Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimal flyt og maksimal bipartitt matching Børge Rødsjø 16. oktober 20091Øvingsforelesning 9 -

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimal flyt og maksimal bipartitt matching Børge Rødsjø 16. oktober 20091Øvingsforelesning 9 -"— Utskrift av presentasjonen:

1 Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimal flyt og maksimal bipartitt matching Børge Rødsjø 16. oktober 20091Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

2 Dagens tema Flytnettverk Terminologi Max-flow min-cut teoremet Ford-Fulkersons metode og algoritme Edmonds Karps algoritme Maksimal bipartitt matching Teoriøving 8: Floyd Warshall 16. oktober 20092Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

3 Terminologi: Flytnettverk En graf med kapasitet på kantene Ønsker å sende flyt fra en kildenode s (source) til en sluknode t (sink) 16. oktober 20093Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

4 Flytnettverk Eksempler Væske som flyter gjennom et rørsystem til en destinasjon Varer igjennom et varehus, produksjonslinjer Informasjon gjennom et datanettverk Strøm gjennom strømledninger 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø4

5 Flytnettverk Flyt og kapasitet på kanter benevnes f/c Flyt inn i en node = flyt ut (untatt for s og t) f(v, u) = - f(u, v) f(u,v) = 4 c(u,v) = 5 f(v,u) = -4c(v,u) = oktober 20095Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

6 Residual nettverk En graf som viser hvor mye man kan øke flyten med, til man når kapasiteten på kantene Kalles G f = (V,E f ) for flytnettverket G = (V,E) c f (u,v) er residualkapasiteten for en kant (u,v) Dvs. hvor mye mer flyt kan man sende over kanten før man når kapasiteten 16. oktober 20096Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

7 Residual nettverk c f (u,v) = c(u,v) – f(u,v) der f(u,v) er flyten for kanten (u,v) c(u,v) = 7c f (u,v) = 7 – 3 = 4 f(u,v) = 3c f (v,u) = 0 – (-3) = oktober 20097Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

8 Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i G f enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet 16. oktober 20098Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

9 Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i G f enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet 16. oktober 20099Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

10 Superkilde og supersluk Hva hvis flytnettverket har flere kilder og flere sluker? Superkilde og supersluk 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

11 Snitt i flytnettverk Vi kan dele opp grafen i to partisjoner, ved å ta et snitt (S,T), der mengden S inneholder kilden s og T inneholder sluken t Kan ha mange snitt på en graf 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

12 Snitt-terminologi Flyt over et snitt: f(S,T) Flyt fra S til T: legges til f(S,T) Flyt fra T til S: trekkes fra f(S,T) Kapasitet over et snitt: c(S,T) Legger bare til kapasiteter fra S til T Minimums snitt (min-cut) på et flytnettverk: det snittet som har lavest kapasitet av alle snitt Netto flyt over ethvert snitt er det samme, nemlig flyten | f | 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

13 Snitt i flytnettverk Partisjonerer flytnettverket i to deler: S = { s, u } T = { v, w, x, t } f(S,T) = = 7 c(S,T) = = 13 snitt1 er ikke et min-cut 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

14 Max-flow min-cut teoremet Anta flytnettverk G = (V,E) med kilde s og sluk t. Da er følgende utsagn ekvivalente: f er maksimal flyt i G Residualnettverket G f har ingen flytforøkende sti | f | = c(S,T) for et snitt (S,T) av G Et slikt snitt er et min-cut av G Viktig! 14Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø16. oktober 2009

15 Max-flow min-cut teoremet 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø G er fylt opp med maksflyt 9 G f har ingen flytforøkende stier min-cut har kapasitet 9

16 Max-flow min-cut teoremet min-cut angir en flaskehals i flytnettverket Kan ikke sende mer flyt igjennom nettverket enn det vi kan sende gjennom flaskehalsen Kan ikke finne noen flytforøkende sti over flaskehalsen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø

17 Ford-Fulkerson metoden Ford-Fulkerson-Method(G, s, t) Initialiser all flyt f til 0 så lenge det finnes en flytforøkende sti p øk flyten f langs p returner f 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø En generell metode for å finne maksimal flyt i et flytnettverk

18 Ford-Fulkerson algoritmen Ford-Fulkerson(G, s, t) sett all flyt til 0 så lenge p er en sti fra s til t i G f c f (p) = min{ c f (u,v) : (u,v) i p }for hver (u,v) i p f[u,v] = f[u,v] + c f (p) f[v,u] = -f[u,v] 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø p er en flytforøkende sti c f (p) er residualkapasiteten til den ”minste” kanten i p Kjøretid O(E*| f’ |) Der f’ er maksflyten funnet i algoritmen

19 Ford-Fulkerson algoritmen Eksempelkjøring av algoritmen Jukser litt, initialiserer ikke flyten til 0 først 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø19

20 Ford-Fulkerson algoritmen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø Residualnettverk Etter flytforøkning Initialsteg| f | = 7

21 Ford-Fulkerson algoritmen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning| f | = 8

22 Ford-Fulkerson algoritmen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning| f | = 9

23 Ford-Fulkerson algoritmen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø Residualnettverk Etter flytforøkning Ingen flere flytførkende stier| f | = 9 Vi har funnet maks-flyt og er ferdige

24 Ford-Fulkerson algoritmen 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø Algoritmen avhenger av hvordan man finner den flytforøkende stien p, fra s til t Ford-Fulkerson algoritmen kjører raskt hvis maksflyt er liten, men for stor |f’| blir kjøretiden O(E*|f’|) dårlig Hvis man bruker BFS til å finne flytforøkende sti i G f, ender vi opp med Edmonds-Karps algoritme

25 Edmonds-Karps algoritme Bruker BFS for å finne korteste flytforøkende sti i G f, og øker flyten langs denne stien BFS kan finne korteste vei fra s til t, ved å ha enhetslengde på kantene (unit-length) Ellers er Edmonds-Karp slik som Ford- Fulkersons algoritme Kjøretid O(V*E 2 ) 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø25

26 Edmonds-Karps algoritme Edmonds-Karp(G, s, t) sett all flyt til 0 bruk BFS og finn korteste sti p, som går fra fra s til t i G f c f (p) = min{ c f (u,v) : (u,v) i p } for hver (u,v) i p f[u,v] = f[u,v] + c f (p) f[v,u] = -f[u,v] 16. oktober Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø p er en flytforøkende sti c f (p) er residualkapasiteten til den ”minste” kanten i p Kjøretid O(V*E 2 )

27 Maksimal bipartitt matching Terminologi Hvordan finne maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø27

28 Maksimal bipartitt matching Hva er en bipartitt graf? En graf der nodene kan deles opp i to mengder L og R, slik at: Nodene i R bare har kanter til noder i L Nodene i L bare har kanter til noder i R 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø28

29 Maksimal bipartitt matching Eksempel Jenter som skal danse med gutter, noen vil danse med mange, mens noen vil danse med bare én annen. Ikke lov til å danse med samme kjønn. Hvordan få flest mulig personer ut på dansegulvet? 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø29

30 Maksimal bipartitt matching Hva er bipartitt matching? Anta G=(V,E) er en bipartitt graf, og M er en undermengde av E, slik at for grafen G’ = (V,M) holder følgende egenskap: For alle noder v i V, deg(v) ≤ 1 Så hver node kan ha maks 1 nabo Ønsker å maksimere |M| Maksimal bipartitt matching er når |M| er størst mulig 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø30

31 Maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø31 G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {} |M| = 0

32 Maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø32 G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {(a,d), (c,b) (e,f)} |M| = 3

33 Maksimal bipartitt matching Hvordan får vi til maskimal bipartitt matching? Dvs. hvordan maksimerer vi |M| ? Bygger på grafen litt slik at vi får ett flytnettverk Legger til en kilde s, sluk t, retninger på kantene fra L til R, og makskapasitet på hver kant til 1 Kilden har en kant til hver node i L, og hver node i R har en kant til sluken 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø33

34 Maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø34 Har en bipartitt graf

35 Maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø35 Legger til kilde s og sluk t, og rettede kanter fra s til t

36 Maksimal bipartitt matching 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø36 Legger på kapasitet 1 på kantene

37 Maksimal bipartitt matching Etter man har gjort disse stegene, kan man kjøre en flytalgoritme på flytnettverket Da vil maksflyten |f| = |M|, og vi har løst problemet med maskimal bipartitt matching Brukes Ford-Fulkersens metode blir kjøretiden O(V*E) 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø37

38 Teoriøving 8: Floyd-Warshall 16. oktober 2009Øvingsforelesning 9 - Børge Rødsjø38


Laste ned ppt "Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimal flyt og maksimal bipartitt matching Børge Rødsjø 16. oktober 20091Øvingsforelesning 9 -"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google