Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 4 Sensitivity Analysis and the Simplex Method.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 4 Sensitivity Analysis and the Simplex Method."— Utskrift av presentasjonen:

1 Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 4 Sensitivity Analysis and the Simplex Method

2 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE Når vi løser en LP modell antar vi at alle relevante faktorer er kjent med sikkerhet. Slik sikkerhet eksisterer sjelden. Sensitivitetsanalysen hjelper med å besvare hvor følsom den optimale løsningen er for endringer i forskjellige koeffisienter i LP modellen. Innledning 2

3 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE3 MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1 n X n <= b 1 : a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k : a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n = b m Hvor følsom er løsningen overfor endringer i c i, a ij, og b i ? Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP)

4 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE4 Endre dataene og løs modellen på nytt! Noen ganger er dette den eneste praktiske måten. Solver lager også sensitivitetsrapporter som kan svare på spørsmål om: c j Hvor mye koeffisientene i målfunksjonen kan endres uten å endre den optimale løsningen. (endre c j ) b i Hvor mye målfunksjonen endres ved endringer i de begrensende ressursene. (endre b i ) x j Hvor mye målfunksjonen endres ved nye endringer i beslutningsvariablene. (endre x j ) a ij Hvordan optimal løsning vil påvirkes av endringer i koeffisientene i restriksjonene. (endre a ij ) Sensitivitetsanalyse

5 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE5 LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs Max350X X 2 Dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <=200Pumper 9X 1 + 6X 2 <=1566Arbeid 12X 1 16X 2 <=2880Rør X1X1 >=0 X2X2 0 Analyse av koeffisientene i målfunksjonen Analyse av koeffisientene i restriksjonene

6 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE6 Risk Solver Platform Aktiver Engine Tab i Task Pane Velg Lineær Solver Eller kryss av for Automatically Select Engine

7 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE7 Du kan ”styre alt” i Solver fra Risk Solver Platform Ribbon (båndet). Du kan spesifisere problemet: Angi målfunksjonen - Objective Angi beslutningsvariablene – Decisions Angi restriksjonene – Constraints Du kan løse problemet – Optimize Du kan lage rapporter - Reports Ribbon

8 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE8 1.Du kan bruke menyene i ”Ribbon” 2.Du kan bruke Task Pane 3.Du kan bruke Add-In Premium Solver Solver på 3 måter

9 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE9 Litt om Task Pane

10 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE10 Løst i regneark

11 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE11 Etter å ha kjørt Solver og løst problemet, kan du be om rapporter. Merk: Rapportene er knyttet til det arket der modellen er, og er tilgjengelig helt til ny kjøring av Solver, eller til du avslutter Excel. Rapportene du velger blir skrevet ut på egne ark i Excel-filen. Rapporter

12 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE12 Answer Report Målfunksjon Beslutnings- variabler Restriksjoner Ny info

13 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE13 Sensitivity Report Formatet i cellene er hentet fra formatet i modellen. Du kan fritt endre format. Beslutningsvariabler Restriksjoner Målfunksjon

14 Rasmus Rasmussen14 Koeffisientene i målfunksjonen X1X1 X2X2 Opprinnelig nivåkurve DB =350X X 2 Endringer i koeffisientene i målfunksjonen endrer helningen på nivåkurven. BØK350 OPERASJONSANALYSE Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene kan være uten at opprinnelig optimal løsning endres Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = 200 Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 Økning c 1 eller reduksjon c

15 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE15 Optimal løsning uendret inntil målfunksjonen blir parallell med de bindende restriksjonene ny hjørneløsning Linjene er parallelle når de har samme stigningsforhold Optimal løsning uendret inntil målfunksjonen blir parallell med de bindende restriksjonene (pumper eller arbeid), ny hjørneløsning. Linjene er parallelle når de har samme stigningsforhold: Tillatt endring i målfunksjonen Max: 350X X 2  X 2 =– (350/300) X 1 = – (c 1 /c 2 ) X 1 Pumper: 1X 1 +1X 2  200  X 2 =200– (1/1) X 1 Arbeid: 9X 1 +6X 2  1566  X 2 =261– (9/6) X 1 Rør: 12X 1 +16X 2  2880  X 2 =180– (12/16) X 1 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen?

16 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE16  = endring verdi slik at: gammel verdi +  = ny verdi   = ny - gammel Tillatt endring i målfunksjonen Max: 350X X 2  X 2 =– (350/300) X 1 = – (c 1 /c 2 ) X 1 Pumper: 1X 1 +1X 2  200  X 2 =200– (1/1) X 1 Arbeid: 9X 1 +6X 2  1566  X 2 =261– (9/6) X 1 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med pumpe-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(1/1) Ny verdi c 1 : -(c 1 /300) = -(1/1)  -c 1 =-1  300  c 1 = 300   c 1 = = -50 Ny verdi c 2 : -(350/c 2 ) = -(1/1)  -350=-1  c 2  c 2 = 350   c 2 = = +50 Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen? Hvor mye må koeffisientene i målfunksjonen endres for at den skal bli parallell med arbeids-restriksjonen? Har stigningskoeffisient -(9/6) Ny verdi c 1 : -(c 1 /300) = -(9/6)  -c 1 =-(9/6)  300  c 1 = 450   c 1 = = +100 Ny verdi c 2 : -(350/c 2 ) = -(9/6)  -350=-(9/6)  c 2  c 2 = 233 1/3   c 2 = 233 1/3-300 = -66 2/3

17 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE17 Tillatt endring i målfunksjonen Endringene må ligge innenfor alleytterpunktene: Endringene må ligge innenfor alle ytterpunktene: Pumper:  c 1 = -50 Arbeid:  c 1 =   c 1  100 Rør:  c 1 = -150 Pumper:  c 2 = +50 Arbeid:  c 2 = -66 2/3-66 2/3   c 2  50 Rør:  c 2 = /3 Har tatt med rør for å illustrere poenget. Trenger bare vurdere bindende restriksjoner. Optimal løsning uendret så lenge endringene i koeffisientene ligger innenfor disse grensene.

18 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE18 Endringer i ”Objective Coefficient” Disse koeffisientene kan endres: innenfor disse grensene, uten at disse verdiene endres. Men målfunksjonen og skyggeprisene endres!

19 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE19 I tabellen for beslutningsvariablene (”Decision Variable Cells ”) angir verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease” hvor mye en koeffisient i målfunksjonen (”Objective Coefficient”) kan endres uten å endre den optimale løsningen (i kolonnen ”Final Value”), under forutsetning av at alle andre koeffisienter forblir uendret. Endringer i koeffisientene i målfunksjonen

20 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE20 Hvis målfunksjonen er parallell med en av de bindende restriksjonene har vi alternative optimale løsninger. Verdier på null (0) i “Allowable Increase” eller “Allowable Decrease” kolonnene for tabellen ”Decision variable Cells” indikerer at en alternativ optimal løsning eksisterer. OBS! Da er sensitivitetsanalysen ufullstendig!! Alternative Optimale Løsninger

21 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE21 Alternative optimale løsninger Hvis noen av disse er lik 0, så finnes alternative verdier til disse.

22 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE22 Sensitivitetsanalyse restriksjonene X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner

23 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE23 Tillatt endring i restriksjonene X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. Økning pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = 207 En større økning vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør. Reduksjon pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = 174 En større reduksjon vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet. Pumper Pumper kan økes til 207 eller reduseres til 174 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende.

24 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE24 Hvor mye kan tilgang pumper (b 1 ) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Økning: Helt til bare arbeid og rør er bindende. Reduksjon: Helt til bare arbeid og x 2 ≥ 0 er bindende. Sensitivitetsanalyse pumper: b 1 Økning:Arbeid: 9X 1 +6X 2 =1566 |  (-4/3)  -12X 1 -8X 2 =-2088 Rør: 12X 1 +16X 2 =288012X 1 +16X 2 =2880 8X 2 =792  X 2 = 792/8 = 99.  9X  99 = 1566  9X 1 = 1566 – 594 = 972  X 1 = 972/9 = 108  b 1 = 207 – 200 = +7 Behov pumper: 1   108 = 207   b 1 = 207 – 200 = +7 Reduksjon:Arbeid: 9X 1 +6X 2 =1566 X2X2 =0 9X  0 = 1566  X 1 = 1566/9 = 174  b 1 = 174 – 200 = -26 Behov pumper: 1   0 = 174   b 1 = 174 – 200 = ≤  b 1 ≤+7

25 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE25 Tillatt endring i restriksjonene X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. Arbeid Arbeid kan økes til 1800 eller reduseres til 1440 uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende. Økning arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1800 Reduksjon arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1440 En større reduksjon vil gjøre at rør blir en bindende restriksjon istedenfor pumper. En større økning vil gjøre at arbeid ikke lenger er bindende, men pumper og ikke-negativitet.

26 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE26 Hvor mye kan tilgang arbeid (b 2 ) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Reduksjon: Helt til bare pumper og rør er bindende. Økning: Helt til bare pumper og x 2 ≥ 0 er bindende. Sensitivitetsanalyse arbeid: b 2 Reduksjon:Pumper: 1X 1 +1X 2 =200 |  (-12)  -12X 1 -12X 2 =-2400 Rør: 12X 1 +16X 2 =288012X 1 +16X 2 =2880 4X 2 =480  X 2 = 480/4 = 120.  1X  120 = 200  1X 1 = 200 – 120 = 80  X 1 = 80/1 = 80  b 2 = 1440 – 1566 = -126 Behov arbeid: 9   120 = 1440   b 2 = 1440 – 1566 = -126 Økning:Pumper: 1X 1 +1X 2 =200 X2X2 =0 1X  0 = 200  X 1 = 200/1 = 200  b 2 = 1800 – 1566 = +234 Behov arbeid: 9   0 = 1800   b 2 = 1800 – 1566 = ≤  b 2 ≤+234

27 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE27 Tillatt endring i restriksjonene X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Kan endre restriksjonene inntil vi får et nytt sett av bindende restriksjoner. Slik vil skyggeprisene forbli uendret. Rør Rør kan reduseres til 2712 eller økes uendelig uten at andre restriksjoner enn arbeid og pumper er bindende. Reduksjon rør: 12X X 2 = 2712 Økning rør: 12X X 2 = ? Kan øke tilgang på rør uendelig uten at andre restriksjoner blir bindende. En større reduksjon vil gjøre at pumper ikke lenger er bindende, men arbeid og rør.

28 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE28 Hvor mye kan tilgang rør (b 3 ) endres, uten at andre restriksjoner blir bindende? Reduksjon: Helt til pumper og arbeid er bindende. Økning: Ubegrenset, restriksjonen er ikke bindende i utgangspunktet. Sensitivitetsanalyse rør: b 3 Reduksjon:Pumper: 1X 1 +1X 2 =200  X1X1 =200 - X 2 Arbeid: 9X 1 +6X 2 =1566  9(200 -X 2 ) + 6X 2 = 1566  -3X 2 =  X 2 = -234/(-3) = 78 X 1 = X 2  X 1 = 200 – 78 = 122  b 3 = 2712 – 2880 = -168 Behov rør: 12   78 = 2712   b 3 = 2712 – 2880 = -168  b 3 = +  Økning: Ubegrenset   b 3 = +  -168 ≤  b 3 ≤ + 

29 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE29 Endringer i Contstraint R.H. Side Så lenge disse endres innenfor disse grensene, forblir skyggeprisene konstante. Men optimale verdier på målfunksjonen og beslutningsvariablene endres !

30 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE30 Skyggepriser X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet. Når tilgang på arbeid økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av pumper. Økning arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1800 Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger.

31 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE31 Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes med en enhet? Når vi endrer kapasiteten for arbeid, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til pumper. Skyggepris arbeid Pumper: 1X11X1 + 1X21X2 =0Uendret kapasitet Arbeid: 9X19X1 + 6X26X2 =11 ekstra enhet  X 1 = -  X 2 & 9  X  X 2 = 1  9(-  X 2 ) + 6  X 2 = 1  -3  X 2 = 1   X 2 = 1/(-3) = -1/3  X 1 = -  X 2 =-(-1/3) = 1/3. En ekstra arbeidstime vil gi:  X 1 =1/3 og  X 2 = -1/3. = 16,67 Endring i målfunksjonen: 350  (1/3)  (-1/3) = 16,67 Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er 16,67 og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. arbeidstime.

32 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE32 Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på arbeid økes maksimalt? Maksimal tillatt økning arbeid er 234 timer (uten andre bindende restriksjoner). Da vil ny optimal produksjon være 200 stk. X 1 og 0 stk. X 2. Ny verdi på målfunksjonen blir: 350   0 =70.000,- Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen:66.100,- Økt verdi av økt tilgang arbeidstid:3.900,- Økt verdi pr. arbeidstime: 3.900,-/234 timer = 16,67 pr. time. Hver ny arbeidstime er verd 16,67, som er skyggeprisen på restriksjonen for arbeidstid. Skyggepris arbeid

33 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE33 Skyggepriser X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Hvor mye målfunksjonen endres ved å øke kapasiteten for en restriksjon med en enhet. Når tilgang på pumper økes med 1 enhet, vil ny tilpassing skje langs restriksjonen for bruk av arbeid. Økning pumper: 1X 1 + 1X 2 = 207 Samme skyggepriser (med motsatt fortegn) gjelder ved reduksjoner. Unntatt degenererte løsninger

34 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE34 Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes med en enhet? Når vi endrer kapasiteten for pumper, vil ny tilpasning skje langs kapasitetsgrensen til arbeid. Skyggepris pumper Pumper: 1X11X1 + 1X21X2 =11 ekstra enhet Arbeid: 9X19X1 + 6X26X2 =0Uendret kapasitet  X 1 = 1 –  X 2 & 9  X  X 2 = 0  9(1-  X 2 ) + 6  X 2 = 0  -3  X 2 = -9   X 2 = -9/(-3) = 3  X 1 = 1-  X 2 =1-3 = -2. En ekstra pumpe vil gi:  X 1 =-2 og  X 2 = +3. = 200 Endring i målfunksjonen: 350  (-2)  (+3) = 200 Skyggeprisen for en ekstra pumpe er 200,- og viser verdien (økt dekningsbidrag) pr. pumpe.

35 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE35 Hvor mye endres målfunksjonen når tilgang på pumper økes maksimalt? Maksimal tillatt økning pumper er 7 stk. (uten andre bindende restriksjoner). Da vil ny optimal produksjon være 108 stk. X 1 og 99 stk. X 2. Ny verdi på målfunksjonen blir: 350   99 =67.500,- Opprinnelig optimal verdi på målfunksjonen:66.100,- Økt verdi av økt tilgang pumper:1.400,- Økt verdi pr. pumpe: 1.400,-/7 stk. = 200,- pr. stk. Hver ny pumpe er verd 200,-, som er skyggeprisen på restriksjonen for pumper. Skyggepris pumper

36 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE36 Skyggepriser endringen Disse angir endringen i målfunksjonen, ved én enhets økning i denne verdien, hvis endringen er innenfor disse verdiene.

37 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE37 Skyggeprisen Skyggeprisen til en restriksjon indikerer hvor mye målfunksjonen endres som følge av en enhets økning i restriksjonens RHS verdi, hvis alle andre koeffisienter forblir konstante. Skyggeprisene er kun gyldige ved endringer av restriksjonens RHS verdi innenfor verdiene i kolonnene “Allowable Increase” og “Allowable Decrease”. Skyggepriser for ikke-bindende restriksjoner er alltid null. Skyggepriser

38 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE38 Skyggeprisene viser kun endringen i mål-funksjonen ved endringer i restriksjonsgrensene. Endringer av grensen for en bindende restriksjon endrer også mulighetsområdet og de optimale verdiene på beslutningsvariablene. For å finne de nye optimale verdiene på beslutningsvariablene etter endring av en bindende restriksjonsgrense, må en løse problemet på nytt. Endringer i restriksjonens RHS verdi

39 Rasmus Rasmussen39 Økt arbeidskapasitet X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 Opprinnelig mulighetsområde Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE Flere arbeidstimer: 9X 1 + 6X 2 = 1728 Utvidet mulighetsområde Ny optimal løsning

40 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE40 Anta at en ny varmtvannsbereder (Typhoon-Lagoon) vurderes. Den har et dekningsbidrag på $320 pr. stk. og krever: 1 pumpe (skyggepris = $200) 8 timer arbeid (skyggepris = $16,67) 13 dm rør (skyggepris = $0) Q: Er det lønnsomt å produsere noen ? A: $320 - $200*1 - $16,67*8 - $0*13 = -$13,33 = Nei ! Merk at vi nå har beregnet Reduced Cost. Praktisk bruk av skyggepriser

41 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE41 Nytt produkt

42 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE42 Reduced Cost Reduced Cost er lik profitten pr. enhet (verdien i målfunksjonen) minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene)

43 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE43 Skyggeprisen for en ekstra time arbeid er lik $16,67. Den er gyldig for økninger i arbeidstiden på opp til 234 nye timer. variabel ekstraverdien Hvis arbeid er en variabel kostnad, så er lønnskostnaden inkludert i db/stk., og skyggeprisen angir ekstraverdien av arbeid utover ordinær lønnskostnad. Vi er da villig til å betale en timepris som er $16,67 mer enn ordinær timepris. fast Hvis arbeid er en fast kostnad som ikke er inkludert i målfunksjonen, så er vi kun villig til å betale $16,67 pr. ekstra time. Praktisk bruk av skyggepriser

44 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE44 Reduced Cost til en beslutningsvariabel angir hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. For variabler som inngår i den optimale løsningen er følgelig Reduced Cost = 0. Reduced Cost for hvert produkt er lik profitten pr. enhet minus verdien av ressursene som forbrukes (priset til skyggeprisene). Reduced Cost ved standard LP formulering

45 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE45 Reduced Cost i Solver Type av problem Optimal verdi på beslutningsvariablene Optimal verdi på Reduced Cost Maksimering lik enkel nedre grense≤ 0 mellom øvre og nedre grenser= 0 lik enkel øvre grense≥ 0 (skyggepris) Minimering lik enkel nedre grense≥ 0 (skyggepris) mellom øvre og nedre grenser= 0 lik enkel øvre grense≤ 0

46 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE46 For variabler som ikke inngår i den optimale løsningen angir Reduced Cost hvor mye koeffisienten i målfunksjonen må endres for at variabelen skal komme med i optimal løsning. (samme som ved standard LP). For variabler som inngår i optimal løsning, og med verdi lik sin direkte nedre elle øvre grense, angir Reduced Cost skyggeprisen for denne bindende restriksjonen. (Variabler med Bounds.) Øvrige variabler som inngår i optimal løsning har Reduced Cost lik 0. Reduced Cost i Solver

47 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE47 Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen). Ressurser som ikke brukes fullt ut har en skyggepris (marginalverdi) lik null. Et produkts Reduced Cost er lik differansen mellom produktets fortjeneste og alternativkostnaden for de ressurser det forbruker. Produkter med en fortjeneste som er mindre enn alternativ- kostnaden til de ressurser det forbruker vil ikke inngå i den optimale løsningen. (Reduced Cost er negativ.) Viktige poenger

48 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE48 Verdi ressurser = Verdi produksjon RessursMengdeVerdiTotal verdi Pumper200200, ,- Arbeid156616, ,- Rør28800,000,- Total verdi ressurser ,- ProduktMengdeVerdiTotal verdi Aqua Spa122350, ,- Hydro Lux78300, ,- Total verdi produksjon ,- Totalverdien av ressursene vurdert til skyggeprisene er lik totalverdien av produktene som produseres (dvs. optimal verdi av målfunksjonen).

49 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE49 Q: Anta at en Typhoon-Lagoon kun trenger 7 arbeidstimer isteden for 8. Er det nå lønnsomt å produsere noen? A: $320 - $200*1 - $16,67*7 - $0*13 = $3,31 = Ja! Q: Hva er den største arbeidstiden Typhoon-Lagoons kan bruke og likevel være lønnsom? A: Da må $320 - $200*1 - $16,67*L 3 - $0*13 >=0 Det holder så lenge L 3 <= $120/$16,67 pr. time = 7,20 timer. Vi har nå analysert a ij, dvs. restriksjonskoeffisienten. Endringer i restriksjonskoeffisienter

50 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE50 100% Regelen kan brukes til å avgjøre om optimal løsning endres når mer enn én koeffisient i målfunksjonen endres. Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Alle variablene med endret koeffisient har Reduced Cost forskjellig fra null. (Ingen av variablene inngår i optimal løsning.) Tilfelle 2: Minst en variabel med endret koeffisient har en Reduced Cost lik null. (Minst en av variablene inngår i optimal løsning.) I Tilfelle 1 forblir optimal løsning uendret så lenge alle endringene ligger innenfor sine Allowable Increase eller Allowable Decrease. Simultane endringer i målfunksjonen

51 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE51 I Tilfelle 2, beregn for hver variabel: Simultane endringer i målfunksjonen Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon. Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret. Beregn økningen eller reduksjonen i forhold til tillatt økning eller reduksjon. Hvis summen av alle %-vise endringer er ≤ 100%, vil optimal løsning forbli uendret. Hvis mer enn en koeffisient i målfunksjonen endres, vil optimal løsning forbli uendret sålenge alle r j summers til  1. (Merk at hvis alle r j summeres til > 1, kan løsningen også forbli uendret, men det er ikke garantert.)

52 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE52 100% regelen kan også brukes til å avgjøre om skyggeprisene og Reduced Cost endres når mer enn én høyreside av restriksjonene endres: Vi kan ha to situasjoner: Tilfelle 1: Ingen restriksjoner med endret høyreside er bindende. Tilfelle 2: Minst en restriksjon med endret høyreside er bindende. I Tilfelle 1 forblir optimal verdien på målfunksjon, beslutningsvariabler og skyggepriser uforandret, sålenge hver høyreside forblir innenfor tillatte endringer. I Tilfelle 2: Beregn %vis endring for hver restriksjon i forhold til tillatt reduksjon eller økning. Hvis sum %vis endring ≤ 100%, så forblir skyggeprisene og Reduced Cost uendret. (Men optimale verdier på beslutningsvariablene vil endres.) Simultane endringer i restriksjonsgrensene.

53 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE53 degenerert Løsningen til et LP problem er degenerert hvis Allowable Increase eller Decrease er lik null (0) for noen restriksjoner (tabellen ”Constraints”). Når en løsning er degenerert: 1. Da kan vi ikke finne ut om det eksisterer alternative optimale løsninger på samme måte som vi beskrev tidligere. 2. Reduced Costs for beslutningsvariablene vil ikke lenger være unike. Koeffisientene i målfunksjonen må nå endres minst så mye som (sannsynligvis mye mer enn) Reduced Cost for at optimal løsning skal endres. Degenererte løsninger; Vær obs!

54 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE54 Når en løsning er degenerert (forts.) 3) Kolonnene Allowable Increase og Allowable Decrease for koeffisientene i målfunksjonen vil som regel angi for små verdier. 4) Skyggeprisene er ikke lenger unike:  Ett sett skyggepriser gjelder for økninger i restriksjonsgrensene.  Et annen sett av skyggepriser gjelder for reduksjoner av restriksjonsgrensene. Degenererte løsninger

55 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE55 Degenerert løsning Hvis noen av disse er lik 0 så er løsningen degenerert. villedende Sensitivitetsanalysen er da villedende !

56 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE56 Degenerert problem grafisk X1X1 X2X Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Degenerert løsning fordi mer enn to restriksjoner bestemmer optimalpunktet. Nivåkurve: DB =350X X 2

57 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE57 Når et LP-problem er degenerert kan optimal løsning bestemmes på flere måter: det er flere bindende restriksjoner enn det er ukjente variabler, vi har et overbestemt ligningssystem. Hvilke bindende restriksjoner som utelates for å bestemme optimal løsning påvirker hvilke skyggepriser som blir beregnet. Bindende restriksjoner som utelates får en skyggepris på 0, men er likefullt bindende. Årsak til vansker ved degenererte problem

58 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE58 Degenerert problem i regneark Det er umulig å oppdage fra løsningen at problemet er degenerert.

59 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE59 Her ser vi at det er degenerert

60 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE60 Sensitivitetsanalysen er villedende ! Og disse verdiene er ofte feil. Disse grensene er ofte for små.

61 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE61 Mangelfull sensitivitetsanalyse Skyggeprisen gjelder:

62 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE62 Multiple optimale løsninger grafisk X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Multiple optimale løsninger når nivåkurven til målfunksjonen blir parallell med en bindende restriksjon 350 Nivåkurve: DB =350X X 2

63 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE63 Multiple løsninger i regneark Vi kan se at problemet har alternative optimale løsninger : Koeffisientene i målfunksjonen (Dekningsbidrag) er 350 ganger koeffisientene i restriksjonen for pumper; dvs. den er parallell med en restriksjon som er bindende.

64 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE64 Sensitivitetsanalysen er mangelfull Alternative løsninger hvis noen av disse er lik 0. Da finnes det flere alternative løsninger for disse: Og disse grensene er ofte for små.

65 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE65 Løs problemet på vanlig måte. Hvis Allowable Increase/Decrease=0 for noen koeffisienter i målfunksjonen: Kopier regnearket til et nytt ark, og reformuler Solver- oppsettet: Endre målfunksjonen: Maksimer eller minimer verdien på en av beslutningsvariablene. Ny restriksjon: Verdi gammel målfunksjon lik optimal verdi opprinnelig problem. Løs den nye modellen. Finne alternative løsninger

66 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE66 Finne alternativ optimal løsning

67 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE67 Bounds: restriksjoner direkte på beslutningsvariablene Bounds: Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene (Må produsere minst så mange som bestilt)

68 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE68 Sensitivitetsanalyse av Bounds mangler Restriksjoner direkte på beslutningsvariablene (Decision variable cells) er utelatt! Skyggeprisen angitt under Reduced Cost.

69 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE69 Alternativ formulering I: Lag en ny dummy-variabel: Antall solgt (= Antall produsert) Flytt leveringsrestriksjonen til den nye dummy-variabelen.

70 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE70 Full sensitivitetsanalyse Sensitivitetsanalyse også av restriksjonene på leveringsbetingelsene

71 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE71 Alternativ formulering II: Standard LP-modell: En linje for hver restriksjon

72 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE72 Full sensitivitetsanalyse Sensitivitetsanalyse på alle restriksjonene

73 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE73 Vi kan benytte RSP’s mulighet til å kjøre multiple optimiseringer for ulike parameterverdier, for å utføre ad hoc sensitivitetsanalyse, slik som: Spider Tables & Plots Sammendrag av optimal verdi for én output celle ved individuelle endringer i flere input celler. Solver Tables Sammendrag av optimal verdi for flere output celler ved endringer i én input celle. Ad Hoc sensitivitetsanalyse

74 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE74 For å variere hver av p forskjellige parametere med v ulike verdier krever totalt p*v optimeringer (Fig 4-12)  PsiCurrentOpt( )  PsiCurrentOpt( ) - returnerer gjeldende optimering # (O#) Celle B27  INT( (O# -1)/v )+1  INT( (O# -1)/v )+1 - returnerer gjeldende parameter # (P#) Celle B28  O# - v *(P# -1)  O# - v *(P# -1) - returnerer gjeldende iterasjon # Celle B29 Spider Tables & Plots

75 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE75 Spider Table

76 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE76 Finne optimale verdier for p forskjellige verdier av en parameterstørrelse. (Pumper tilgjengelig)  PsiOptParam( )  PsiOptParam( ) brukes til å angi ulike verdier for en input celle ved ulike optimeringer.  PsiOptValue( )  PsiOptValue( ) returnerer verdien for en output-celle ved de ulike optimeringene. Solver Tables

77 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE77 Solver Table

78 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE78 Sensitivitetsanalyse restriksjonene X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = Sensitivitetsanalysen viser hvor store endringene i høyresidene på restriksjonene kan være før vi får andre bindende restriksjoner. Ad-hoc sensitivitetsanalysen endrer verdiene i vilkårlige gitte trinn. Disse vil bare tilfeldigvis sammenfalle med tillatte økninger og reduksjoner.

79 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE79 Tradisjonell sensitivitetsanalyse antar at alle koeffisientene i en modell er kjent med sikkerhet. på randen av mulighetsområdet Optimale løsninger på randen av mulighetsområdet gjør løsningene sårbare for endringer. inne i mulighetsområdet En “robust” løsning av et LP problem finnes inne i mulighetsområdet, og forblir mulig og rimelig god for moderate endringer i koeffisientene. Robust optimering

80 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE80 For LP problemer har RSP støtte for usikkerhet i restriksjonskoeffisienter via “uncertainty set (USet) chance constraints” For eksempel, anta… Arbeidsbehovet for hver varmtvannstank varierer likt fra +/- 15 minutter (0,25 timer) fra de opprinnelige estimatene Mengden av rør pr varmtvannstank varierer likt fra +/- 6 inches (0,5 feet) fra opprinnelige estimater. Chance Constraints

81 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE81 Robust optimering

82 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE82 MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1 n X n <= b 1 : a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k : a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n = b m LP på generell form

83 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE83 Ved simplex metoden må alle ulikheter konverteres til likheter ved å legge til slakk-variabler til = restriksjoner. Eksempelvis: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n <= b k + S k konverteres til: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n + S k = b k Og: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n >= b k – S k konverteres til: a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n – S k = b k Simplex metoden

84 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE84 For vårt eksempel... Max350X X 2 Dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 +1S 1 =200Pumper 9X 1 + 6X 2 +1S 2 =1566Arbeid 12X 1 16X 2 +1S 3 =2880Rør X1X1 >=0 X2X2 0 S1S1 0 S2S2 0 S3S3 0 Hvis det er n variabler i en modell med m restriksjoner, (der n>=m) kan vi velge vilkårlig m variabler og så løse ligningene (ved å sette de gjenværende n-m variablene lik 0.)

85 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE85 Ordne ligningene på tabell-form. (Simplex-tabell) 350X X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 Max 1 1X 1 + 1X 2 + 1S 1 + 0S 2 + 0S 3 = X 1 + 6X 2 + 0S 1 + 1S 2 + 0S 3 = X 1 +16X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 1S 3 = 2880 basisvariablerVelg som basisvariabler de som har koeffisienten 1 i en kolonne og øvrige koeffisienter i kolonnen lik 0. Ligningsystemet er løst !Sett alle andre variabler lik 0. Ligningsystemet er løst ! Velg som ny basisvariabel den som har størst koeffisient i målfunksjonen. Utgående variabel bestemmes slik at ny løsning forblir mulig, samtidig som ny variabel får størst mulig verdi. Ligningene for Simplex-metoden

86 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE86 Basis Ikkebasis Verdi VariablerVariabler LøsningMålfunksjon 1S 1, S 2, S 3 X 1, X 2 X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 = X 1, S 1, S 3 X 2, S 2 X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =79260,900 3X 1, X 2, S 3 S 1, S 2 X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =16866,100 4X 1, X 2, S 2 S 1, S 3 X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =064,000 5X 2, S 1, S 2 X 1, S 3 X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 =054,000 6*X 1, X 2, S 1 S 2, S 3 X 1 =108, X 2 =99, S 1 =-7, S 2 =0, S 3 =067,500 7*X 1, S 1, S 2 X 2, S 3 X 1 =240, X 2 =0, S 1 =-40, S 2 =-594, S 3 =084,000 8*X 1, S 2, S 3 X 2, S 1 X 1 =200, X2=0, S 1 =0, S 2 =-234, S 3 =48070,000 9*X 2, S 2, S 3 X 1, S 1 X 1 =0, X 2 =200, S 1 =0, S 2 =366, S 3 =-32060,000 10*X 2, S 1, S 3 X 1, S 2 X 1 =0, X 2 =261, S 1 =-61, S 2 =0, S 3 = ,300 * angir umulig løsning Forskjellige basisløsninger

87 Rasmus Rasmussen87 Mulige basisløsninger & ekstremalpunkter X1X1 X2X2 Mulige basisløsninger BØK350 OPERASJONSANALYSE 1X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 =2880 2X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =792 3X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =168 4X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =0 5X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 =0

88 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE88 Simplex metoden starter med å finne en mulig basisløsning til LP problemet, og beveger seg så til et tilgrensende ekstremalpunkt, såfremt dette forbedrer målfunksjonen. Når ingen tilgrensende hjørneløsninger har en bedre verdi på målfunksjonen er den eksisterende basisløsningen optimal, og simplex-metoden stanser. Bevegelsen fra en hjørneløsning til en tilgrensende utføres ved å bytte en av basisvariablene med en ikke- basisvariabel, for å skape en ny basisløsning som tilsvarer den tilgrensende hjørneløsningen. Sammendrag Simplex-metoden

89 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE89 Slutt på kapittel 4


Laste ned ppt "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 4 Sensitivity Analysis and the Simplex Method."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google