The Travelling Salesperson

LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Et forsyningsskip skal starte fra VestBase for å betjene 10 forskjellig installasjoner i Nordsjøen. Anta at en fritt kan velge rekkefølgen for å betjene de forskjellige installasjonene. Forsyningsskipet må dessuten returnere til VestBase. Hvilken rekkefølge bør installasjonene besøkes for at forsyningsskipet skal få kortest mulig reiseavstand? Avstandene kan beregnes som rette linjer. The Travelling Salesperson

LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 The Travelling Salesperson Følgende tabell angir koordinatene (nautiske mil) når VestBase er plassert i origo: InstallasjonXY

LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 The Travelling Salesperson Vi antar at skipet seiler etter en rett kurs, og kan derfor beregne euklidske avstander (antar at vi slipper å beregne avstandene basert på storsirkler). Euklidsk avstand måler korteste avstand mellom to punkter i og j med koordinatene (x i ; y i ) og (x j ; y j ) som en rett linje:

LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 The Travelling Salesperson Vi står altså overfor det klassiske The Travelling Salespersons Problem: Finn den korteste reiseruten som besøker alle nodene i nettverket minst en gang og returnerer til startnoden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 The Travelling Salesperson Evolutionary Solver rekkefølgen Evolutionary Solver velger rekkefølgen som nodene skal betjenes, slik at total avstand for reisen blir kortest mulig.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 The Travelling Salesperson Beslutningsvariabler:. Her antar vi at vi kjenner korteste veg mellom alle par av noder, dvs. vi må ha utarbeidet en komplett avstandstabell. Merk at nodene er nummerert fra 1, ikke fra 0 som innledningsvis. n antall noder N mengden av noder N = {1, 2,..., n} a ij Korteste avstand fra node i til node j i  N; j  N X ij Angir om turen går fra node i til node j X ij  {0, 1}; i  N; j  N UjUjUjUj Hjelpevariabel for å eliminere subsykluser j  {2,..., n} Vi skal bestemme hvilke greiner i nettverket vi skal benytte. For å unngå subturer skal vi også benytte en hjelpevariabel.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Målfunksjon: The Travelling Salesperson Husk at hvis X ij = 1 så reiser vi langs ”greinen” mellom node i og j, mens X ij = 0 for de greiene som ikke benyttes. Målfunksjonen summerer altså bare avstandene for de greinene vi faktisk benytter på rundturen. 42 ‑ 1 Minimer total avstand for alle greiner som benyttes

LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Restriksjoner: The Travelling Salesperson Siden vi skal besøke alle nodene må vi ankomme hver av de. 42 ‑ 2 Vi må ankomme hver node minst 1 gang. Kan ikke starte i ankomstnoden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Restriksjoner: The Travelling Salesperson For å få en komplett rundtur må vi også forlate hver node. 42 ‑ 3 Vi må forlate hver node minst 1 gang. Kan ikke starte i ankomstnoden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Restriksjoner: The Travelling Salesperson I illustrasjonen til venstre er alle nodene besøkt en gang, men vi har ingen kontinuerlig rute. Vi trenger derfor restriksjoner som eliminerer mulighetene for slike subturer. 42 ‑ 4 Eliminerer subturer.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 The Travelling Salesperson

TSP I IKKE-KOMPLETT GRAF LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 The Travelling Salesperson 1, , ,3 2, I dette eksemplet skal vi altså besøke alle nodene. Vi ønsker å finne den kjøreruten som gjør dette til lavest mulig kostnad, dvs. på kortest mulig tid, Grafen er symmetrisk, dvs. det tar like lang tid å reise langs en grein som tilbake langs samme grein. En lukket tur impliserer at vi skal returnere til startnoden, mens en åpen tur betyr at vi ikke trenger å returnere til startnoden, ofte kalt for basen. Merk at for en lukket tur så kan vi i prinsippet velge startnode fritt. I dette eksemplet skal vi altså besøke alle nodene. Vi ønsker å finne den kjøreruten som gjør dette til lavest mulig kostnad, dvs. på kortest mulig tid, Grafen er symmetrisk, dvs. det tar like lang tid å reise langs en grein som tilbake langs samme grein. En lukket tur impliserer at vi skal returnere til startnoden, mens en åpen tur betyr at vi ikke trenger å returnere til startnoden, ofte kalt for basen. Merk at for en lukket tur så kan vi i prinsippet velge startnode fritt.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 The Travelling Salesperson Beslutningsvariabler:n antall noder N mengden av noder N = {1, 2,..., n} G Mengden av greiner i nettverket c ij Faktisk kostnad/tid fra node i til node j (i,j)  G X ij Angir om turen går fra node i til node j X ij  {0, 1}; (i,j)  G UjUjUjUj Hjelpevariabel for å eliminere subsykluser j  {2,..., n} Vi skal bestemme hvilke greiner i nettverket vi skal benytte. For å unngå subturer skal vi også benytte en hjelpevariabel. Merk at vi her benytter faktiske avstander/tid mellom node i og j, ikke nødvendigvis den korteste avstanden/tiden.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 Målfunksjon: The Travelling Salesperson Husk at hvis X ij = 1 så reiser vi langs ”greinen” mellom node i og j, mens X ij = 0 for de greiene som ikke benyttes. Målfunksjonen summerer altså bare avstandene for de greinene vi faktisk benytter på rundturen. 42 ‑ 5 Minimer total avstand for alle greiner som benyttes

LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Restriksjoner: The Travelling Salesperson Siden vi skal besøke alle nodene må vi ankomme hver av de. 42 ‑ 6 Vi må ankomme hver node minst 1 gang. For å få en komplett rundtur må vi også forlate hver node. 42 ‑ 7 Vi må forlate en node like ofte som vi ankommer samme node.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 17 Restriksjoner: The Travelling Salesperson Vi trenger en restriksjon som sørger for en kontinuerlig tur. 42 ‑ 8 Eliminerer subturer. Formuleringen i ligning 42-1 til 42-3 kan klassifiseres som et tilordningsproblem (assignment problem), mens 42-5 til 42-7 kan klassifiseres som et nettverksproblem. Formuleringen i ligning 42-1 til 42-3 kan klassifiseres som et tilordningsproblem (assignment problem), mens 42-5 til 42-7 kan klassifiseres som et nettverksproblem.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 18 Disse restriksjonene for å eliminere subturer har en del egenskaper ved seg som det er viktig å være klar over: • node 1 må være basen eller startnoden; • de sørger for at hver node som besøkes hører til en tur som er sammenbundet med basenoden, og dermed eliminerer subturer; • de tillater at noder kan besøkes mer enn én gang (med mindre andre restriksjoner forhindrer en slik løsning); • de krever ikke at alle noder besøkes (med mindre andre restriksjoner impliserer slike krav); • de tillater at urettede greiner benyttes i begge retninger på same tur. Disse restriksjonene for å eliminere subturer har en del egenskaper ved seg som det er viktig å være klar over: • node 1 må være basen eller startnoden; • de sørger for at hver node som besøkes hører til en tur som er sammenbundet med basenoden, og dermed eliminerer subturer; • de tillater at noder kan besøkes mer enn én gang (med mindre andre restriksjoner forhindrer en slik løsning); • de krever ikke at alle noder besøkes (med mindre andre restriksjoner impliserer slike krav); • de tillater at urettede greiner benyttes i begge retninger på same tur. The Travelling Salesperson

LOG530 Distribusjonsplanlegging 19 The Travelling Salesperson

LOG530 Distribusjonsplanlegging 20 The Travelling Salesperson • Nummereringen av nodene i figuren til venstre gjør problemet uløselig. • Nummereringen av nodene som i figuren til høyre gir en mulig løsning. Nummerering av nodene er avgjørende for om problemet lar seg løse. • Nummereringen av nodene i figuren til venstre gjør problemet uløselig. • Nummereringen av nodene som i figuren til høyre gir en mulig løsning. Nummerering av nodene er avgjørende for om problemet lar seg løse.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 21 The Travelling Salesperson Om vi forsøker å løse problemet slik nodene er nummerert til venstre, så får vi en løsning med minimum kostnad lik 209, og alle noder besøkes kun én gang. Bruker vi nummereringen til høyre, så får vi en minimum kostnad på 28, der fire av nodene besøkes kun en gang, mens en node besøkes fire ganger. Bruker vi tilordningsformuleringen, så ender vi opp med en kostnad på 209. Om vi forsøker å løse problemet slik nodene er nummerert til venstre, så får vi en løsning med minimum kostnad lik 209, og alle noder besøkes kun én gang. Bruker vi nummereringen til høyre, så får vi en minimum kostnad på 28, der fire av nodene besøkes kun en gang, mens en node besøkes fire ganger. Bruker vi tilordningsformuleringen, så ender vi opp med en kostnad på 209. c ij