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Maksimal gjennomstrømming Følgende tabell viser døgnkapasiteten for de forskjellige strekningene: FraTil Kapasitet (tonn) AB30 AC25 AD35 BE10 BD5 CE15 CF20 DF15 DG5 EG25 EH10 FG20 FH15 GH30 GF15

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 Maksimal gjennomstrømming Greinene mellom nodene har typisk øvre og nedre kapasitetsgrenser. I tillegg kan vi selvsagt ikke sende mer ut fra en node enn mengden inn til noden. For å løse dette problemet legger vi til en kunstig grein fra endenoden H tilbake til startnoden A. Som målsetting maksimerer vi denne tilbakestrømmen. Siden vi ikke kan sende tilbake mer enn det som kan sendes videre gjennom nettverket (vi forestiller oss en evig gjennomstrømming), har vi funnet maksimal kapasitet i nettverket.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Maksimal gjennomstrømming Beslutningsvariabler: Startnoden angis med tallet 1, og endenoden angis med tallet n. Hvis problemet inneholder flere startnoder og endenoder, opprettes en kunstig startnode med greiner til hver ordinær startnode, og en kunstig endenode med greiner fra hver ordinær endenode. Disse kunstige greinene har ubegrenset kapasitet. Vi skal bestemme hvor mye som skal transporteres langs hver grein i nettverket.n antall noder N mengden av noder N = {1, 2,..., n} G mengden av rettede greiner mellom nodene G = {(1,2); (1,3);..(7,8); (8,1)} Q ij maksimal transportkapasitet fra node i til node j (i,j)  G X ij mengde transportert fra node i til node j (i,j)  G

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Målfunksjon: Maksimal gjennomstrømming Vi ønsker å finne ut maksimal transportkapasitet i nettverket. Ved å maksimere returen fra endenoden n til startnoden 1, og kreve at denne sendes videre gjennom nettverket igjen, finner vi løsningen. 44 ‑ 1 Maksimer mengde transportert fra endenoden n til startnoden 1 Målfunksjonen blir dermed:Max X 81

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Restriksjoner: Maksimal gjennomstrømming. Vi kan ikke lagre i nodene, og må derfor sende videre alt som kommer inn til en node. 44 ‑ 2 Sum transportert til en node må være lik sum transportert fra samme node. Dette kravet gjelder alle noder. Det som transporteres til en node må sendes videre: X 81 = X 12 + X 13 + X 14 Node 1: Sum inn = sum ut X 12 = X 24 + X 25 Node 2: Sum inn = sum ut X 13 = X 35 + X 36 Node 3: Sum inn = sum ut X 14 + X 24 = X 46 + X 47 Node 4: Sum inn = sum ut X 25 + X 35 = X 57 + X 58 Node 5: Sum inn = sum ut X 36 + X 46 + X 76 = X 67 + X 68 Node 6: Sum inn = sum ut X 47 + X 57 + X 67 = X 76 + X 78 Node 7: Sum inn = sum ut X 58 + X 68 + X 78 = X 81 Node 8: Sum inn = sum ut

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Restriksjoner: Maksimal gjennomstrømming Vi kan selvsagt heller ikke sende mer langs en grein enn det kapasiteten tillater. Husk at eventuelle kunstige greiner (som returgreinen) har ubegrenset kapasitet. 44 ‑ 3 Transportert mengde fra node i til j kan ikke overstige kapasiteten på denne greinen. En kan ikke transportere mer mellom nodene enn hva en har kapasitet til: X 12 ≤ 30X 13 ≤ 25X 14 ≤ 35 X 24 ≤ 5X 25 ≤ 10X 35 ≤ 15 X 36 ≤ 20X 46 ≤ 15X 47 ≤ 5 X 57 ≤ 25X 58 ≤ 10X 67 ≤ 20 X 68 ≤ 15X 76 ≤ 15X 78 ≤ 30 Ikke-negativitetsbetingelsene X ij ≥ 0; (i,j)  G

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Maksimal gjennomstrømming

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Maksimal gjennomstrømming Det er selvsagt også mulig å løse problemet uten bruk av virtuelle greiner. I så fall maksimerer vi sum innstrømming til endenoden. Restriksjonene på hver grein angir maksimal mengde langs greinene, og restriksjonene for transittnodene angir at det må være balanse mellom mengde inn og mengde ut av hver transittnode. For startnoden og stoppnoden er det ingen restriksjoner.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Målfunksjon: Maksimal gjennomstrømming Vi ønsker å finne ut maksimal transportkapasitet i nettverket. Ved å maksimere sum innstrømming til endenoden finner vi maksimal gjennomstrømmingskapasitet i nettverket. 44 ‑ 4 Maksimer mengde transportert inn til node n, endenoden. Målfunksjonen blir dermed:Max Målfunksjonen blir dermed:Max X 58 + X 68 + X 78

LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Restriksjoner: Maksimal gjennomstrømming. Mengden T er definert som de noder som har både greiner inn og greiner ut, altså transittnoder. Vi kan ikke lagre i transittnodene, og må derfor sende videre alt som kommer inn til en node. 44 ‑ 5 Sum transportert til en node må være lik sum transportert fra samme node. Dette kravet gjelder alle transittnoder T. Det som transporteres til en node må sendes videre: X 12 = X 24 + X 25 Node 2: Sum inn = sum ut X 13 = X 35 + X 36 Node 3: Sum inn = sum ut X 14 + X 24 = X 46 + X 47 Node 4: Sum inn = sum ut X 25 + X 35 = X 57 + X 58 Node 5: Sum inn = sum ut X 36 + X 46 + X 76 = X 67 + X 68 Node 6: Sum inn = sum ut X 47 + X 57 + X 67 = X 76 + X 78 Node 7: Sum inn = sum ut

LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Restriksjoner: Maksimal gjennomstrømming Vi kan selvsagt heller ikke sende mer langs en grein enn det kapasiteten tillater. Husk at eventuelle kunstige greiner (som returgreinen) har ubegrenset kapasitet. 44 ‑ 6 Transportert mengde fra node i til j kan ikke overstige kapasiteten på denne greinen. En kan ikke transportere mer mellom nodene enn hva en har kapasitet til: X 12 ≤ 30X 13 ≤ 25X 14 ≤ 35 X 24 ≤ 5X 25 ≤ 10X 35 ≤ 15 X 36 ≤ 20X 46 ≤ 15X 47 ≤ 5 X 57 ≤ 25X 58 ≤ 10X 67 ≤ 20 X 68 ≤ 15X 76 ≤ 15X 78 ≤ 30 Ikke-negativitetsbetingelsene X ij ≥ 0; (i,j)  G

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 Maksimal gjennomstrømming