Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og lim x  c f(x) = L og lim x.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og lim x  c f(x) = L og lim x."— Utskrift av presentasjonen:

1

2 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og lim x  c f(x) = L og lim x  c g(x) = M. 1. Sum regel lim x  c (f(x) + g(x)) = L + M 2. Differanse lim x  c (f(x) - g(x)) = L- M 3. Produkt lim x  c (f(x)*g(x)) = L*M 4. Konstantledd lim x  c (k*f(x)) = k*L 5. Brøk lim x  c (f(x)/g(x)) = L/M (M forskjellig fra 0) 6. Potens lim x  c (f(x)) r/s = L r/s

3 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA2 Grenseverdier Teorem 2 Grenser for polynomer Hvis P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ….. + a 0 så er lim x  c P(x) = P(c)= a n c n +a n-1 c n-1 +……+ a 0 Terem 3 Grenser for brøk dersom nevner er forskjellig fra null. La P(x) og Q(x) være polynomer og Q(c) ikke lik null

4 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA3 Grenseverdier Ensidige grenseverdier For at en funksjon skal ha en grense L når x nærmer seg x = a, må funksjonen f(x) være definert på begge sider av a og den må ha samme grenseverdi L fra begge sider. Har ikke funksjonen det, vil den ha ensidige grenseverdier. L c g f h Sandwich teoremet Anta at g(x)<=f(x)<=h(x) for alle x i et åpent intervall som inneholder x=c. Anta at: lim x  c g(x)= lim x  c h(x)=L Da må lim x  c f(x)=L

5 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA4 Grenseverdier Hvis f(x) er definert i intervallet (a,b) hvor a < b. Hvis f(x) nærmer seg verdien L, når x nærmer seg a, er det en høgresidig grenseverdi lim x  a+ f(x) = L a b L Høyresidig Hvis f(x) er definert i intervallet (c,a) hvor c < a. Hvis f(x) nærmer seg verdien M, når x nærmer seg a, er det en venstresidig grenseverdi Lim x  a- f(x) = M M Venstresidig c a

6 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA5 Grenseverdier Teorem 5 Total grenseverdi En funksjon har en grenseverdi når x  c hvis og bare hvis den venstresidige grenseverdien og den høgresidige grenseverdien er den samme. lim x  c f(x) = L hvis lim x  c- f(x) = L og lim x  c+ f(x) = L Teorem 6 Nyttig grenseverdi c a c a

7 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA6 Grenseverdier Teorem 7- Grenseverdiregler når x  +- ∞ La L, M og k være reelle tall og lim x  ∞ f(x) = L og lim x  ∞ g(x) = M. 1 Sum regel lim x  ∞ (f(x) + g(x)) = L+M 2 Differanse lim x  ∞ (f(x) - g(x)) = L-M 3 Produkt lim x  ∞ (f(x) * g(x)) = L*M 4 Konstantledd lim x  ∞ (k * f(x)) = k*L 5 Brøk lim x  ∞ (f(x)/(x)) = L/M 6 Potens lim x  ∞ (f(x)) r/s = L r/s

8 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA7 Grenseverdier Grenseverdien i en brøk når x går mot uendelig Graden av x i teller > Graden av x i nevner grenseverdien er uendelig Graden av x i teller < Graden av x i nevner grenseverdien er 0 Graden av x i teller = Graden av x i nevner Grenseverdien er en verdi - et tall Regnemessig: Divider teller og nevner med største x-potens i nevner

9 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA8 Asymptoter Horisontale asymptoter Linja y = b er en horisontal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis lim x  ∞ f(x) = b eller lim x  -∞ f(x)=b Y=b Vertikal asymptoter Linja x = a er en vertikal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis lim x  a- f(x) = +-∞ eller lim x  a+ f(x) = +-∞ x=a

10 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA9 Kontinuitet Indre punkt: Funksjonen f(x) er kontinuerlig i et indre punkt c i sitt definisjonsområde hvis lim x  c f(x) = f(c) Kontinuitet i et punkt Endepunkt Funksjonen f(x) er kontinuerlig i venstre endepunkt a eller i høyre endepunkt b i sitt definisjonsområde hvis lim x  a+ f(x) = f(a) eller lim x  b- f(x) = f(b)) Hvis funksjonen f(x) ikke er kontinuerlig i punktet c, er f(x) diskontinuerlig i punktet c a b c f(a) f(c) f(b)

11 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA10 Kontinuitet f(x) er høyre kontinuerlig i et punkt c hvis lim x  c+ f(x) = f(c) og f(x) er venstre kontinuerlig i et punkt c hvis lim x  c- f(x) = f(c) MEN f(x) må være både høyre og venstre kontinuerlig i et indre punkt c for at f(x) skal være kontinuerlig i f(c)

12 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA11 Kontinuitet Kontinuitets test Funksjonen f(x) er kontinuerlig i punktet x=d hvis og bare hvis følgende tre krav er oppfylt. 1. f(d) eksisterer og d er i definisjonsområdet 2. lim x  d f(x) eksisterer {f(x) har en grenseverdi} 3. lim x  d f(x)= f(d) {grenseverdien er lik funksjonsverdien} cd f(d)

13 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA12 Kontinuitet Teorem 8 Egenskaper til kontinuerlige funksjoner. Hvis funksjonen f og g er kontinuerlige ved x=c, så er følgende kombinasjoner kontinuerlige 1Sumf + g 2Differansef - g 3Produktf*g 4Konstanterk*f (k er konstant) 5Brøkf / g når g(c) er ulik 0 Teorem 9 Sammensatte funksjoner Hvis f(x) er kontinuerlig i c og g er kontinuerlig i f(c) da er den sammensatte funksjonen g(f(c)) kontinuerlig i c

14 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA13 Kontinuitet Teorem 10, Mellomverdi teoremet En funksjonen f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervall [a,b] inneholder alle verdier mellom f(a) og f(b). Hvis y 0 er en verdi mellom f(a) og f(b), så er y 0 = f(c) for en x-verdi x = c i [a, b ] f(a) a c b f(c)=y 0 f(b) En kontinuerlig funksjon vil være sammenhengende

15 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA14 Tangentlinjer x0x0 x1x1 y 1 =f(x 0 +h) y 0 =f(x 0 ) P ΔyΔy Q ΔxΔx Sekanten fra P til Q har stigningstallet Når punktet Q beveger seg mot P nærmer sekanten seg til en tangent til kurven i punktet P. Da nærmer Δy/ Δx seg til stigningstallet til tangenten i punktet P La x 1 =x 0 +h eller h=x 1 -x 0 =Δx og y 1 =f(x 0 +h) og y 0 =f(x 0 ) Stigningstallet til tangenten blir da: Kalles den deriverte av f(x) i x=x 0 det vil si hvor raskt funksjonen endrer seg i punktet x 0


Laste ned ppt "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og lim x  c f(x) = L og lim x."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google