Operasjonsanalytiske emner

Presentasjon om: "Operasjonsanalytiske emner"— Utskrift av presentasjonen:

1 Operasjonsanalytiske emner
Del 23 Forecasting 3 - Metoder Prognosemodeller basert på Tidsserieanalyse BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

2 Forskjellige prediksjonsmodeller
Data Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesong Stasjonære data Konstant nivå med tilfeldige variasjoner Glidende gjennomsnitt Veid glidende gjennomsnitt Eksponensiell glatting Sesong Konstant nivå med sykliske variasjoner Eksponensiell glatting / additiv sesong Eksponensiell glatting / multiplikativ sesong Trend Langsiktig generell endring i nivå Dobbelt glidende gjennomsnitt Holt’s metode (dobbel eksponensiell glatting) Trend & Sesong Holt-Winter med additiv sesong Holt-Winter med multiplikativ sesong BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

3 Alternative modeller Pegel’s klassifikasjon Trend Sesongkomponent
Ingen Additiv Multiplikativ A-1 A-2 A-3 B-1 B-2 B-3 C-1 C-2 C-3 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

4 Holt-Winter og endringer
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

5 Tidsserier og REGRESJON
Data Modeller som IKKE tillater skift i nivå/trend/sesong Trend Langsiktig generell endring i nivå Lineær trend Kvadratisk trend Trend & Sesong Langsiktig generell endring i nivå og repeterte variasjoner rundt trendlinjen Trend (lineær eller kvadratisk), additiv eller multiplikativ sesongjustering. Regresjon med trend (lineær eller kvadratisk) og additiv sesong BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

6 Ekstrapoleringsmodeller
Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å predikere den framtidige utviklingen av den samme variabelen. Vi skal først ta for oss forskjellige ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære data. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

7 TIDSSERIE Variabel Yt Tid t Nå Periode 1 2 t-1 ….. t+1 t+2 Y1 Y2 Yt-1 Yt+1? Yt+2 ? OBSERVASJONSER PREDIKSJONER Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke å framskrive et datamønster for å lage prognoser for framtiden. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

8 Stasjonær data BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

9 KONSTANTMODELLEN Variabel Yt Lt Tid t Nå
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

10 KONSTANTMODELLEN Data-modell: Prognose-modell: Yt Lt Tid t
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

11 ANSLAG PÅ NIVÅ – Naiv metode
Yt Lt Tid t Prognose-modell: Bruker kun siste observasjon som anslag på nivået. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

12 ANSLAG PÅ NIVÅ – Glidende gjennomsnitt
Det finnes ingen generell metode for å bestemme n. Vi må forsøke med forskjellige verdier for n for å se hvilken som virker best. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

13 ANSLAG PÅ NIVÅ – Veid glidende gj.sn
Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere observasjoner likt : Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere observasjoner vektlegges forskjellig. Vi må bestemme verdier for n og alle wi BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

14 ANSLAG PÅ NIVÅ – eksponensiell glatting
Observert verdi: Nivå/Level: Forecast: Konstantmodellen: Vi antar et konstant nivå, og bruker det anslåtte nivået som prognose for kommende perioder. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

15 (A1) Ingen trend – Ingen sesong
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

16 (A1) Data fordelt rundt nivået
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

17 Lav glattingskonstant ( = 0,1)
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

18 Høy glattingskonstant ( = 0,9)
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

19 Idéen bak eksponensiell glatting
Prognose lik nivå (konstantmodellen) Nivåoppdatering Gjennomsnitt av data og prognose Forrige prognose korrigert for prognosefeil BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

20 Gamle data vektlegges minst
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

21 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Prognose-modell: Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste observasjon har størst vekt. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

22 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum av siste observasjon og forrige estimat. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

23 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet verdi, gitt siste observasjon. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

24 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

25 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men samme matematiske konklusjon! BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

26 Eksponensiell glatting
En lav glattingskonstant vektlegger nye observasjoner lite – glatter ut prognosen. En høy glattingskonstant vektlegger nye observasjoner mye – prognosen følger utviklingen i dataene. Tilpassingen i prognosene vil alltid ligge minst én periode bak utviklingen i dataene. Dilemma: Høy glattingskonstant tilpasser seg raskt endringer – men også tilfeldig støy. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

27 Adaptiv enkel eksponensiell glatting (ARRSES)
I enkel eksponensiell glatting er utjevningskonstanten  den samme i alle perioder. Adaptive Response Rate Single Exponential Smooting (ARRSES) lar  variere over tid.  justeres proporsjonalt med estimerte prediksjonsfeil. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

28 ARRSES BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

29 (A-1) Ingen trend – Ingen sesong
Level: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

30 (A-2) Uten trend - Additiv sesong
Level: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

31 (A-3) Uten trend - Multiplikativ sesong
Level: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

32 (B-1) Additiv trend - Ingen sesong
Level: Trend: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

33 (B-2) Additiv trend - Additiv sesong
Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

34 (B-3) Additiv trend - Multiplikativ sesong
Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

35 (C-1) Multiplikativ trend – Ingen sesong
Level: Trend: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

36 (C-2) Multiplikativ trend - Additiv sesong
Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

37 (C-3) Multiplikativ trend - Multiplikativ sesong
Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

38 Normalisering av sesongfaktorene
Sesongfaktorene bør normaliseres for å unngå systematiske prediksjonsfeil. Gjennomsnitt sesong: Vi beregner gjennomsnittet av de s siste sesongfaktorene. Dette gjennomsnittet bør være 1 for modeller med multiplikativ sesong, og 0 for additive. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

39 Normalisering av sesongfaktorene
Normalisering av additiv sesongmodell Sesonal: Normalisering av multiplikativ sesongmodell Sesonal: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

40 Normalisering av sesongfaktorene
Normaliseringen er en rekursiv prosedyre: Vi beregner først ”unormaliserte” sesongeffekter, for hele syklusen s. Så beregnes gjennomsnittet for syklusen. Vi normaliserer så de s siste sesongfaktorene. For neste periode beregnes et nytt gjennomsnitt, og ny normalisering foretas. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

41 Initialisering Oppdatering av nivå (L), trend (b) og sesong (S) refererer til forrige periode. Når tidsserien starter (t=1), har vi ingen tidligere verdier å bygge på. Vi må derfor estimere startverdier i periode 0 for nivå og trend. Sesongparametrene må estimeres for periode 0, -1, .., -(s-1). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

42 Initialisering – (B3) t V2 V1 -3 -2 -1 1 2 4 3 5 6 8 7 9 11 10
-1 1 2 4 3 5 6 8 7 9 11 10 Trendlinje/Nivå V1 V2 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

43 Startverdier Del datasettet i to:
En initialserie for å estimere startverdier En tilpasningsserie for å teste glattingsparametrene Hvis vi har N sykluser (år) med data, bruk de M første til initialserien. Beregn gjennomsnittet i første og siste syklus i initialserien: BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

44 Startverdier: Trend & Nivå
Startverdi trend Startverdi nivå Trend er endringen i gjennomsnittet, i forhold til antall sesonger mellom gjennomsnittene. Nivå er gjennomsnittet i første syklus, fratrukket trenden fram til tidspunkt 0. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

45 Startverdier (forts.) Trendlinjen Tilsynelatende sesongfaktorer
Initiale sesongfaktorer BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

46 Startverdier (forts.) Initial gjennomsnitt : Normalisering :
Initiale sesongfaktorer angis for syklusen før første datasett. En sesongfaktor er gjennomsnittet av hver tilsvarende sesong over alle syklusene i initialserien. Deretter normaliseres de. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

47 Oppdatering i initialserien
Etter å ha beregnet startverdier for nivå, trend og sesong; L0, b0 og S0,..,S-p+1 : Velg verdier på parametrene a, b, g. Oppdater for hver periode i initialserien verdiene for Lt, bt og St, og normaliser de s siste sesongfaktorene. Dette gjøres for alle periodene t = 1,..,sM. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

48 Prognoser i testserien
Lag énperiodiske prediksjoner i tilpassingsserien: Registrer prediksjonsfeilen: Oppdater nivå, trend og sesong; Lt, bt og St, og normaliser de s siste sesongfaktorene. Dette gjøres for alle periodene: t = sM+1,.., sN BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

49 Test av prognosene Beregn et feilmål for prediksjonsfeilene i tilpassingsserien: Velg et annet sett av a, b, g. Oppdater initialserien med de nye vektene. Lag prediksjoner og oppdater i tilpassingsserien. Beregn feilmålet for de nye vektene. Gjenta prosedyren fra trinn 2 inntil en oppnår akseptable prediksjonsfeil. (Alternativ: bruk Solver.) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

50 Betydningen av initialisering
Eksponensiell glatting legger minst vekt på gamle data. Et stort datasett betyr at gamle verdier/startverdiene har liten betydning. MEN: En lav utjevningskonstant reduserer denne effekten. Når utjevningskonstanten = 0 bygger prognosene KUN på startverdiene! BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

51 Momenter ved feilminimering
God tilpassing til historiske data gir ikke nødvendigvis gode prognoser for framtiden. Overtilpassing av historiske data medfører at stokastiske variasjoner er inkludert i modellen. Overtilpassing er en like stor feil som å feilestimere de systematiske mønstrene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

52 ”Optimale” startverdier
I steden for å benytte formler og estimere startverdier ut fra data i initialserien, kan startverdiene optimeres på samme måte som glattingskonstantene ,  og . Hvis optimale glattingskonstanter = 0, så vil startverdiene alene bestemme prognosene. For store ,  og  betyr startverdiene lite. (Idéen bak eksponensiell glatting.) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

53 ”Optimale” glattingskonstanter
Glattingskonstantene ,  og  blir vanligvis optimert for best mulig tilpassing i tilpassingsserien. Hvis optimale glattingskonstanter er små, vil prognosene i liten grad tilpasse seg endringer i dataserien. Det er gunstig hvis det grunnleggende datamønsteret er stabilt, og endringene bare tilfeldige. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

54 ”Manuelle” glattingskonstanter
Hvis det er grunn for å tro at de seneste endringene i datamønsteret er utslag av reelle endringer, bør glattingskonstantene være store. Store glattingskonstanter vil derved sørge for at prognosene reflekterer de seneste endringene i dataene. ”Optimale” glattingskonstanter fokuserer ensidig på historiske prognosefeil, og er ikke framtidsrettet. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

55 Sammenlignbare tester
Forskjellige prediksjonsmetoder bruker forskjellige prosedyrer i tilpassingsfasen. Eksponensiell glatting er avhengig av initialiseringsfasen. Dekomponeringsteknikker inkluderer trend/syklus i tilpassingsfasen som om den er kjent. Regresjon vektlegger alle observasjoner likt. Box-Jenkins metoder minimerer MSE vha. ikke-liniære optimeringsmetoder. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

56 Initialiseringsdata og Testdata
For å gjøre de forskjellige metodene sammenlignbare, deles dataene inn i tre: Initialiseringsdataene brukes til å beregne startverdier. Tilpassingsserien brukes til å finne gode glattingskonstanter, dvs. modellparametre. Blindtesten brukes til å estimere prediksjonsfeil for ”genuine” prognoser, dvs. data som ikke har vært brukt til å tilpasse prognosene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

57 Tilpassing til gamle data
Hvis vi bruker initialserien til å estimere startverdier og tilpassingsserien til å finne optimale modellparametre, og testserien kun til å sammenligne alternative modeller, da har vi tilpasset modellen til de eldste dataene, og valgt den modellen som så gir best tilpassing i tilpassingsserien. Vi antar at det estimerte mønsteret i tilpassingsserien er stabilt og gjelder også for blindtesten. Men er det fornuftig å anta at dette mønsteret også er stabilt i framtiden? BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

58 Tilpassning til nye data
Burde vi isteden latt modellene optimere glattingskonstantene for blindtesten, dvs. de siste observasjonene? Da velger vi den modellen som best beskriver de seneste dataene, uten å anta at mønsteret i dataene i initieringsfasen er stabilt. Vi får modeller som er bedre tilpasset de siste endringene. Men da mister vi muligheten til å foreta ”blindtester” av modellene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen

59 Overtilpassing Om vi tilpasser modellen bare til de seneste data, kan vi lett gå i fellen og overtilpasse modellen. Dvs. vi får en modell som veldig godt passer dataene i testserien, faktisk så godt at den også forklarer tilfeldige variasjoner. De tilfeldige variasjonene er ikke de samme i framtiden! BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen