Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO

Presentasjon om: "Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO"— Utskrift av presentasjonen:

1 Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO
Hva er en egenvektor? Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO

2 ”Standard matematisk utgangspunkt”
Hva er en egenverdi? Rot av et karakteristisk polynom, Egenvektoren ”hører til egenverdien”,

3 Alternative definisjoner
”En vektor som ikke skifter retning, men kanskje lengde, når den multipliseres med matrisen den hører til” Første egenvektor løser max-problem for symmetrisk, reell matrise,

4 Egenvektor nr. 2,3,… løser max-problem i henhold til ortognalitetsbegrensninger,
Siste egenvektor løser min-problem,

5 Lineære linkningssystemer…

6 Hva er en determinant? Skole-definisjon: Mer informativt:
”Determinant = Volum” Determinant = 0 => degenerert, 0-volum. Brukes i Mobil-nettverk for å måle kapasitet

7 ”Egenvektorer – de som diagonaliserer”
Spektral-dekomposisjon: For symmetrisk A: V ortogonal og,

8 Diagonalisering: Attraktiv egenskap
Variabelskift: Gjør avhengige variabler uavhengige.

9 Ellipse->Sirkel X= XV XVD-1

10 Eksempel: Generalisert egenverdi-problem.

11 Visualisering av egenvektorer: PCA
xi X V D VT XT = X Empirisk kovarians

12 Harmoniske svingninger – egenfrekvenser.
Tocama Narrow Bridge Disaster, 1940

13 Ikke-symmetriske matriser.
Generelt vanskeligere Komplekse egenverdier Ikke-ortogonale egenvektorer. ”Spinning” Deflasjon / ”ghost eigenvalues”

14 ”Storebror til egenverdi-dekomposisjonen:” Singulær-verdi-dekomposisjon
Sjelden i begynnerbøker (unntak: Gilbert Strang) Ofte brukt til rang-estimering (kondisjonstall) Signalbehandling: Signal-støy-rom PCA kan gjøres vha. SVD Diagonalisering av ikke-symmetriske matriser

15 (SVD fortsatt) Finnes for alle matriser,
Singulærvektorer er også egenvektorer, For symmetrisk matrise: EVD = SVD Diagonaliserer A:

16 Egenskaper Singulærvektorene ”forklarer mest varians” i henholdsvis søyle og kolonne-rom godt egnet for kompresjon. Minimerer et kvadratisk avstandsmål Stabile Tidlige komponenter mest ”glatte” (Hastie: PDA)

17 Prinsipal-komponent-analyse.
Kjemometri: Ladninger (”mest representative kurve”) Eigenfaces (”Mest representative fjesendringer”) Underromsmetoder/datareduksjon

18 Eksempel: ”Discrimination Models and Variance Stabilizing Transformations of Metabolomic NMR Data”, Institute on Research and Statistics, Sacramento, Parul Vora Purohit Scores Plot Loadings plot

19 Eksempel: ”Vibrational spectroscopic investigation of Australian cotton cellulose fibres”, Yongliang Liu, Serge Kokot* and Tryphone J. Sambi, Centre for Instrumental and Development Chemistry, School of Physical Science, Queensland University of Technology, Sentrering + PCA

20 Eigenfaces, Eksempe fra: CDSST CONSORTIUM FOR THE DEVELOPMENT OF SPECIALIZED SEISMIC TECHNIQUES
Basis Faces for Face-space

21 Beregning av egenvektorer/sing.vektorer
Power-metode (bruk i BIMA, Mobil-kommuikasjon) NIPALS Lancoz Ritz Konjugerte gradienter Krylow-rom

22 Andre anvendelser av SVD
Optimale rotasjoner (Procrustes) Polar-dekomposisjon Eksempel: ”Statistical Shape Analysis”, Dryden & Marida

23 Utvidelser Funksjonsrom (Silverman & Ramsay)
Ikke-lineære egenfunksjoner PCA Finner ”ukorrelerte” retninger, ICA finnes ”uavhengige retninger” = ikke-lineær PCA Tre-veis-analyse (PARAFAC, Tucker) GSVD – Diagonalisering av to matriser.