Korteste vei. LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Ofte står en overfor ønsket om å finne korteste kjørerute fra et gitt utgangspunkt til et ønsket bestemmelsessted.

Presentasjon om: "Korteste vei. LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Ofte står en overfor ønsket om å finne korteste kjørerute fra et gitt utgangspunkt til et ønsket bestemmelsessted."— Utskrift av presentasjonen:

1 Korteste vei

2 LOG530 Distribusjonsplanlegging 2 2 Ofte står en overfor ønsket om å finne korteste kjørerute fra et gitt utgangspunkt til et ønsket bestemmelsessted. Korteste vei 1122 44 55 33 66 88 77 99 2 2 4 4 5 5 8 8 3 3 4 4 3 3 7 7 4 4 3 3 8 8 3 3 5 5 6 6 12 2 2 +1 Tallene langs greinene angir avstanden mellom nodene 1–9. En angir startpunkt med -1 (avgang), og stoppunkt angis med +1 (ankomst). Her skal vi altså reise fra node 2 og fram til node 9. Hva er korteste kjørerute?

3 LOG530 Distribusjonsplanlegging 3 3 Korteste vei

4 LOG530 Distribusjonsplanlegging 4 4 • La X f,t angi mengde transportert fra node f til node t. • Om X f,t = 1 indikerer det at vi reiser (transporterer 1 enhet) fra node f til t. • Vi skal altså transportere denne enheten fra startnoden, via forskjellige transittnoder, helt til vi kommer fram til endenoden. • Vi forsøker å velge den kjøreruten som gjør at totalavstanden blir så kort som mulig. Korteste vei

5 LOG530 Distribusjonsplanlegging 5 5 Beslutningsvariabler: Korteste vei X f,t Mengde transportert fra node f til node t (f,t)  {G} n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden av greiner mellom nodene djdjdjdj Tilbud/Behov ved node j j  {N}; d j  {-1, 0, +1} c ft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} Merk at mengden av greiner, G, inneholder start- og stopp - nodeangivelsen på alle greiner. Siden greinene er urettede må de angis i begge retninger, slik at for eksempel både (1,2) og (2,1) angir samme grein mellom node 1 og 2, men i forskjellig retning.

6 LOG530 Distribusjonsplanlegging 6 6 Målfunksjon: Korteste vei 11 ‑ 1 Minimer totalavstanden for alle greiner i nettverket som inngår i reisen. Minimer: 2 X 1,2 + 4 X 1,3 + 5 X 1,5 + 2 X 2,1 + 3 X 2,4 + 8 X 2,5 + 4 X 3,1 + 3 X 3,5 + 7 X 3,6 + 3 X 4,2 + 4 X 4,5 + 8 X 4,7 + 5 X 5,1 + 8 X 5,2 + 3 X 5,3 + 4 X 5,4 + 4 X 5,6 + 3 X 5,7 + 12 X 5,8 + 7 X 6,3 + 4 X 6,5 + 12 X 6,7 + 3 X 6,8 + 8 X 7,4 + + 3 X 7,5 + 5 X 7,6 + 6 X 7,8 + 12 X 7,9 + 12 X 8,5 + 3 X 8,6 + 6 X 8,7 + 2 X 8,9 + 12 X 9,7 + 2 X 9,8

7 LOG530 Distribusjonsplanlegging 7 7 Restriksjoner: Korteste vei • Siden ”behovet” = -1 i startnoden, må vi reise derfra. • Hvis vi kommer til en transittnode, vil restriksjonen tvinge oss til å reise videre, siden ”behovet” = 0. • Når vi kommer til endenoden må vi forbli der, fordi ”behovet” = 1. 11 ‑ 2 Sum transportert/ankommet til en node, minus sum transportert/avreist fra samme node, må minst tilsvare behovet i noden. Dette kravet gjelder alle noder.

8 LOG530 Distribusjonsplanlegging 8 8 Restriksjoner: Korteste vei X 2,1 + X 3,1 + X 5,1 – X 1,2 – X 1,3 – X 1,5 ≥ 0Transitt-node1 X 1,2 + X 4,2 + X 5,2 – X 2,1 – X 2,4 – X 2,5 ≥ -1Start-node2 X 1,3 + X 5,3 + X 6,3 – X 3,1 – X 3,5 – X 3,6 ≥ 0Transitt-node3 X 2,4 + X 5,4 + X 7,4 – X 4,2 – X 4,5 – X 4,7 ≥ 0Transitt-node4 X 1,5 + X 2,5 + X 3,5 + X 4,5 + X 6,5 + X 7,5 + X 8,5 – X 5,1 – X 5,2 – X 5,3 – X 5,4 – X 5,6 – X 5,7 – X 5,8 ≥ 0Transitt-node5 X 3,6 + X 5,6 + X 7,6 + X 8,6 – X 6,3 – X 6,5 – X 6,7 – X 6,8 ≥ 0Transitt-node6 X 4,7 + X 5,7 + X 6,7 + X 8,7 + X 9,7 – X 7,4 – X 7,5 – X 7,6 – X 7,8 – X 7,9 ≥ 0Transitt-node 7 X 5,8 + X 6,8 + X 7,8 + X 9,8 – X 8,5 – X 8,6 – X 8,7 – X 8,9 ≥ 0Transitt-node8 X 7,9 + X 8,9 – X 9,7 – X 9,8 ≥ 1Stopp-node9

9 LOG530 Distribusjonsplanlegging 9 9 Korteste vei En tabell for greinene (beslutningsvariablene) En tabell for nodene (restriksjonene)

10 LOG530 Distribusjonsplanlegging 10 Greinene i motsatt retning angis med formler. Alle greiner angis i kun én retning.

11 LOG530 Distribusjonsplanlegging 11 Korteste vei 1122 44 55 33 66 88 77 99 2 2 4 4 5 5 8 8 3 3 4 4 3 3 7 7 4 4 3 3 8 8 3 3 5 5 6 6 12 2 2 +1

12 LOG530 Distribusjonsplanlegging 12 Beslutningsvariabler: Korteste vei X f,t Mengde transportert fra node f til node t f  {N}; t  {N} n Antall noder N Mengden noder N = {1, 2, …, n} G Mengden av greiner mellom nodene djdjdjdj Tilbud/Behov ved node j j  {N}; d j  {-1, 0, +1} c ft Avstand fra node f til node t (f,t)  {G} b ft Kapasitet fra node f til node t b ft = M for (f,t)  {G}; b ft = 0 for (f,t)  {G} Her angir M et tilstrekkelig stort tall (ikke 0). Tallet M bør ikke være så stort at vi får skaleringsproblemer. Poenget er at når b ft = 0 så utelukker vi greiner som ikke eksisterer.

13 LOG530 Distribusjonsplanlegging 13 Målfunksjon: Korteste vei 11 ‑ 3 Minimer totalavstanden for alle greiner som inngår i reisen. Dette er en alternativ formulering, der en tillater direktekoblinger mellom alle noder, uavhengig av eksisterende greiner.

14 LOG530 Distribusjonsplanlegging 14 Restriksjoner: Korteste vei • Siden ”behovet” = -1 i startnoden, må vi reise derfra. • Hvis vi kommer til en transittnode, vil restriksjonen tvinge oss til å reise videre, siden ”behovet” = 0. • Når vi kommer til endenoden må vi forbli der, fordi ”behovet” = 1. 11 ‑ 4 Sum transportert/ankommet til en node, minus sum transportert/avreist fra samme node, må minst tilsvare behovet i noden. Dette kravet gjelder alle noder.

15 LOG530 Distribusjonsplanlegging 15 Restriksjoner: Korteste vei 11 ‑ 5 Maksimal mengde transportert fra node f til node t kan ikke overstige kapasiteten for greinen mellom node f og node t. Dette kravet gjelder for alle f og alle t. Disse restriksjonene forhindrer at greiner som ikke eksisterer blir benyttet.

16 LOG530 Distribusjonsplanlegging 16 Korteste vei Tabell med beslutningsvariabler for alle kombinasjoner Tabell som eliminerer greiner som ikke eksisterer