Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering."— Utskrift av presentasjonen:

1 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering

2 LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Fem avdelinger (a, b, c, d, e) vurderes å flytte ut av London, for å spare kostnader. Ingen by (London inkludert), kan ha mer enn 3 avdelinger lokalisert hos seg. Det påløper imidlertid en del kostnader ved at hver avdeling kommuniserer en del med hverandre. Kostnadene ved kommunikasjon er relatert til avstandene mellom avdelingene, avhengig av hvor de er lokalisert. Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Avd. 1 Avd. 2 : : Bristol Brighton London Avd. 5

3 LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Årlige besparelser ved å flytte til Bristol eller Brighton er som følger : Mengden av kommunikasjon pr. år mellom avdelingene er som følger: Enhetskostnadene ved kommunikasjon er:

4 LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Vi skal altså plassere hver av de 5 avdelingene i en av de 3 byene, slik at netto kostnadsbesparelser blir størst mulig. Vi skal altså plassere hver av de 5 avdelingene i en av de 3 byene, slik at netto kostnadsbesparelser blir størst mulig. La oss starte med kommunikasjonen mellom de 5 avdelingene. Kall denne matrisen for B = {b ij }, og la oss benytte tallene for å angi avdelingene a – d. Da vil for eksempel b 13 angi kommunikasjonen mellom avdeling a og c, som er anslått til 1,0 pr. år. Matrisen B er vanligvis symmetrisk, b 13 = b 31, dvs. kommunikasjonen mellom avdeling a og c er den samme som mellom avdeling c og a. Mengden av kommunikasjon mellom avdelingene er antatt å være uavhengig av hvor avdelingene lokaliseres. Diagonalen i matrisen B er blank (0), og angir at kommunikasjonen innad i en avdeling ikke påvirker kostnadene. La oss starte med kommunikasjonen mellom de 5 avdelingene. Kall denne matrisen for B = {b ij }, og la oss benytte tallene for å angi avdelingene a – d. Da vil for eksempel b 13 angi kommunikasjonen mellom avdeling a og c, som er anslått til 1,0 pr. år. Matrisen B er vanligvis symmetrisk, b 13 = b 31, dvs. kommunikasjonen mellom avdeling a og c er den samme som mellom avdeling c og a. Mengden av kommunikasjon mellom avdelingene er antatt å være uavhengig av hvor avdelingene lokaliseres. Diagonalen i matrisen B er blank (0), og angir at kommunikasjonen innad i en avdeling ikke påvirker kostnadene. Enhetskostnadene ved kommunikasjon er relatert til avstandene, kall denne kostnadsmatrisen mellom byene for A = {a kl }, og benevn de 3 byene a, b og c. Da vil a ac = 13, og angi enhetskostnaden for kommunikasjon mellom Bristol og London. Merk at denne enhetskostnaden også er definert for diagonalen, og angir enhetskostnadene for ulike avdelinger lokalisert i samme by. Denne matrisen er selvfølgelig symmetrisk. Enhetskostnadene ved kommunikasjon er relatert til avstandene, kall denne kostnadsmatrisen mellom byene for A = {a kl }, og benevn de 3 byene a, b og c. Da vil a ac = 13, og angi enhetskostnaden for kommunikasjon mellom Bristol og London. Merk at denne enhetskostnaden også er definert for diagonalen, og angir enhetskostnadene for ulike avdelinger lokalisert i samme by. Denne matrisen er selvfølgelig symmetrisk.

5 LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering For kvadratiske tilordningsproblem har vi altså i det generelle tilfellet en vanligvis symmetrisk matrise B [m×m] av interaksjoner mellom fasilitetene i og j, med totalt m fasiliteter. I tillegg har vi en symmetrisk matrise A [n×n] av avstander/enhetskostnader mellom områder k og l, med totalt n områder. La i, j  {1, …,m} være indekser for fasilitetene, og k, l  {1, …,n} være indekser for områdene. Definer også matrisen U [m×n] som u ik = 1 hvis fasilitet i lokaliseres i område k; ellers u ik = 0. U ik er altså en binærvariabel som angir hvor avdelingene lokaliseres. Hvis et par {i,j} av fasiliteter tilordnes områdene {k,l}, så er altså frekvensen av interaksjoner mellom i og j lik b ij, og avstanden mellom fasilitetene er lik a kl. Derfor vil kostnaden ved interaksjonen mellom fasilitetene i og j, hvis de lokaliseres i områdene k og l, være lik b ij ∙a kl. Dette skjer bare når u ik = 1 og u jl = 1, dvs. når produktet u ik∙ u jl = 1.

6 LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Totalkostnaden for kommunikasjon mellom fasilitetene kan derfor beregnes som: 32 ‑ 1 Total kommunikasjonskostnad ved allokering av alle fasiliteter til områdene. Dobbeltregner kostnadene. Merk at siden vi multipliserer beslutningsvariablene med hverandre så blir denne funksjonen ikke lineær, men kvadratisk. Og siden beslutningsvariablene også er heltallsvariabler, blir problemet enda vanskeligere å løse. Vi vil faktisk normalt ende opp med et ikke-konvekst problem, noe som i praksis gjør det nesten umulig å finne den globale optimale løsningen. Ikke mange generelle optimeringsprogram som vil akseptere en slik funksjon. Funksjonen har ellers den ulempen at den vanligvis dobbeltregner kostnadene, den vil inkludere kostnadene både over og under diagonalen i kostnadsmatrisen. For å unngå dette må vi enten begrense summeringen til å gjelde kun k > l, eller dividere summen med 2.

7 LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Totalkostnaden kan alternativt uttrykkes med matrisenotasjon : Vi multipliserer matrisen B [m×m] med matrisen U [m×n], dette blir en ny matrise. Tilsvarende multipliseres matrisen U [m×n] med matrisen A [n×n], som gir en ny matrise. Denne matrisen transponeres, og de to nye matrisene multipliseres så med hverandre. Dette resulterer i en ny matrise i dimensjon [m×m], og trasen til denne matrisen gir oss totalkostnaden. For å unngå dobbeltregning divideres denne summen med 2. (Trasen til en matrise er summen av alle elementene i diagonalen.) 32 ‑ 2 Total kommunikasjonskostnad ved allokering av alle fasiliteter til områdene. Dobbeltregner ikke.

8 LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering n antall områder N mengden av områder N = {1, 2,..., n} m antall fasiliteter M mengden av fasiliteter M= {1, 2,..., m} G Mengden av greiner G = {(N×M)} QkQkQkQk kapasitet til område k k  N D ki Besparelse ved å flytte fasilitet i til område k i  M; k  N B ij Mengde interaksjon mellom avdeling i og j i  M; j  M A kl Enhetskostnad/avstand mellom område k og l k  N; l  N Beslutningsvariabler: U ki U ki = 1 hvis fasilitet i lokaliseres i område k, ellers 0 U ki  {0; 1} ; i  M; k  N Vi skal bestemme hvilke avdelinger som skal lokaliseres i de alternative byene

9 LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Målfunksjon: Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering Merk at vi har endret dimensjonen på matrisen U fra forrige formel (fra [m×n] til [n×m]), vi må derfor også endre rekkefølgen på matrisene i matrisemultipliseringen. 32 ‑ 3 Maksimer sum besparelser ved desentralisering minus kostnadene ved interaksjon mellom avdelingene.

10 LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Restriksjoner: Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering 32 ‑ 4 Totalt antall fasiliteter lokalisert i et område kan ikke overstige kapasiteten til området. 32 ‑ 5 Hver fasilitet må lokaliseres til ett område.

11 LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering

12 LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Kommunikasjon mellomMengde (b ij )Kostnad (a kl )Lokalisering A – C1,014Bristol - Brighton A – D1,55Bristol - Bristol B – C1,45Brighton - Brighton B – D1,214Brighton - Bristol C – E2,05Brighton - Brighton D – E0,714Bristol - Brighton Totalkostnaden blir da 65,1.


Laste ned ppt "Kvadratisk tilordningsproblem – desentralisering."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google