Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Www.nr.no Forelesning 3 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 01.09.2004.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Www.nr.no Forelesning 3 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 01.09.2004."— Utskrift av presentasjonen:

1 Forelesning 3 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral

2 Husker du? ► Komplementregelen: ► Addisjonsregelen: Spesialtilfelle: A og B disjunkte begivenheter ► Stokastisk uavhengighet:

3 Dagens temaer ► Betinget sannsynlighet ► Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet ► Bayes’ lov ► Diagnostiske tester ► (Kombinatorikk)

4 Betinget sannsynlighet ► Betinging: Hvordan tilleggsinformasjon påvirker sannsynligheten for en begivenhet ► Betinget sannsynlighet for A gitt B skrives P(A|B) og er gitt ved formelen (definisjon) ► Skjematisk:

5 Eksempel - kreft ► Kreft rammer oftere eldre mennesker enn yngre ► Definer følgende begivenheter for en tilfeldig utvalgt person: ▪A: Personen får kreft i løpet av et år ▪B: Personen tilhører aldersgruppen år ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig person i aldersgruppen år får kreft i løpet av et år, mao. hva er P(A|B)?

6 Betinget sannsynlighet ► Multiplikasjonsregelen: ► Uavhengighet: Merk at for uavhengige begivenheter A og B så er P(A|B) = P(A), dvs. tilleggsopplysningen ”B har inntruffet” endrer ikke den ubetingede sannsynligheten. Da blir

7 Eksempel - fargeblindhet ► Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig mann er fargeblind? ► Hva er sannsynligheten for at en person som vi vet ikke er fargeblind er kvinne? MennKvinnerTotalt Fargeblinde Ikke fargeblinde Totalt

8 Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet ► Ved to disjunkte hendelser og, sier loven om total sannsynlighet at ► Generelt: Hvis utfallsrommet deles inn i n disjunkte hendelser B 1, B 2,…, B n gjelder at ► Spesielt (n=3):

9 Eksempel - doping ► Vi har tre (disjunkte!) kategorier av idrettsutøvere: A.De som doper seg nå (2%) B.De som har dopet seg tidligere (14%) C.De som aldri har dopet seg (84%) ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig dopingtest skal være positiv?

10 Bayes’ lov ► Fra siste del av multiplikasjonsregelen: ► og uttrykket for total sannsynlighet: ► kan vi nå avlede Bayes’ lov: ► Bayes’ lov spiller en sentral rolle i beregning av usikkerhet i diagnostiske tester

11 Eksempel – doping (forts.) ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en idrettsutøver som avlegger positiv dopingtest, virkelig er dopet?

12 Diagnostiske tester ► Bakgrunn: Diagnostiske tester (HIV-test, graviditetstest, røntgen,...) er beheftet med usikkerhet ▪Falske positive (indikerer sykdom hos frisk person) ▪Falske negative (fanger ikke opp sykdom hos syk person) ► Ex. HIV-test: Oppdager antistoffer mot HIV ▪Positiv test: det er antistoffer i prøvematerialet ▪Negativ test: det er ikke antistoffer i prøvematerialet ▪Falsk positiv: det er antistoffer i prøven mot et beslektet virus ▪Falsk negativ: antistoffer mot HIV er ennå ikke dannet

13 Diagnostiske tester ► Viktige begreper I ▪Sensitivitet: Sannsynligheten for at en test slår ut positivt, gitt at personen er syk (evne til å avdekke sykdom hos syke). P(+ test | virkelig syk) Ex.HIV-test:98.0% Mammografi98.0% ▪Spesifisitet: Sannsynligheten for at en test slår ut negativt, gitt at personen er frisk (evne til å utelukke sykdom hos friske). P(- test | frisk) Ex.HIV-test:99.8% Mammografi95.0%

14 Diagnostiske tester ► Viktige begreper II ▪Positiv prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med positiv test virkelig er syk P(syk | + test) ▪Negativ prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med negativ test faktisk er frisk P(frisk | - test)

15 Eksempel – positiv prediktiv verdi ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en person med positiv HIV-test virkelig er HIV-smittet (positiv prediktiv verdi)?

16 Diagnostiske tester ► Avhengighet av prevalens ▪Positiv prediktiv verdi (PPV) kan være veldig avhengig av prevalensen. Tabellen nedenfor viser hvordan PPV fra eksempelet med HIV-testen endrer seg med prevalensen: ▪OBS! For sjeldne sykdommer/tilstander gir dette et problem ved masseundersøkelser: De fleste av personene med positiv prøve kan faktisk være friske! PrevalensPPVP(ikke HIV | +) 1 / % / % / % / 1098 %0.02

17 Kombinatorikk ► Læresetninger som tallfester mulige utfall i et eksperiment (nyttig ved bruk av gunstige/mulige- metoden på store utvalg) ► Modell: Trekker s kuler fra en urne med n (nummererte/merkede) kuler og teller opp antall mulige utfall av en slik trekning ► Ulike måter å trekke på: ▪Med eller uten tilbakelegging ► Ulike måter å organisere de uttrukne kulene på ▪Ordnede eller ikke-ordnede utvalg

18 Kombinatorikk ► Trekking med tilbakelegging ▪Etter at en kule er trukket ut, legges den tilbake i urnen igjen og har dermed samme sjanse som de øvrige kulene til å bli trukket ut på nytt. Merk at her kan s > n. ► Trekking uten tilbakelegging ▪Uttrukne kuler legges ikke tilbake i urnen. Enhver kule kan dermed trekkes ut kun én gang.

19 Kombinatorikk ► Ikke-ordnede utvalg ▪Betrakter kun de s kulene i det uttrukne utvalget og tar ikke hensyn til rekkefølgen de trekkes i ► Ordnede utvalg ▪Skiller mellom utvalg som inneholder de samme s kulene, men hvor kulene er trukket ut i forskjellig rekkefølge

20 Kombinatorikk ► Læresetninger: ▪Antall ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler med tilbakelegging: ▪Antall ikke-ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler uten tilbakelegging: leses ”n over s” og kalles binomialkoeffisienten

21 Eksempel - Lotto ► Spørsmål: Hvor mange forskjellige lottorekker fins det? ▪I Lotto trekkes s=7 kuler(!) ut fra totalt n=34. Trekkingen skjer uten tilbakelegging. ▪Rekkefølgen kulene trekkes ut i er uten betydning, dvs. vi kan se på et ikke-ordnet utvalg. ▪Antall mulige utvalg (=rekker) er da

22 Eksempel - tipperekker ► Spørsmål: Hva er antall mulige rekker man kan føre opp på en tippekupong? ▪En tipperekke kan tenkes å ha fremkommet ved at n=3 kuler merket ”H”, ”U” og ”B” trekkes s=12 ganger, dvs. vi trekker med tilbakelegging ▪Kamprekkefølgen tas hensyn til gjennom å se på ordnede utvalg (HUU… gir en annen tipperekke enn UHU…) ▪Antall mulige rekker: 3 12 =

23 Eksempel – tilfeldig utvalg ► En gruppe studenter består av 5 gutter og 6 jenter ► Trekker et utvalg på 4 personer tilfeldig fra gruppen ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at utvalget blir sammensatt av kun jenter?

24 Kommentar ► Utfordring: ▪Vi har et sett av regneregler for sannsynligheten av hendelser, men utfordringen er ofte å spesifisere ”hensiktsmessige” hendelser slik at vi kan anvende formelverket ► Tips ▪Prøv å bryte informasjonen som er gitt ned i hendelser med kjent sannsynlighet. Bygg deretter opp mer komplekse sannsynligheter ut fra disse + regnereglene


Laste ned ppt "Www.nr.no Forelesning 3 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 01.09.2004."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google