AST5220 – forelesning 2 Parameter-estimering og CosmoMC

Presentasjon om: "AST5220 – forelesning 2 Parameter-estimering og CosmoMC"— Utskrift av presentasjonen:

1 AST5220 – forelesning 2 Parameter-estimering og CosmoMC
Hans Kristian Eriksen 24. januar 2007

2 Plan for andre forelesning
Første time – introduksjon til parameter-estimering: Eksempler på fysiske effekter som påvirker power spekteret Markov Chain Monte Carlo og CosmoMC Eksempel: Lineær parameter-tilpasning Mer generelt: Maximum likelihood Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Andre time – praktiske eksempler CosmoMC – fra CMB-spektrum til kosmologi Parameter-filer Resultat-filer Hvordan kjøre jobber på Titan Batch script Submitte jobber Hvordan følge med på hva som skjer under kjøring

3 Noen fysiske effekter som påvirker CMB-spekteret

4 Oversikt over CMB-spekteret
Lyd-bølger Inflasjon Geometri Baryoner Initial-betingelser Diffusjon Konsistens-sjekk

5 Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk
Det tidlige univers var fylt av baryonsk materie (gule kuler) og fotoner (rød fjær) som vekselvirket i et gravitasjons-potensial satt opp av mørk materie (blå) Materie-konsentrasjoner tiltrekker hverandre pga. gravitasjon Men når tettheten øker, så øker også trykket  frastøtning

6 Hoved-idé 1: Gravitasjon vs. trykk
Universet består av et helt landskap av potensial-brønner og -topper Baryon-foton-plasmaet oscillerer i dette potensial-landskapet Lyd-bølger propagerer gjennom universet Baryon-tettheten korresponderer direkte til CMB-temperatur Områder med høy tetthet blir varme flekker i et CMB-kart Områder med lav tetthet blir kalde flekker i et CMB-kart

7 Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk

8 Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk
Hvis horisonten er mye mindre enn bølge-lengden, skjer ingenting! Fourier-dekomponér tetthets-feltet, og se på en enkelt mode Husk fra AST4220: Horisonten er så langt lyset går siden Big Bang Gravitasjon kan kun virke innenfor en radius på ~ct

9 Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk
Hvis horisonten er mye større enn bølge-lengden, begynner moden å oscillere! ct Fourier-dekomponér tetthets-feltet, og se på en enkelt mode Husk fra AST4220: Horisonten er så langt lyset går siden Big Bang Gravitasjon kan kun virke innenfor en radius på ~ct

10 Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk
Kompresjon Snitt-tetthet Dekompresjon Struktur-løst Kompresjon Dekompresjon Snitt-tetthet Struktur-løst Struktur-løst Kompresjon Snitt-tetthet Dekompresjon Kompresjon Struktur-løst Struktur-løst Kompresjon Struktur-løst Inflasjon setter opp et flatt spektrum av fluktuasjoner Rett etter inflasjon er horisonten liten Bare små skalaer begynner å prosesseres Tiden går, og større og større skalaer begynner å oscillere Så, en dag inntreffer rekombinasjon, og CMB-bildet ”fryses”

11 Hoved-idé 2: Horisonten og akustikk
En kompresjon Uprosessert En dekompresjon To kompresjoner To dekompresjoner Spørsmål: Hva kan disse fluktuasjonene fortelle oss om prosessene som virker i universet?

12 Inflasjon fra lave l-er
Størrelsen til horisonten ved rekombinasjon er omtrent 2° på himmelen i dag Fra forrige time husker vi at dette tilsvarer multipoler l ~ 180° / 2° ~ 100 Skalaer større enn disse er bare svakt prosessert av gravitasjon og trykk CMB-feltet på l < 50 er et ”direkte” bilde av fluktuasjonene fra inflasjon! Noen forutsigelser fra inflasjon: Fluktuasjonen skal være Gaussiske og isotrope Spekteret skal være nesten skala-invariant Det bør ikke være noen karakteristisk skala Fluktuasjonene skal være like sterke på alle skalaer (dvs. flatt spektrum) De passende parameterne for å beskrive initial-betingelsene fra inflasjon er en amplitude A en helnings-parameter (tilt) ns, som bør være nær 1 Ved å tilpasse en rett linje til (log-)spekteret for l mindre enn 50, får vi et direkte estimat av A og ns! Mer eller mindre: log Cl = ns log (l / l0) + A

13 Rommets geometri fra første topp
Ifølge GR propagerer lys langs geodeter i rommet I flatt rom er dette rette linjer I åpne rom divergerer geodetene I lukkede rom konvergerer geodetene

14 Rommets geometri fra første topp
Horisont Avstand til siste spredningsflate Flatt Lukket Åpent Anta at vi kjenner: størrelsen til horisonten ved rekombinasjon Gitt av plasmaets egenskaper (trykk, tetthet etc.) avstanden til siste spredningsflate Gitt av universets ekspansjons-historie Universets geometri er da gitt ved horisontens vinkel-størrelse Første akustiske topp er en standard-målestokk for horisontens størrelse Hvis første topp ligger ved l ~220, så er universet flatt Hvis første topp ligger ved l > 220, så er universet åpent Hvis første topp ligger ved l < 220, så er universet lukket

15 Rommets geometri fra første topp
Lav tetthet Høy tetthet

16 Baryon-tettheten fra øvrige topper
Baryon-tettheten kan måles svært nøyaktig fra høyere-ordens topper Idé: Mer baryoner innbærer tyngre lodd Loddet faller dypere Hvis det er lite baryoner, så påvirker de ikke gravitasjons-potensialet Symmetriske oscillasjoner omkring likevekts-tilstand Hvis det er mye baryoner, så øker de potensialet ved kompresjoner Kompresjoner sterkere enn dekompresjoner Men power spekteret bryr seg ikke om tegn!  Første og tredje topp sterkere enn andre og fjerde!

17 Baryoner fra øvrige topper
Mye baryoner Lite baryoner

18 Eksponentiell dempning ved høye l’er
Høye l’er tilsvarer fysisk ”veldig små” skalaer De opprinnelige fluktuasjonene fra inflasjon blir vasket ut av foton-diffusjon Power spekteret dempes eksponentielt med l Den nøyaktige dempnings-raten avhenger av alle kosmologiske parametere

19 Eksponentiell dempning ved høye l’er
Høye l’er tilsvarer fysisk ”veldig små” skalaer De opprinnelige fluktuasjonene fra inflasjon blir vasket ut av foton-diffusjon Power spekteret dempes eksponentielt med l Den nøyaktige dempnings-raten avhenger av alle kosmologiske parametere Eksempel: Høy baryon-tetthet  kort fri veilengde for fotoner  mindre diffusjon Høy-l-spekteret gir oss en konsistens-sjekk på andre parameter-estimater

20 Oppsummering av hoved-effekter
Den kosmiske bakgrunns-strålingen ble dannet da temperaturen i universet falt under 3000° K, omtrent 380,000 år etter Big Bang Gass-dynamikken på den tiden bestemmer egenskapene til CMB-fluktuasjonene Hoved-effekter som påvirker CMB-spekteret: Inflasjon  amplitude og tilt til første fluktuasjoner Gravitasjon vs. strålingstrykk  lyd-bølger  akustiske topper Høy baryon-tetthet  tungt lodd i bølgene  sterke kompresjoner  odde topper sterkere enn partall-topper Foton-diffusjon på små skalaer  eksponentiell dempning på høye l’er Mange andre effekter også, men generelt mer komplisert og mindre intuitive... Poeng: Koder som CAMB kan benytter slik informasjon til å beregne power spekteret for gitte kosmologiske parametere Vi kan gjøre parameter-estimering ved å tilpasse CAMB-kurver til observasjoner!

21 Parameter-estimering og Markov Chain Monte Carlo

22 Målinger av CMB-spekteret
Hvordan finne de parameterne og modellen som best beskriver dataene?

23 Eksempel: Lineær modell
Start med en enkel modell: d er obsverte data a og b er parametere vi ønsker å estimere  er Gaussisk støy med null gjennomsnitt, og 2 varians d = a x + b Modell: a = 1 b = 2  = 3

24 Eksempel: Lineær modell
Vanlig kriterium for ”best-fit” – justér de frie parameterne slik at kvadrat-avviket blir minimalisert: Dette garanterer at ingen observerte punkter blir liggende altfor langt borte fra den tilpassede funksjonen, dersom modellen er korrekt Løsning finnes ved å derivere 2 med hensyn på a og b, og løse systemet: Modell: a = 1 b = 2  = 3 Estimat: a = 0.76 b = 3.62

25 Generelt: Maximum likelihood
-tilpasning er et spesial-tilfelle av maximum-likelihood-estimering Likelihooden er generelt definert som funksjonen der de frie parameterne er , mens dataene d holdes fast Eksempel: Sannsynlighets-distribusjonen for en gaussisk variabel er Siden logaritmen er en monotont økende funksjon, så er maximum-likelihood-løsningen er gitt ved

26 Posterior-distribusjonen
Vi er ikke bare interessert i de mest sannsynlige parameter-verdiene, men også usikkerhetene i disse. Mer generelt, vi er interessert i (posterior-) distribusjonen Posterior-distribusjon = = ”Sannsynlighets-fordelingen for parametere gitt data” Likelihood = = ”Fordeling for data gitt parametere” Kjenner vi posterioren, vet vi alt som dataene forteller oss om parameterne Best-fit parametere = maksimum posterior Usikkerheter = 68% konfidens intervaller

27 Bayes’ teorem Hvordan beregne posterior-distribusjonen?
Bayes’ teorem sier at Posterior = Hva vet vi om parameterne etter eksperimentet? Likelihood = Hva sier de nåværende dataene om parameterne? Prior = Hva trodde vi om parameterne før vi gjorde eksperimentet? Evidens = Hvor godt passer dataene til modellen, integrert over parametere? (Merk: Avhenger ikke av de frie parameterne!) Dette gir den numeriske oppskriften på hvordan beregne posterioren Men hvordan beregne den algoritmisk? Likelihood Prior Posterior-distribusjonen Evidens

28 Metode 1: Grid-beregning
Hvis antall parametere er mindre eller lik fire: Beregn et grid Gir en regulær funksjon som er enkel å jobbe med Svært enkel ”algoritme” Problem: Antall grid-punkter øker eksponentielt med antall parametere! Eksempel: 100 punkter i to parametere = 1002 = 10,000 evalueringer Eksempel: 100 punkter i seks parametere = 1006 = 100 milliarder evalueringer!

29 Metode 2: Sampling Anta at det er mulig å trekke samples fra
I så fall, produser f.eks. 100,000 samples, og lag et histogram! Dette histogrammet konvergerer mot med antall samples Fordel: Mesteparten av beregnings-kostnadene tilbringes nær toppen til distribusjonen. Men hvordan trekker man fra kompliserte, ikke-standard distribusjoner?

30 Sampling ved Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
MCMC = en veldig enkel metode for å sample fra vilkårlinge distribusjoner Metropolis-algoritmen: Velg en overgangs-regel fra ett punkt til et annet Eks: i+1 = i + N(0,2) Velg et start-punkt Foreslå et nytt punkt ifølge regel Flytt til foreslått punkt med sannsynlighet Iterér 3 and 4

31 CosmoMC Dagens kosmologiske standard-sampler heter CosmoMC, skrevet av Antony Lewis Denne koden består av flere deler: En Metropolis-sampler som beskrevet på forrige slide Brukeren velger hvilke kosmologiske parametere som skal inkluderes Overgangsregelen er en multivariat Gaussisk distribusjon CAMB Oversetter foreslåtte kosmologiske parametere til spektrum Likelihood-koder produsert av forskjellige eksperimentelle grupper CMB-data: WMAP, BOOMERanG, Acbar, CBI... Stor-skala-strukturer: 2dF, SDSS Priors fra andre eksperimenter, som Hubble-konstanten, universets alder etc. Etter typisk ett døgns kjøre-tid på ~8 prosessorer får man ut posterior-distribusjonen for de gitte parameterne og data-settene

32 Eksempel: Amplitude og tilt fra CosmoMC
Kjøring av CosmoMC med WMAP-data alene, med standard seks-parameter-modell, {Ωb, Ωcdm, h, ns, A, } Kjede for 1000 {ns, A} –samples Distribusjonen fås ved å lage et 2D histogram fra disse Marginale distribusjoner for ns og A individuelt fås ved å lage 1D histogrammer fra de samme samplene.

33 Oppsummering Kosmologiske parametere påvirker CMB-power spekteret
Ved å tilpasse CAMB-type spektra til observerte data, kan vi rekonstruere disse parameterne Målet for analysen er sannsynlighets-distribusjonen Dette kalles posterior-distribusjonen Posterioren er gitt ved Bayes’ teorem, For å kartlegge denne funksjonen bruker man i dag Markov Chain Monte Carlo-metoder Den mest brukte koden innen kosmologi i dag er CosmoMC