Managerial Decision Modeling

Presentasjon om: "Managerial Decision Modeling"— Utskrift av presentasjonen:

1 Managerial Decision Modeling
A Practical Introduction to Management Science , 5ed by Cliff Ragsdale

2 Nonlinear Optimization
Chapter 8 Nonlinear Optimization Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

3 Introduksjon til ikke-lineær programmering Nonlinear Programming (NLP)
Et ikke-lineært problem har en ikke-lineær målfunksjon og/eller en eller flere ikke-lineære restriksjoner. Ikke-lineære problemer formuleres og implementeres praktisk talt på samme måte som lineære problemer. Matematikken som benyttes for å løse ikke-lineære problemer er svært forskjellig fra den som brukes på lineære problemer. Solver tildekker denne forskjellen, men det er viktig å forstå de vanskene som kan oppstå når en skal løse ikke-lineære problemer. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

4 Forskjellige optimale løsninger til NLPs (som ikke er hjørne-løsninger)
Nivåkurve for målfunksjonen optimal løsning Mulighets-området Lineær målfunksjon, ikke-lineære restriksjoner Ikke-lineær målfunksjon, lineære restriksjoner Nivåkurver for målfunksjonen

5 LOG350 Operasjonsanalyse
GRG Algoritmen Solver bruker Generalized Reduced Gradient (GRG) algoritmen for å løse ikke-lineære programmeringsproblemer. GRG kan også brukes på LP problemer. Den er tregere enn Simplex metoden. Den gir ikke garantert beste løsning hvis problemet er ikke-lineært. Den gir mindre omfattende sensitivitets-analyse. Strategi: Prøv LP solver først! Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

6 En ikke-lineær løsningsstrategi
Mulighets-området A (start punkt) B C D E Nivåkurver for målfunksjonen X1 X2 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

7 Lokale vs. Globalt Optimale Løsninger
C B Lokal optimal løsning Mulighets-området D E F G Lokal og global optimal løsning X1 X2 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

8 Kommentarer til NLP Algoritmer
Det er ikke bestandig best å flytte i den retningen som skaper den raskeste forbedringen i målfunksjonen. Det er heller ikke bestandig best å flytte lengst mulig i den retningen. NLP algoritmer vil stoppe ved lokale optimumsløsninger. Startpunktet påvirker hvilket lokalt optimumspunkt en ender opp med. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

9 Kommentarer vedrørende startpunkt
Start i null-punktet bør unngås. Hvis mulig bør en velge startverdier for beslutningsvariablene som har noen lunde samme størrelse som de forventede optimale verdiene. Automatisk skalering bygger på start-løsningen. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

10 En kommentar til “Optimal” løsning
Når Solver løser et ikke-lineært problem, stopper den normalt når den første av følgende 3 tester er tilfredsstilt, ledsaget av en av følgende meldinger: 1) “Solver found a solution. All constraints and optimality conditions are satisfied.” Dette betyr at Solver har funnet et lokalt optimum, men garanterer ikke at dette er den globale optimale løsningen. Med mindre du vet at problemet kun har ett lokalt optimum (som da også må være det globale optimum) bør du kjøre Solver flere ganger med forskjellige startverdier, for å øke muligheten for at du finner den globale optimumsløsningen. 2) “Solver has converged to the current solution. All constraints are satisfied.” Dette betyr at målfunksjonen har endret seg lite i de siste iterasjonene. Hvis du tror at løsningen ikke er et lokalt optimumspunkt, så kan det hende at problemet er dårlig skalert. I Excel 8.0 kan convergence opsjonen i Solver Options dialog box reduseres for å unngå konvergering omkring suboptimale løsninger. 3) “Solver cannot improve the current solution. All constraints are satisfied.” Denne sjeldne meldingen betyr at modellen er degenerert, og at Solver går i ring mellom samme løsninger. Degenererte løsninger kan ofte elimineres ved å fjerne overflødige restriksjoner i modellen. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

11 Optimalt innkjøpskvantum (EOQ)
Hvordan finne optimal ordrestørrelse når en bestiller varer. Små ordrer (varebestillinger) medfører: Små lagerbeholdninger & lagringskostnader Hyppige ordrer & større bestillingskostnader Store ordrer medfører: Store lagerbeholdninger & lagringskostnader Sjeldne order & mindre bestillingskostnader Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

12 Eksempel på lagerprofiler
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 30 40 50 60 Årlig etterspørsel = 150 Ordrestørrelse = 50 Antall ordrer = 3 Gj. snitt lager = 25 Måneder Ordrestørrelse = 25 Antall ordrer = 6 Gj. Snitt lager = 12.5 Lager Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

13 LOG350 Operasjonsanalyse
EOQ Modellen der: D = årlig etterspørsel etter varen C = kjøpspris pr. enhet for varen S = fast kostnad ved bestilling av varen i = årlig lagerholdskostnad (som en % av C) Q = bestillingskvantum Antagelser: Etterspørsel (eller bruk) er konstant over hele året Nye ordrer mottas i sin helhet i det øyeblikk lageret er tomt. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

14 EOQ kostnadssammenhenger
10 20 30 40 50 200 400 600 800 1000 $ Ordrekvantum Totalkostnad Lagerkostnader Bestillingskostnader EOQ Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

15 Et EOQ Eksempel: Bestille papir for MetroBank
Alan Wang kjøper papir for kopimaskiner og laserprintere ved MetroBank. Årlig etterspørsel (D) er på 24,000 esker Hver eske koster $35 (C) Hver bestilling koster $50 (S) Lagerholdskostnader er 18% (i) Hva er optimalt bestillingskvantum (Q)? Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

16 (Merk at målfunksjonen er ikke-lineær !)
Modellen (Merk at målfunksjonen er ikke-lineær !) Q er en beslutningsvariabel Q-1 Inngår i målfunksjonen => ikke-lineær Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

17 Implementere Lagermodellen
Analyze without solve NLP Convex - Unikt optimum Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

18 Kommentarer til EOQ Modellen
Matematisk kan en vise at den optimale verdien for Q er : En mengde varianter av EOQ modellen finnes for å ta hensyn til: kvantumsrabatter lagerrestriksjoner etterbestillinger etc Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

19 Problemer med optimering?
Det hender at vi noen ganger ikke får den løsningen vi forventer. Regner Solver galt, eller har vi gitt gale opplysninger til Solver? Eksempler på hvilke vansker som kan oppstå med optimering i regneark er beskrevet på: Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

20 Lokaliseringsproblemer
Mange beslutninger dreier seg om å finne optimal lokalisering av bygninger eller servicesentra, f. eks. Produksjonsfabrikker Lagerbygninger Brannstasjon Ambulansesentra Slike problemer inneholder vanligvis avstander i målfunksjonen og/eller i restriksjonene. Avstanden (Euclidsk) i rett linje mellom to punkter (X1, Y1) og (X2, Y2) er: Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

21 Et lokaliseringsproblem: Rappaport Communications
Rappaport Communications tilbyr mobil-telefontjenester i flere mellomvestlige stater. De ønsker å ekspandere for å tilby tjenestene også mellom fire byer i nordre Ohio. En ny telemast må bygges for å formidle samtalene mellom disse byene. Masten vil gi dekning i en radius på 40 mil. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

22 Graf over lokalisering av telemasten
Cleveland Akron Youngstown Canton x=5, y=45 x=12, y=21 x=17, y=5 x=52, y=21 20 30 40 50 60 10 X Y Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

23 Definere beslutningsvariablene
X1 = lokalisering av telemasten langs X-aksen Y1 = lokalisering av telemasten langs Y-aksen Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

24 Definere målfunksjonen
Minimere den totale avstanden mellom den nye masten og de eksisterende : MIN: Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

25 Definere restriksjonene
Cleveland Akron Canton Youngstown Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

26 Implementere modellen
NonLinearProblem Solver kan ikke avgjøre om problemet er konveks Merk: I dette problemet tillates negative verdier på beslutningsvariablene. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

27 Finne global optimal løsning
MultiStart vil forsøke ulike startverdier. Må ha nedre og øvre grense på variablene. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

28 LOG350 Operasjonsanalyse
Analysere løsningen Den optimale plasseringen av den “nye masten” er på samme sted som Akron masten. Kanskje de bare skulle oppgradere Akron masten. Den største avstanden er 40 mil til Youngstown. Dette er på grensen til max rekkevidde. Hvor skal vi plassere den nye masten hvis vi ønsker å minimere den maksimale avstanden til eksisterende sendere ? Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

29 Minste maksimalavstand
Her har vi benyttet MiniMax teknikken: Minimere: Max avstand (Q) Slik at: Alle avstander ≤ Max avstand Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

30 Kommentarer til lokaliseringsproblemer
Den optimale løsningen til et lokaliseringsproblem vil ikke alltid virke : Eiendommen er kanskje ikke til salgs. Området kan være fredet. Stedet kan være en innsjø. I slike situasjoner er den optimale løsningen et godt utgangspunkt for å finne et passende område i nærheten. Restriksjoner kan tilføyes lokaliserings-problemene for å eliminere umulige områder. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

31 Et ikke-lineært transportproblem: The SafetyTrans Company
SafetyTrans har spesialisert seg på frakt av spesielt verdifull og ekstremt farlig gods. Det er absolutt nødvendig for firmaet å unngå ulykker: Det beskytter deres renommé. Det holder forsikringspremiene lave. Mulige miljøkonsekvenser av en ulykke er katastrofale. Selskapet driver en database over trafikkulykker som benyttes til å finne de sikreste rutene. De har nå behov for å finne den tryggeste veien mellom Los Angeles, CA og Amarillo, TX. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

32 Nettverk for SafetyTrans Problemet
+1 Las Vegas 2 Los Angeles 1 San Diego 3 Phoenix 4 Flagstaff 6 Tucson 5 Albu-querque 8 Cruces 7 Lubbock 9 Amarillo 10 0.003 0.004 0.002 0.010 0.006 0.009 0.001 0.005 -1 Tallene langs greinene angir sannsynligheten for at en ulykke skal inntreffe. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

33 Definere beslutningsvariablene
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

34 Definere målfunksjonen
Velg tryggeste rute ved å maksimere sannsynligheten av å ikke ha en ulykke: MAX: (1-P12Y12)(1-P13Y13)(1-P14Y14)(1-P24Y24)…(1-P9,10Y9,10) der: Pij = sannsynligheten for en ulykke når en kjører mellom node i og node j Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

35 Definere restriksjonene
Transportrestriksjoner -Y12 -Y13 -Y14 = } node 1 +Y12 -Y24 -Y26 = 0 } node 2 +Y13 -Y34 -Y35 = 0 } node 3 +Y14 +Y24 +Y34 -Y45 -Y46 -Y48 = 0 } node 4 +Y35 +Y45 -Y57 = 0 } node 5 +Y26 +Y46 -Y67 -Y68 = 0 } node 6 +Y57 +Y67 -Y78 -Y79 -Y7,10 = 0 } node 7 +Y48 +Y68 +Y78 -Y8,10 = 0 } node 8 +Y79 -Y9,10 = 0 } node 9 +Y7,10 +Y8,10 +Y9,10 = 1 } node 10 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

36 Implementere modellen
NLP NonCvx Ikke-lineært ikke-konveks. Kan ha flere lokale optimum. Må bruke MultiStart Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

37 Kommentarer til ikke-lineære transportproblemer
Små forskjeller i sannsynligheter kan bety store forskjeller i forventet verdi : ( ) * $30,000,000 = $300,000 ( ) * $30,000,000 = $1,122,000 Slike typer problemer er også nyttige i pålitelighetsnettverksproblemer (som å finne svakeste ”ledd” (eller grein) i et produksjonssystem eller i et telekommunikasjonssystem). Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

38 Valg av investeringsprosjekt: The TMC Corporation
TMC skal fordele $1.7 millioner av F&U budsjettet og fordele 25 ingeniører til 6 utviklingsprosjekter. Sannsynligheten for suksess for et prosjekt er avhengig av antall ingeniører (Xi) som tildeles prosjektet, og defineres slik: Pi = Xi/(Xi + ei) Prosjekt Startkostnader $325 $200 $490 $125 $710 $240 NPV ved suksess $750 $120 $900 $400 $1,110 $800 Sannsynlighets Parameter ei (alle pengebeløp er i $1,000s) Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

39 Utvalgte sannsynlighetsfunksjoner
Sans. for suksess 1.0000 Prosjekt 2 - e = 2.5 0.9000 Prosjekt 4 - e = 5.6 0.8000 0.7000 0.6000 Prosjekt 6 - e = 8.5 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Antall tildelte ingeniører Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

40 Definere beslutningsvariablene
Xi = antall ingeniører som tildeles prosjekt i, i = 1, 2, 3, …, 6 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

41 Definere målfunksjonen
Maksimer total forventet nåverdi av de valgte prosjektene Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

42 Definere restriksjonene
Finansiering av startkostnadene 325Y Y Y Y Y Y6 ≤1700 Ingeniører X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 25 Logiske betingelser Xi ≤ 25Yi , i = 1, 2, 3, … 6 Merk: Følgende restriksjon kunne benyttes i steden for de to siste... X1Y1 + X2Y2+ X3Y3+ X4Y4+ X5Y5 + X6Y6 ≤ 25 Denne restriksjonen er imidlertid ikke-lineær. Det er generelt best å formulere seg lineært hvis det er mulig. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

43 Implementere modellen
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

44 Global optimering kan ta lang tid
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

45 Optimering av eksisterende finansielle modeller
Det er ikke bestandig nødvendig å skrive ut en algebraisk formulering til et optimeringsproblem, selv om dette vil sikre en grundig forståelse av problemet. Solver kan brukes til å optimere en mengde eksisterende regneark, også med modeller som er fulle av ikke-lineæriteter. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

46 Finansiering av livsforsikring
Thom Pearman eier en engangs livsforsikringspolise med innløsningsverdi på $6,000 og utbetaling ved død på $40,000. Han ønsker å innløse livsforsikringspolisen og bruke rentene til å betale terminbeløp på en livsforsikring med utbetaling ved død på $350,000. År Terminbeløp $423 $457 $489 $516 $530 $558 $595 $618 $660 $716 Terminbeløpene for den nye polisen for 10 år er: Thom’s marginalskatt er 28%. Hvilken avkastning trenger han på investeringen på $6,000 for å kunne betale den nye forsikringen? Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

47 Implementere modellen
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

48 LOG350 Operasjonsanalyse
Optimal portefølje En finansplanlegger ønsker å sette sammen den minst risikable porteføljen som gir minimum 12% avkastning, ved å benytte følgende aksjer : Årlig avkastning År IBC NMC NBS 1 11.2% 8.0% 10.9% 2 10.8% 9.2% 22.0% 3 11.6% 6.6% 37.9% 4 -1.6% 18.5% -11.8% 5 -4.1% 7.4% 12.9% 6 8.6% 13.0% -7.5% 7 6.8% 22.0% 9.3% 8 11.9% 14.0% 48.7% 9 12.0% 20.5% -1.9% 10 8.3% 14.0% 19.1% 11 6.0% 19.0% -3.4% % 9.0% 43.0% Gj.snitt 7.64% 13.43% 14.93% Kovariansmatrise IBC NMC NBS IBC NMC NBS Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

49 Definere beslutningsvariablene
p1 = andel av investeringen investert i IBC p2 = andel av investeringen investert i NMC p3 = andel av investeringen investert i NBS Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

50 Definere målsettingen
Minimere porteføljens varians (risiko). Matrisenotasjon: Minimer pTCp p = vektor av andeler C = kovariansmatrisen Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

51 Definere restriksjonene
Forventet avkastning p p p3 ≥ 0.12 Andeler p1 + p2 + p3 = 1 p1, p2, p3 ≥ 0 p1, p2, p3 ≤ 1 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

52 Implementere modellen
QP Convex Kan bruke LP/QP Solver Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

53 LOG350 Operasjonsanalyse
Effisiensgrensen Porteføljevarians Effisiensgrensen 10.00% 10.50% 11.00% 11.50% 12.00% 12.50% 13.00% 13.50% 14.00% 14.50% 15.00% Avkastning portefølje Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

54 LOG350 Operasjonsanalyse
Parametrisk analyse Vi ønsker å løse problemet med flere alternative verdier for minimum avkastning. (Celle K11) Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

55 Parametrisk analyse forts.
Vi må angi hvor mange ulike optimeringer vi ønsker å kjøre. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

56 Parametrisk analyse forts.
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

57 Plot av parametrisk analyse
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

58 Multiple målsettinger i sammensetningen av porteføljen
I porteføljeproblemer ønsker vi å oppnå ett av to mål: Minimere risiko (porteføljens varians) Maksimere forventet avkastning Vi kan ta hensyn til begge målsettingene samtidig ved å generere effisiente porteføljer: MAX: (1-r)(Forventet avkastning) - r(porteføljens varians) gitt : p1 + p2 + … + pm = 1 pi ≥ 0 hvor: 0 ≤ r ≤1 er en risikoaversjons parameter Merk: Hvis r = 1 minimeres variansen. Hvis r = 0 maksimeres avkastningen. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

59 Implementere modellen
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

60 Effisiensgrensen – Trinn 1
Lag en tabell med ulike verdier for r, risikoaversjonen. Erstatt cellen for r med formelen PsiOptParam(N4:N14) Kolonnen for varians: PsiOptValue($K$11;M4) Kolonnen for Avkastning: PsiOptValue($K$10;M4) Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

61 Effisiensgrensen – Trinn 2
Sett antall optimeringer til 11. Kjør Solver. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

62 Effisiensgrensen – Trinn 3
Sett inn et Scatterplot av Varians og Avkastning Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

63 LOG350 Operasjonsanalyse
Automatisk plot Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

64 Sensitivitetsanalyse
LP uttrykk NLP uttrykk Betyr Shadow Price Lagrange Multiplier Marginalverdi for ressursene. Reduced Cost Reduced Gradient Endringen i målfunksjonene ved en liten endring i optimal verdi på beslutningsvariablene. Vi får mindre informasjon fra sensitivitetsanalysen ved ikke-lineære problemer sammenlignet med LP. For heltallsproblemer får vi ingen sensitivitetsanalyse. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

65 Sensitivitetsanalyse
Ingen ”Range” -analyse Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

66 LOG350 Operasjonsanalyse
Solver Options for NLP Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

67 Evolutionary Algoritmer
En teknikk av heuristikk-matematikk for optimering basert på Darwin’s Evolusjonsteori Kan brukes på en hvilken som helst regnearkmodell, inkludert de med “If” og/eller “Lookup” funksjoner Også kalt Genetic Algorithms (GAs) Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

68 Evolutionary Algoritmer
Løsninger til et MP problem kan representeres som en vektor av tall (som et kromosom) Hvert kromosom har en tilhørende “tilpasning” (målfunksjons) verdi GA’er starter med en tilfeldig populasjon av kromosomer og benytter Crossover - bytter verdier mellom løsningsvektorer Mutation - tilfeldig erstatting av verdier i en løsningsvektor De best tilpassede kromosomene overlever til neste generasjon, og prosessen gjentas Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

69 LOG350 Operasjonsanalyse
INITIAL POPULASJON Kromosom X1 X2 X3 X4 Fitness CROSSOVER & MUTATION NY POPULASJON Crossover Mutation De beste ”overlever” Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

70 Eksempel: Vinne over markedet
En investor ønsker å finne en sammen-setning av sin portefølje som maksimerer antall ganger denne porteføljen utkonkurrerer markedsindeksen S&T 500. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

71 LOG350 Operasjonsanalyse
Vinne over markedet Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

72 LOG350 Operasjonsanalyse
Solver & Evolutionary Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

73 LOG350 Operasjonsanalyse
Evolutionary Solver Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

74 The Traveling Salesperson Problem
En selger ønsker å finne den billigste ruten for å besøke kunder i n forskjellige byer, slik at hver by besøkes kun én gang før en returnerer til utgangspunktet. n (n-1)! = antall mulige ruter 3 2 5 24 9 40,320 13 479,001,600 17 20,922,789,888,000 20 121,645,100,408,832,000 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

75 Eksempel: The Traveling Salesperson Problem
Wolverine Manufacturing må bestemme den korteste veien for en drillemaskin for å borre 9 hull i et fiberglass panel. Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

76 Travelling Salesperson Problem
Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse

77 LOG350 Operasjonsanalyse
End of Chapter 8 Rasmus Rasmussen LOG350 Operasjonsanalyse