Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Kapittel 14: Køteori n Åpenbare anvendelser i praksis n Dansk statistiker A. K. Erlang ute med tidlige anvendelser for telefonsystemer n Kostnader i køproblemer:

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Kapittel 14: Køteori n Åpenbare anvendelser i praksis n Dansk statistiker A. K. Erlang ute med tidlige anvendelser for telefonsystemer n Kostnader i køproblemer:"— Utskrift av presentasjonen:

1 Kapittel 14: Køteori n Åpenbare anvendelser i praksis n Dansk statistiker A. K. Erlang ute med tidlige anvendelser for telefonsystemer n Kostnader i køproblemer: n Ventekostnader n Betjeningskostnader n Må avveies mot hverandre

2 Ventekostnader og betjening * Optimalt service nivå Kostnader Servicenivå Betjeningskostnad Forventet totalkostnad Ventekostnad

3 Eksempel 5 fartøyer kommer for lossing hver 12. time. Vente- kostnader kr pr. time. Lønn: kr pr. skift

4 Egenskaper ved et køsystem n Ankomstprosess n Sannsynlighetsfordeling n Poisson n En annen fordeling n Størrelse på kundegrunnlag n Begrenset n Ubegrenset n Ankomster n Tilfeldig n Faste

5 Ankomstprosess n Vanligvis antas det at ankomstene er Poisson fordelt:

6 Egenskaper ved køsystemet Vi kan bruke Appendix for å finne e – n Hvis = 2, finner vi verdier for X = 0, 1, og 2

7 To eksempler på Poisson fordeling = 2 fordeling = 4 fordeling Sannsynlighet Sannsynlighet = P(X) = e -  x X!X!

8 Egenskaper ved køen n Atferd i køen n Stiller seg i køen, og venter på betjening n balking; vil ikke stille seg i kø n renege; forlater køen n Egenskaper ved køen n Er køen av begrenset eller ubegrenset størrelse n Service prioritet n FIFO n Annen (lov å snike – legevakt)

9 Egenskaper ved køen n Betjeningsfasiliteter n Antall betjeningsstasjoner, en eller flere n Antall faser i køen n Enkel (forlater køen etter å ha blitt betjent) n Multippel – stiller seg i ny kø n Betjeningstiden n Negativ eksponentialfordeling n Annen (for eksempel fast)

10 Egenskaper ved køsystem Single-Channel, Single-Phase System Arrivals Departures after Service Queue Service Facility Single-Channel, Multiphase System Arrivals Departures after Service Queue Type 1 Service Facility Type 2 Service Facility

11 Egenskaper ved køsystem Multichannel, Single-Phase System Arrivals Queue Service Facility 1 Departures after Service Facility 2 Service Service Facility 3

12 Egenskaper ved køsystem Multichannel, Multiphase System Arrivals Queue Departures after Service Type 2 Service Facility 1 Type 2 Service Facility 2 Type 1 Service Facility 2 Type 1 Service Facility 1

13 Eksempel på betjeningstid Sannsynlighet (for Intervall på 1 minutt) Gjennomsnittlig betjeningstid 1 time Gjennomsnittlig betjeningstid 20 minutter Sannsynlighet (betjeningen tar lenger tid enn X minutter) = e-  x for X  0  = Gjennomsnittlig betjeningskapasitet pr. minutt

14 Kendall notasjonen n Vi bruker ofte 2 symboler for å beskrive et køsystem: n Eksempel M/M/1 – Poisson fordelt ankomst og betjening (M) og en betjeningsstasjon Arrival Service Time Number of Service Distribution Distribution Channels Open

15 Egenskaper ved enkel modell 1. Ankomster betjenes etter FIFO-prinsippet 2. Ankomstene er uavhengige 3. Ankomstprosessen er Poisson fordelt, og kundegrunnlaget stort 4. Betjeningstiden varierer, men gjennomsnittstiden er kjent 5. Betjeningstiden er negativt eksponentialfordelt 6. Betjeningskapasiteten er høyere enn ankomstraten

16 Ytelsesmål i en kø n Total tid den enkelte bruker i køen n Gjennomsnittlig lengde på køen n Gjennomsnittlig tid i systemet (kø og betjening) n Gjennomsnittlig antall kunder i systemet n Sannsynligheten for at det er ledig n Utnyttelsesgraden av køen n Sannsynligheten for et gitt antall mennesker i kø

17 Ytelsesmål i en kø n Følgende symboler brukes n = gjennomsnittlig ankomstrate pr. tidsenhet (pr. time, for eksempel) n  = gjennomsnittlig antall som betjenes pr. tidsenhet n  >, ellers vokser køen permanent

18 Ytelsesmål i kø 1.Antall i systemet:L = /(  - ) 2.Tid i systemet:W = 1/(  - ) 3.Antall i kø:L q = 2 /(u  (u - )) 4.Tid i kø:W q = /(u  (u - )) 5.Utnyttelsesgrad:  = /u 6.P(ledig):P 0 = 1 - /u 7.P n>k : P n>k = ( /u) k+1

19 Eksempel – Arnold Muffler n Kunder ankommer et bilverksted med en frekvens på 2 i timen ( = 2) n Kapasiteten er 3 biler i timen (  = 3) n Ankomstraten er Poissonfordelt og betjeningstiden eksponentialfordelt n Hvordan oppfører dette køsystemet seg?

20 Eksempel – Arnold Muffler n L => ? Gjennomsnitt antall biler i systemet n W => ? Tid i systemet n Lq => ? Antall biler i kø n Wq => ? Tid i kø n Pw =>? Andel av tid man er opptatt n Po =>? Sannsynlighet for at det er 0 biler i systemet

21 Eksempel – Arnold Muffler n L = 2/(3-2) => 2 biler i systemet n W = 1/(3-2) => 1 time i systemet n Lq = 2 2 /[3(3-2)] => 1.33 biler i kø n Wq = 2/[3(3-2)] => 0.67 timer i kø Pw = 2/3 => 67 % av tiden P(0) = 1 – (2/3) => 33 % sannsynlighet for at det er 0 biler i systemet

22 Eksempel: Arnolds Muffler

23

24 Kø med kostnader n Totalkostnader = ventekostnader + betjeningskostnader n Betjeningskostnad = antall betjeningsstasjoner kostnad pr. stasjon n Betjeningskostnad = m Cs

25 Kø med kostnader n Ventekostnad – påløper disse bare mens man står i kø eller også når man blir betjent (tid i systemet)? n Tid i systemet gir n total ventetid for alle i systemet ventekostnader = n antall ankomster ventetid C w = n W C w n Hvis ventekostnader bare oppstår når man står i kø, erstattes W med W q

26 Eksempel: Arnolds Muffler n Økonomisk analyse n Ventekostnader kr 10 pr. time venting n 2/3 time ventetid pr kunde n 16 biler ankommer pr. dag n Ventekostnad = /3 = 106,67 n Betjeningskostnad 7 pr. time eller 56 pr. d. n Totalkostnad = 106, = 162,67

27 Eksempel: Arnolds Muffler n Er det lønnsomt å ansette en annen montør, som kan behandle 4 kunder pr. time, mens lønnen øker til 9?

28 Multikanal, Poisson ankomst, eksponesiell betjeningstid (M/M/m) n Ligninger for modell med flere betjeningsstasjoner n Symboler: m =antall kanaler åpne =gjennomsnittlig ankomstrate  =betjeningsrate i hver stasjon 1.Sannsynlighet for 0 kunder i systemet

29 Multikanal, Poisson ankomst, eksponesiell betjeningstid (M/M/m) 2.Gjennomsnittlig antall kunder i systemet 3.Gjennomsnittlig tid i systemet (kø + betjening)

30 Multikanal, Poisson ankomst, eksponesiell betjeningstid (M/M/m) 4.Gjennomsnittlig antall i kø: 5.Gjennomsnittlig tid i kø 6.Utnyttelsesgrad

31 Arnold’s Muffler Shop n Arnold vurderer å åpne et verksted til n Det ansettes en person til som er like effektiv som den andre n Ankomstraten påvirkes ikke  Sannsynlighet for 0 biler i systemet

32 Arnold’s Muffler Shop n Antall biler i systemet Tid i systemet

33 Arnold’s Muffler Shop n Antall i kø Tid i kø

34 Arnold’s Muffler Shop LEVEL OF SERVICE OPERATING CHARACTERISTIC ONE MECHANIC  = 3 TWO MECHANICS  = 3 FOR BOTH ONE FAST MECHANIC  = 4 Probability that the system is empty ( P 0 ) Average number of cars in the system ( L ) 2 cars0.75 cars1 car Average time spent in the system ( W ) 60 minutes22.5 minutes30 minutes Average number of cars in the queue ( L q ) 1.33 cars0.083 car0.50 car Average time spent in the queue ( W q ) 40 minutes2.5 minutes15 minutes

35 Arnold’s Muffler Shop n Et verksted til øker betjeningskostnad men reduserer ventekostnadene Total daglig ventekostnad= (8 timer pr dag) W q C w = (8)(2)(0.0415)($10) = $6.64 Total daglig begjeningskostnad= (8 timer pr dag) mC s = (8)(2)($7) = $112 Totalkostnadene blir = $ $112 = $ Beste løsning er den mest effektive montøren

36 Åpner et verksted til (M/M/2)


Laste ned ppt "Kapittel 14: Køteori n Åpenbare anvendelser i praksis n Dansk statistiker A. K. Erlang ute med tidlige anvendelser for telefonsystemer n Kostnader i køproblemer:"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google