Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Operasjonsanalytiske emner LP modeller for transportproblemer Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 5Transportmodeller Med variasjoner.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Operasjonsanalytiske emner LP modeller for transportproblemer Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 5Transportmodeller Med variasjoner."— Utskrift av presentasjonen:

1 Operasjonsanalytiske emner LP modeller for transportproblemer Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 5Transportmodeller Med variasjoner

2 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Transportmodeller representer problemer der en skal transportere f.eks. varer fra en kilde (lager, fabrikk, etc.) til et bestemmelsessted (f.eks. kunder). En vanlig måte å beskrive slike problemer er ved hjelp av nettverk. Et nettverk består av noder og greiner. Nodene angis med sirkler og representerer ofte ressurser og behov. Greiene angir mulige koblinger mellom nodene. Nettverket er en prinsippskisse, og angir for eksempel ikke geografiske proporsjoner. Innledning 2

3 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER3 Nettverk Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Tilbudsnoder Behovsnoder

4 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER4 Symboler lAntall tilbudsnoder kAntall kundenoder LMengden av tilbudsnoderL = {1,2, …,l} KMengden av kundenoderK = {l+1, …, l+k} GMengden av greinerG = {(L×K)} aiai Kapasitet hos kilde i i  {L} bjbj Behov hos kunde j j  {K} c f,t Enhetskostnad fra node f til node t (f,t)  {G} X f,t Antall enheter sendt av varen fra node f til node t (f,t)  {G} Parametere: Beslutningsvariabler: Rasmus Rasmussen

5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER5 MG Auto har tre fabrikker i Los Angeles, Detroit og New Orleans. De skal forsyne to distribusjonssentra i Denver og Miami. Eksempel på et transportproblem Transportkostnader DenverMiamiKapasitet Los Angeles80,-215,-1000 Detroit100,-108,-1500 New Orleans102,-68,-1200 Behov En ønsker å dekke behovet på billigste måte, samtidig som kapasitetene ikke må overskrides.

6 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER6 Nettverk Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Bilfabrikk Distribusjonssenter Los Angeles Detroit New Orleans a 1 = 1000 a 2 = 1500 a 3 = 1200 Denver b 4 = 2300 Miami b 5 = 1400 c 1,4 = 80,- c 1,5 = 215,- c 2,4 = 100,- c 2,5 = 108,- c 3,4 = 102,- c 3,5 = 68,- X 1,4 = ? Hvor mye skal transporteres fra de ulike bilfabrikkene til de ulike distribusjonssentraene, slik at kostnadene blir minst mulig?

7 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER7 Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av pris∙mengde (c f,t ∙X f,t ) for alle greiner i nettverket. Min Z= 80 X 1, X 1, X 2, X 2, X 3, X 3,5 Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen Merk at minimering av kostnader forutsetter at inntektene ikke påvirkes av beslutningene. For å unngå den trivielle null-løsningen (ikke transportere noe), så må en dessuten anta at leveringsrestriksjonene enten er «=» eller «  ».

8 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER8 Matematisk formulering Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (f  L) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, må minst dekke behovet noden har, b j. Kravet gjelder for alle behovsnoder (j  K). Denver: X 14 + X 24 + X 34 ≥ 2300Sum leveranser til node 4 Miami: X 15 + X 25 + X 35 ≥ 1400Sum leveranser til node 5 Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen

9 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER9 Matematisk formulering Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (t  K) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (i  L). Alternativ formulering: Los Angeles:X 14 + X 15 ≤ 1000Sum levert fra node 1 Detroit:X 24 + X 25 ≤ 1500Sum levert fra node 2 New Orleans:X 34 + X 35 ≤ 1200Sum levert fra node 3 Ikke-negativitetsbetingelsene: X f,t ≥ 0 for alle (f,t)  G Rasmus Rasmussen

10 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER10 LP-formulering på tabellform NodeX 1,4 X 1,5 X 2,4 X 2,5 X 3,4 X 3,5 RHS Obj Min 111≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 1400 X 1,4 X 1,5 X 2,4 X 2,5 X 3,4 X 3,5 ≥ 0 Rasmus Rasmussen

11 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER11 Regneark med layout lik LP modell Samme formel kopieres til alle restriksjonene Her er regnearket organisert med lay-out identisk LP-modellen. Linje 3 angir verdien til beslutningsvariablene (kolonne C:H) Linje 4 angir koeffisientene i målfunksjonen (objective) Linje 5:7 angir restriksjonene for node 1-3 (fabrikker) Linje 8:9 gir det restriksjonene for node 4-5 (distribusjonslager) Kolonne I angir venstresiden av restriksjonene, samt totalverdien av målfunksjonen. Kolonne K angir høyresiden av restriksjonene. CelleFormelKopieres til I4=SUMPRODUCT($C$3:$H$3;C4:H4)I5:I9

12 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER12 Regneark organisert rundt dataene Her er tabellen med data kopiert for å gi plass til beslutningsvariablene, restriksjonene, og målfunksjonen. CelleFormelKopieres til E11=SUM(C11:D11)E12:E13 E14=SUMPRODUCT(C4:D6;C11:D13)- C14=SUM(C11:C13)D14

13 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER13 Om vi ser på vår figur, kan vi oppsummere følgende: Vi har en beslutningsvariabel for hver grein (X ft ) Vi har en restriksjon for hver node; kapasitetsrestriksjoner for alle lagernoder behovsrestriksjoner for alle kundenoder En effektiv måte å organisere regnearket er derfor å lage to tabeller: greinene En tabell for beslutningsvariablene (greinene) nodene En tabell for restriksjonene (nodene) Kjennetegn ved nettverk

14 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER14 Regneark organisert som nettverk CelleFormelKopieres til F9=SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8)- J3=SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8)J4:J5 J7=SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8)J8 B3 =INDEX($I$3:$I$8;MATCH(C3;$H$3:$H$8;0)) &" -> " &INDEX($I$3:$I$8;MATCH(D3;$H$3:$H$8;0)) B4:B8 En tabell for greineneEn tabell for nodene

15 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER15 # DEFINERE INDEKSER/DIMENSJON set L;#mengdenavn for lager/produsenter set K;#mengdenavn for kunder/distribusjonssentra set G=(L cross K);#mengdenavn for greiner # DEFINERE PARAMETRE param a{L}>=0;#a - lagerkapasitet hos lager L (produsenter) param b{K}>=0;#b - behov hos kunde K (distribusjonssentra) param c{G}>=0;#c - transportkostnad langs greinene # DEFINERE VARIABLER var X{G}>=0;#X - transportkvanta langs greinene # DEFINERE MÅLFUNKSJONEN minimize Kost: sum {(a,b) in G} c[a,b] * X[a,b];# Sum kostnader langs alle greinene # DEFINERE RESTRIKSJONENE subject to Kbehv {j in K}:# For alle kunder j: sum {i in L} X[i,j] >= b[j];# Sum mottatt fra alle lager i = behovet subject to Lkap {i in L}:# For alle lager i: sum {j in J} X[i,j]<= a[i];# Sum levert til alle kunder j <= kapasiteten Transportmodell – AMPL formulering

16 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER16 Når totalt tilbud er lik total etterspørsel, har vi en balansert transportmodell. Restriksjonene kan da være på likhetsform (=). Hvis totalt tilbud overstiger total etterspørsel, vil det alltid finnes en mulig løsning. Vi vil da ikke benytte full kapasitet i tilbudsnodene. Vi kan da la etterspørselsnoder ha restriksjoner på formen ≥. Hvis totalt tilbud er mindre enn total etterspørsel, har vi et uløselig problem, om målfunksjonen er minimering. Balansering av nettverksmodeller

17 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER17 Om totalt tilbud ikke kan dekke total etterspørsel, må vi innføre restordrer, hvis målfunksjonen er minimering. For maksimeringsproblem bestemmes restordrer automatisk, vi leverer ikke til de minst lønnsomme kundene. Minimeringsproblemer må løses i to trinn: Først minimeres totalt antall restordrer. Så minimeres kostnadene, men slik at totalt antall restordrer ikke overstiger minimum restordrer totalt. Restordrer

18 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER18 MG Auto har tre fabrikker i Los Angeles, Detroit og New Orleans. De skal forsyne to distribusjonssentra i Denver og Miami. Eksempel på underkapasitet Transportkostnader DenverMiamiKapasitet Los Angeles80,-215,-1000 Detroit100,-108,-1300 New Orleans102,-68,-1200 Behov En ønsker å dekke mest mulig av behovet på billigste måte, samtidig som kapasitetene ikke må overskrides.

19 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER19 Trinn 1 – Minimere restordrer Målfunksjon: Minimer mengde restordrer totalt for alle kunder (j  K). Min W = R4R4 + R 5 Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen Variabelen R j angir altså restordrer til kunde j. Om restordrer er «gratis», så vil all etterspørsel bli restordrer. For å unngå en slik null-løsning må vi sette som betingelse at sum leveranser + restordrer minst tilsvarer etterspørselen, for hver kunde.

20 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER20 Trinn 1 – Minimere restordrer Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (f  L) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, pluss restordrer, må minst dekke behovet noden har, b j. Kravet gjelder for alle behovsnoder (j  K). Denver: X 14 + X 24 + X 34 + R 4 ≥ 2300Sum leveranser til node 4, inklusive restordrer Miami: X 15 + X 25 + X 35 + R 5 ≥ 1400Sum leveranser til node 5, inklusive restordrer Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen

21 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER21 Trinn 1 – Minimere restordrer Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (t  K) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (i  L). Alternativ formulering: Los Angeles:X 14 + X 15 ≤ 1000Sum levert fra node 1 Detroit:X 24 + X 25 ≤ 1300Sum levert fra node 2 New Orleans:X 34 + X 35 ≤ 1200Sum levert fra node 3 Ikke-negativitetsbetingelsene: X f,t ≥ 0 for alle (f,t)  G, og R j ≥ 0 for alle j  K. Rasmus Rasmussen

22 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER22 I trinn 1 har vi funnet den løsning som dekker mest mulig av behovet, dvs. vi har funnet minimum mengde restordrer. Kall optimal verdi på målfunksjonen W*. Men vi har så langt ignorert kostnadene. Den løsningen vi har funnet i trinn 1 kan altså være en løsning som gir svært høye kostnader, og det er mulig at det finnes løsninger med lavere kostnad som har samme mengde restordrer. I trinn 2 skal vi derfor forsøke å finne alternative løsninger med samme total mengde restordrer W*, men som har en lavere kostnad. Trinn 2 – Minimere kostnader

23 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER23 Trinn 2 – Minimere kostnader Målfunksjon: Minimer totalsummen av pris∙mengde (c f,t ∙X f,t ) for alle greiner i nettverket. Min Z = 80 X 1, X 1, X 2, X 2, X 3, X 3,5 Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen Merk at minimering av kostnader forutsetter at inntektene ikke påvirkes av beslutningene. For å unngå den trivielle null-løsningen (ikke transportere noe), så må en dessuten anta at leveringsrestriksjonene enten er «=» eller «  ».

24 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER24 Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum mengde levert fra alle tilbudsnoder (f  L) til en behovsnode (j), dvs. sum mengde varer en behovsnode mottar, pluss restordrer, må minst dekke behovet noden har, b j. Kravet gjelder for alle behovsnoder (j  K). Denver: X 14 + X 24 + X 34 + R 4 ≥ 2300Sum leveranser til node 4, inklusive restordrer Miami: X 15 + X 25 + X 35 + R 5 ≥ 1400Sum leveranser til node 5, inklusive restordrer Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen

25 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER25 Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum leveranser fra en tilbudsnode (i) til alle behovsnoder (t  K) kan ikke overstige tilbudsnodens kapasitet. Dette kravet må gjelde for alle tilbudsnoder (i  L). Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen Los Angeles:X 14 + X 15 ≤ 1000Sum levert fra node 1 Detroit:X 24 + X 25 ≤ 1300Sum levert fra node 2 New Orleans:X 34 + X 35 ≤ 1200Sum levert fra node 3

26 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER26 Trinn 2 – Minimere kostnader Restriksjoner: Sum restordrer må være mindre eller lik minimum sum restordrer totalt. Alternativ formulering: Ikke-negativitetsbetingelsene: X f,t ≥ 0 for alle (f,t)  G, og R j ≥ 0 for alle j  K. Rasmus Rasmussen R4R4 + R 5 ≤ W* Sum restordrer til node 4 og node 5

27 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER27 Trinn 1 – Minimere restordrer CelleFormelKopieres til F9=SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8)- J3=SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8)J4:J5 J7=SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8)J8 K9=SUM(K7:K8)- L7=J7+K7L8

28 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER28 Trinn 2 – Minimere kostnader CelleFormelKopieres til F9=SUMPRODUCT(E3:E8;F3:F8)- J3=SUMIF($C$3:$C$8;H3;$E$3:$E$8)J4:J5 J7=SUMIF($D$3:$D$8;H7;$E$3:$E$8)J8 K9=SUM(K7:K8)- L7=J7+K7L8

29 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER29 Generelt sett er det umulig på forhånd å bestemme om en nettverksmodell har en balansert løsning. Det kan f.eks. skyldes at total kapasitet deles på flere ulike produkter, og en kan derfor ikke på forhånd vite hvor mye kapasitet som er tilgjengelig for de ulike produktgruppene. Det kan også skyldes svinn underveis langs greinene (f.eks. transport av gass i en rørledning), og det er umulig å vite hvor stort svinnet er før en vet hvordan transporten skal foregå. Hvis en modell ikke lar seg løse uten restordrer må en altså i ettertid modifisere modellen og løse den i to trinn. Ubalanserte nettverksmodeller

30 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER30 Boralis produserer ryggsekker, og bruker deltids- ansatte for å tilpasse produksjonen til sesong- etterspørselen. Transport over tid (lager) MånedMarsAprilMaiJuni Etterspørsel Kapasitet Variable produksjonskostnader er kr. 40,- pr. sekk. 2.Lagerkostnader er kr. 0,50 pr. sekk pr. måned. 3.Etterleveringskostnader er kr. 2,- pr. sekk pr. måned.

31 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER31 Nettverk – Transport over tid (lager) IB lager Pro- duksjon Tilgang Salg Etter- spørsel U- dekket IB lager Pro- duksjon Tilgang Salg Etter- spørsel U- dekket IB lager Pro- duksjon Tilgang Salg Etter- spørsel U- dekket IB lager Pro- duksjon Tilgang Salg Etter- spørsel U- dekket MarsAprilMaiJuni

32 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER32 Symboler EtEt Etterspørsel i periode t KtKt Produksjonskapasitet i periode t cEnhetskostnad pr. produsert enhet lLagerkostnad pr. enhet pr. periode bEtterleveringskostnad pr. enhet pr. periode IBX t Inngående lagerbeholdning periode t UBX t Utgående lagerbeholdning periode t IBE t Inngående udekket etterspørsel periode t UBE t Utgående udekket etterspørsel periode t XtXt Antall enheter produsert i periode t StSt Antall enheter solgt i periode t Parametere: Beslutningsvariabler: Rasmus Rasmussen

33 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER33 Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av produksjonskostnader, lagerkostnader og etterleveringskostnader i hele planperioden. Min Z =40 X X X X 6 + 0,5 UBX 3 + 0,5 UBX 4 + 0,5 UBX 5 + 0,5 UBX UBE UBE UBE UBE 6 Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen Antar at lager- og etterleveringskostnader er forbundet med overførsel fra en periode til neste. (Kunne også bruk gjennomsnittslager, e.l.)

34 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER34 Matematisk formulering Restriksjoner: Produsert mengde må være mindre eller lik kapasiteten. Kravet gjelder i alle perioder. Mars X 3 ≤ 50Produksjon mars April X 4 ≤ 180Produksjon april Mai X 5 ≤ 280Produksjon mai Juni X 6 ≤ 270Produksjon juni Rasmus Rasmussen IB lager + produksjon – salg = UB lager UB lager forrige periode = IB lager inneværende periode Merk at når produksjon og salg er fastsatt, så er størrelsen på lageret entydig definert. Disse likhetsrestriksjonene som definerer lager kan i regnearket derfor angis som formler, istedenfor å angi de som beslutningsvariabler.

35 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER35 Matematisk formulering Restriksjoner: Rasmus Rasmussen IB udekket etterspørsel + ny etterspørsel – salg = UB udekket etterspørsel UB udekket etterspørsel forrige periode = IB udekket etterspørsel inneværende periode Vi må også ha restriksjoner som sikrer at salget ikke overstiger lageret, og at salget ikke overstiger etterspørselen. Dette kan vi ta hensyn til ved å kreve at UB lager skal være ikke-negativ (da forhindrer vi at salget overstiger IB lager + produksjon), og ved å kreve at UB udekket etterspørsel skal være ikke-negativ (da forhindrer vi at salget overstiger IB udekket etterspørsel + ny etterspørsel). Ikke-negativitetsbetingelsene: X t, S t, UBX t, UBE t ≥ 0 for alle t.

36 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER36 Matematisk formulering Restriksjoner: Rasmus Rasmussen UB udekket etterspørsel ved utgangen av planperioden = sum etterspørsel – sum produksjonskapasitet, hvis dette er større enn 0, ellers 0. Denne restriksjonen er bare nødvendig ved minimeringsproblem, for å forhindre null-løsningen. Denne betingelsen sikrer at så mye som mulig av etterspørselen dekkes. Ved maksimeringsproblem er denne betingelsen overflødig, modellen vil da automatisk dekke så mye av etterspørselen som det er lønnsomt å dekke.

37 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER37 Lagermodell løst i regneark CelleFormelKopieres til D3=C6E3:F3 C6=C3+C4-C5D6:F6 D7=C9E7:F7 C9=C7+C8-C5D9:F9 CelleFormelKopieres til C12=$A$12*C4D12:F12 C13=$A$13*C3D13:F13 C14=$A$14*C9D14:F14 CelleFormel F15=SUM(C12:F14) F11=MAX(SUM(C8:F8)-SUM(C10:F10);0)

38 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER38 Arkansas Pacific driver et sagbruk. Sagbladene slites avhengig av type tømmer og mengde som sages. Daglig behov for nyslipte sagblad er som følger: Transport over tid (verktøykapasitet) UkedagMandagTirsdagOnsdagTorsdagFredagLørdagSøndag Behov Behovet kan dekkes på fire ulike måter: 1.Kjøpe nye blad til en kostnad av kr. 12,- pr. stk. 2.Sliping over natten, kr. 6,- pr. stk. 3.Sliping neste dag, kr. 5,- pr. stk. 4.Sliping over to dager, kr. 3,- pr. stk.

39 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER39 Oversikt i regneark

40 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER40 Symboler cncn Enhetskostnad for nye sagblad coco Enhetskostnad for slipte blad over natten c1c1 Enhetskostnad for slipte blad over 1 dag c2c2 Enhetskostnad for slipte blad over 2 dager BtBt Behov for sagblad dag t KtKt Kapasitet, tilgjengelige nyslipte sagblad dag t StSt Avgang, til sliping etter dag t RtRt Totalt antall sagblad innkjøpt, inkludert dag t XN t Antall nye sagblad innkjøpt dag t (morgen) XO t Antall sagblad levert til sliping over natten, dag t (kveld) X1 t Antall sagblad levert til sliping over en dag, dag t (kveld) X2 t Antall sagblad levert til sliping over to dager, dag t (kveld) Parametere: Beslutningsvariabler: Rasmus Rasmussen

41 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER41 Matematisk formulering Målfunksjon: Minimer totalsummen av nye sagblad og sliping av gamle sagblad i hele perioden. Min Z =12 XN XN XN XN 4 …+ 12 XN T + 6 XO XO XO XO 4 …+ 6 XO T + 5 X X X X1 4 …+ 5 X1 T + 3 X X X X2 4 …+ 3 X2 T Alternativ formulering: Rasmus Rasmussen

42 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER42 Matematisk formulering Restriksjoner: Tilgjengelige sagblad er nye blad, blad til sliping over natten fra dagen før, til sliping over en dag fra to dager før, og blad til sliping over to dager fra tre dager før. K 1 = XN 1 K 2 = XN 2 + XO 1 K 3 = XN 3 + XO 2 + X1 1 K 4 = XN 4 + XO 3 + X1 2 + X2 1 Rasmus Rasmussen Antall tilgjengelige sagblad må minst dekke behovet K 5 = XN 5 + XO 4 + X1 3 + X2 2 K 6 = XN 6 + XO 5 + X1 4 + X2 3 ::: K 1  24Mandag K 2  12Tirsdag K 3  14Onsdag K 4  20Torsdag K 5  18Fredag K 6  14Lørdag K 7  22Søndag K 8  24Mandag

43 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER43 Matematisk formulering Restriksjoner: Sagblad til sliping er blad til sliping over natten; blad til sliping over en dag, fra i dag og i går; og blad til sliping over to dager, fra de tre siste dager. S 1 = XO 1 + X1 1 + X2 1 S 2 = XO 2 + X1 2 + X1 1 + X2 2 + X2 1 S 3 = XO 3 + X1 3 + X1 2 + X2 3 + X2 2 + X2 1 S 4 = XO 4 + X1 4 + X1 3 + X2 4 + X2 3 + X2 2 Rasmus Rasmussen Antall innkjøpte sagblad fram til tidspunkt t S 5 = XO 5 + X1 5 + X1 4 + X2 5 + X2 4 + X2 3 ::: R 1 = XN 1 R 2 = XN 1 + XN 2 R 3 = XN 1 + XN 2 + XN 3 :::

44 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER44 Matematisk formulering Restriksjoner: Antall sagblad til sliping kan ikke overstige antall sagblad innkjøpt totalt. Rasmus Rasmussen Ikke-negativitetsbetingelsene: XN t, XO t, X1 t, X2 t ≥ 0 for alle t

45 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER45 LP modell for sagbladbehov

46 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER46 Merk at løsningen er avhengig av formuleringen. Ved kostnadsminimering vil en ende opp med minst mulig kapasitet ved enden av tidshorisonten. Av løsningen ser vi at oppstartsuken er kostbar, da må alle nyinnkjøp foretas. Vi ser også at siste uke (før nedleggelse) er svært rimelig, da lar vi være å slipe sagblad som vi ikke lenger skal bruke. Tidshorisont

47 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER47 En modell for bare en uke (oppstart) vil ikke være representativ for normal drift. Om det ikke legges til restriksjoner for å sikre framtidig kapasitet, vil en måtte gjenta oppstartuken hver gang, eller legge ned etter en uke. Om en legger inn restriksjoner som sikrer kapasitet neste arbeidsdag (mandag), så vil det ikke ta fullt hensyn til de påfølgende dagene. Kort tidshorisont

48 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER48 Drift i kun en uke

49 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER49 En ukes drift, klargjort for neste

50 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER50 I tilordningsproblemer skal en f.eks. fordele hjelpemidler på oppgaver som skal løses. Hjelpemidlene/fasilitetene kan bare utføre én oppgave, og kan ikke deles. Et eksempel kan være å fordele fotballdommere på neste serierunde – hver dommer kan bare dømme en kamp. Reisekostnadene vil avhenge av hvor dommerne bor og hvor kampene spilles. Tilordningsproblemet

51 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER51 Anta at vi har minst like mange hjelpemiddel som oppdrag/oppgaver. La j = 1, 2,..., n betegne hjelpemidlene La k = 1, 2,..., m betegne oppgavene La c jk betegne kostnaden ved å tilordne hjelpemiddel j til oppdrag k. Tilordningsproblemet

52 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER52 Modell for tilordningsproblemet Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max 1 oppdrag for hvert hjelpemiddel. Hvert oppdrag får tildelt ett hjelpemiddel.

53 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER53 Joe Klyne har tre barn som ønsker å tjene lommepenger. De har kommet med hemmelige bud på hva de mener er rettferdig betaling for følgende jobber: Barnearbeid hjemme Faren ønsker å tildele jobbene slik at totale kostnader blir minimert. Klippe plenMale husVaske biler John15,-10,-9,- Karen9,-15,-10,- Terri10,-12,-8,-

54 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER54 Tilordningsproblem løst i regneark

55 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER55 Anta at vi har flere oppdrag enn hjelpemiddel. Dvs. m > n. Det betyr at vi får m - n uløste oppdrag. La: Ubalansert tilordningsproblem

56 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER56 Modell for ubalansert tilordning Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max 1 oppdrag for hvert hjelpemiddel. Hvert oppdrag tildeles ett hjelpemiddel eller er udekket. Totalt udekkede oppdrag kan ikke overstige max(m – n;0)

57 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER57 Anta at innenfor tidshorisonten så kan hjelpemiddel j brukes på et gitt antall oppgaver A j. For en balansert modell må vi ha at: Generalized Assignment Problem (GAP)

58 Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER58 GAP for ubalansert tilordning Minimere totale tilordningskostnader for alle hjelpemiddel og oppdrag. Max A j oppdrag for hjelpemiddel j. Hvert oppdrag tildeles ett hjelpemiddel eller er udekket. Totalt udekkede oppdrag kan ikke overstige


Laste ned ppt "Operasjonsanalytiske emner LP modeller for transportproblemer Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 5Transportmodeller Med variasjoner."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google