Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Binomiske trær Chapter 12 1. En enkel binomisk modell En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18 2 Aksjekurs = $18 Aksjekurs = $22.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Binomiske trær Chapter 12 1. En enkel binomisk modell En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18 2 Aksjekurs = $18 Aksjekurs = $22."— Utskrift av presentasjonen:

1 Binomiske trær Chapter 12 1

2 En enkel binomisk modell En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18 2 Aksjekurs = $18 Aksjekurs = $22 Aksjekurs = $20

3 En kjøpsopsjon ( Figure 12.1, page 268) En 3-mnd call på aksjen har en innløsningskurs på 21. Hva er opsjonen verdt? 3 Aksjekurs = $18 Opsjonsverdi = $0 Aksjekurs = $22 Opsjonsverdi = $1 Aksjekurs= $20 Opsjonspris =?

4 En risikofri portefølje Se på denne porteføljen:long  aksjer short 1 call Porteføljen er riskofri når avkastningen for begge alternativene er identiske dvs. At 22  – 1 = 18  eller  =  – 1 18 

5 Verdsetting av porteføljen (Risikofri rente er 12%) Den risikofri porteføljen er long 0.25 aksjer og short 1 call Verdi på porteføljen om 3 måneder er: 22 ●  0.25 – 1 = 4.50 Porteføljeverdi i dag er 4.5e – 0.12●0.25 =

6 Verdsetting av opsjonen Vi fant at porteføljen som består av long 0.25 aksjer og short 1 opsjon er verdt Aksjene er verdt (= 0.25 ●  20) Opsjonspris = ƒ 20 ●  ƒ = 5 – ƒ ƒ – 5 = 4.367, 0psjonen er derfor verdt

7 Generalisering Anta at aksjekursen er S 0 og at det eksisterer en opsjon med bortfall om T hvis verdi er ƒ Aksjekursen kan gå enten opp til S 0 u eller ned til S 0 d (u er multiplikator oppad > 1 og d er multiplikator nedad < 1) Hvis aksjekursen stiger er pay off fra opsjonen ƒu og hvis aksjekursen faller er pay off ƒd 7

8 Generalisering (Figure 12.2, page 269) En opsjon med bortfall på tid T, verdi er avhengig av akjekursen 8 S 0 u ƒ u S 0 d ƒ d S0ƒS0ƒ

9 Generalisering (forts) Vi har en portefølje som er long  aksjer og short 1 opsjon Porteføljen er risikofri og opptjener følgelig risikofri rente når S 0 u  – ƒ u = S 0 d  – ƒ d eller 9 S 0 u  – ƒ u S 0 d  – ƒ d

10 Generalisering (forts) Porteføljeverdien på tid T er S 0 u  – ƒ u Porteføljeverdien i dag er (S 0 u  – ƒ u )e –rT Kostnaden ved å sette opp porteføljen er S 0  – f Det følger at S 0  – f = (S 0 u  – ƒ u )e –rT Derfor har vi at 10

11 Generalisering, forts Ved å erstatte for  og forenkle får vi at: 11

12 Enkel binomisk modell 12 Anta at vi har at u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, f u = 1 og f d = 0

13 p som en sannsynlighet Det er nærliggende å tolke p og 1- p som sannsynligheter for prisøkning eller prisfall Verdien på en opsjon i en risikonøytral verdien er forventet payoff diskontert med risikofri rente 13 S0u ƒuS0u ƒu S0d ƒdS0d ƒd S0ƒS0ƒ p (1  – p )

14 Risikonøytral verdsetting Når sannsynligheten for prisøkning og prisfall er p og 1- p er forventet aksjekurs på tid T lik S 0 e rT Aksjekursen øker med risikofri rente Binomiske trær viser oss at vi kan verdsette en opsjon ved å anta at avkastningen på det underliggende instrument er risikofri og diskontere med risikofri rente Dette kalles risikonøytral verdsetting og er ett (men ikke det eneste) verktøyet for å verdsette aksjeopsjoner 14

15 Opprinnelig eks på nytt Siden p er sannsynligheten som gir at aksjeavkastning lik risikofri rente, kan vi finne p ut fra sammenhengen at 20 e 0.12 * 0.25 = 22p + 18(1 – p ) som gir at p = Alternativt kan vi bruke formelen at 15 S 0 u = 22 ƒ u = 1 S 0 d = 18 ƒ d = 0 S0 ƒS0 ƒ p (1  – p )

16 Risikonøytral verdsetting Opsjonsverdien er e –0.12 ● 0.25 ( ● ● 0) = S 0 u = 22 ƒ u = 1 S 0 d = 18 ƒ d = 0 S0ƒS0ƒ

17 Forventet aksjeavkastning er irrelevant Sannsynligheten for kursøkning eller kursreduksjon er irrelevant ved verdsetting av opsjonen Forventet avkastning på den undeliggende eiendelen er generelt irrelevant ved verdsetting av opsjoner 17

18 Et to-trinns eksempel (s. 274) Det er 3 mnd mellom hvert trinn K = 21, r = 12 %

19 Verdsetting av en Call Verdi i node B er e –0.12    0.25 (   0) = Verdi i node A er e –0.12   0.25 (   ) = A B C D E F

20 Generalisering Vi har nå at tidstrinnene er Δt og ikke T får vi at 20

21 Eksempel put Vi har en 2-årig europeisk put på en aksje hvis kurs nå er 50 og innløsningskurs er 52 Vi antar to tidstrinn begge på et år (Δt = 1), hvor aksjekursen enten øker eller faller med 20 % i hver trinn (u = 1.2, d = 0.8). Risikofri rente = 5 % Aksjekurs ved økning i begge trinn er 50  1.2  1.2 = 72, kurs ved en økning og en reduksjon er 50  1.2  0.8 = 48 og kursfall to ganger gir 50  0.8  0.8 = 32 Dette gir videre at f uu = 0, f ud = 4 og f dd = 20 21

22 Eksempel put Figure 12.7, page 277 K = 52, tidstrinn =1 år r = 5 % A B C D E F

23 Eksempel put Risikonøytral sannsynlighet p er gitt ved Vi har at 23

24 Amerikansk opsjon En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall. Vi starter bakerst og spør oss selv om tidlig utøvelse er lønnsomt A B C D E F

25 Amerikansk opsjon Vi har som tidligere at p = Verdi av opsjonen ved node B er: 25

26 Amerikansk opsjon Verdi av opsjonen ved node C er: 26

27 Delta Delta (  ) er forholdet mellom endring i aksjepris og opsjonspris Delta kalles også for sikringsforholdet Verdi på  varierer fra node til node 27

28 Hvordan velge u og d? Hittil har u og d vært gitt. I virkeligheten finnes u og d fra volatiliteten σ. Formlene er: 28

29 Eksempel Vi kan bruke samme eksempel som sist, hvor aksjekurs er 50, innløsningskurs 52 og risikofri rente 5 %. Vi antar at tid til bortfall er 2 år med 1-årige tidstrinn og at volatiliteten er 30 %. Dette gir at 29

30 30

31 31 At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option Price Values in red are a result of early exercise. Strike price = 52 Discount factor per step = 0,9512 Time step, dt = 1,0000 years, 365,00 days Growth factor per step, a = 1,0513 Probability of up move, p = 0,5097 Up step size, u = 1,3499 Down step size, d = 0, , , , , , , , ,55942 Node Time: 0,00001,00002,0000

32 Sannsynligheten for kursøkning 32


Laste ned ppt "Binomiske trær Chapter 12 1. En enkel binomisk modell En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18 2 Aksjekurs = $18 Aksjekurs = $22."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google