Tallære Matematikk 1 A1A/A1B 13.-15. jan. 2009.

Presentasjon om: "Tallære Matematikk 1 A1A/A1B 13.-15. jan. 2009."— Utskrift av presentasjonen:

1 Tallære Matematikk 1 A1A/A1B jan. 2009

2 Kilde for forelesningen
T. Breiteig & R. Venheim: Matematikk for Lærere 1, kap. 3 og 5 (Universitetsforlaget, 2005)

3 Å telle Et interessant, år gammel ulvebein ble funnet i Tsjekkia i 1937. Dette er sannsynligvis uttrykk for en parkopling eller sammenparing mellom mengder: {strekene på beinet} og {fisk/skinner/dager e.l.}

4 Strekene på beinet blir et symbol for et tall (antall gjenstand).
Vi sier at to mengder har samme kardinaltall dersom elementene kan pares sammen ett og ett. Når vi teller, parer vi sammen gjenstand med naturlige tall 1, 2, 3, 4 osv.

5 Elevers tallforståelse
Små barn må lære å konservere antall: å konstatere at to mengder har like mange elementer å ordne/sortere etter ulike egenskaper (Rekkefølge og Venndiagram) å forstå inklusjon av mengder, som ved f.eks. addisjon

6 Begrepsavklaring Ordinaltall versus kardinaltall:
Rekkefølge versus antall Seriell talloppfatning: mest opptatt av rekkefølge Holistisk talloppfatning: hovedvekten på talls størrelse Vanlige matematikkvansker (BV2, kap. 15.3)

7 Regning med tall De fire regneartene Addisjon (å legge sammen)
Subtraksjon (å trekke fra) Multiplikasjon (å gange) Divisjon (å dele) Konkretisering og regnefortelling (BV1, kap. 3.3)

8 Eksempel: Multiplikasjon i skolen (BV1, s. 76)
Innfallsvinkel Regnefortelling Gjentatt addisjon: = 28 Hver dag i ei uke spiser jeg fire appelsiner Forhold: 7∙4 = 28 Jeg kjøper sju bananer à kr. 4,- Kombinasjoner: 7∙4 = 28 Fire typer brød og sju typer pålegg

9 Egenskaper ved tallregning
Kommutativitet av både addisjon: = 88 = og multiplikasjon: 45*6 = 270 = 6*45. Dette kalles av og til den “Abelske” egenskapen.

10 Assosiativitet: (25*4)*17 = 25*(4*17)
Distributivitet: 3*(13 + 7) = 3*13 + 3*7 Den additive identiteten: = 4 a + 0 = a for alle tall a Den multiplikative identiteten: 1*546 = 546 1*a = a for alle tall a

11 Hoderegning Hvor står hoderegning i forhold til tekniske hjelpemidler?
Å avgjøre hvilken teknisk redskap vi skal bruke Overslagsregning: å vite omtrent hva svaret skal bli Hoden er lettere tilgjengelig enn Excel!

12 Didaktiske betrakninger ved hoderegning
Strategier for hoderegning læres ofte best bevisst, med utgangspunkt i forståelsen som eleven har utviklet selv. Å finne snarveier er fint for utvikling av tallforståelse: 19*43 er utfordrende men 20*43 – 43 er lettere.

13 “Skriftlig hoderegning”
Skriftlig huvudräkning, B. Rockström (Bonniers, 2000) “Mellomledd”: 240 – 178 = 100 – 30 – 8 = 62 Forkunnskaper: Likhetstegnet Posisjonssystemet Tabellkunnskap

14 |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Posisjonssystemet Husk grupperingen på ulvebeinet: ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| | er litt mindre ugjennomtrengelig enn |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15 Titallssystemet 29 = 2∙10 + 9 2743 = 2∙1000 + 7∙100 + 4∙10 + 3
= 2∙ ∙ ∙10 + 3 Desimaltall: 35,96 = 3∙ /10 + 6/100

16 Andre basistall Eggkartong: når er 88 “lik” 224?
88 egg kan fordeles over 14 kartonger, med fire løse egg til overs. Hvis vi så skal sette kartongene i esker som hver rommer seks kartonger, fyller vi to slike esker, og har to kartonger pluss de fire løse eggene til overs. 88 = 2∙36 + 2∙6 + 4 = 2∙62 + 2∙6 + 4. = 224seks

17 Andre tallsystemer Det binære systemet: bare 0 og 1
Å bytte mellom ulike tallsystemer Å regne i andre tallsystemer

18 En mengde er uendelig dersom det inneholder en ekte delmengde som har samme kardinaltall som den opprinnelige mengden. Eksempel: De naturlige tallene 1, 2, 3, … utgjør en uendelig mengde, fordi at det er like mange partall som naturlige tall: 1 ↔ 2 2 ↔ 4 3 ↔ 6 og så videre.

19 Utvidelser av tallområdet – Negative tall
Vi trenger negative tall, både i hverdagslivet: År før og etter Kristus Tilgodehavende og gjeld i matematikken: Å subtrahere vilkårlige tall Å løse likninger

20 Hvert positivt tall a får et tilsvarende motsatt tall –a, som er slik at a + (–a) = 0.
Slik utvider vi de naturlige tallene til de hele tallene {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}. Disse fremstilles naturlig på talllinja.

21 Det motsatte tallet –(–a) til –a er den opprinnelige a.
Å trekke 2 fra et tall er det samme som å legge –2 til det: 54 – 2 = 54 + (–2) = 52. Multiplikasjon: 2*(–5) = (–5) + (–5) = –10 (–3)*6 = –(3*6) = –18 (–5)*(–3) = –(5*(–3)) = –(–15) = 15

22 Absoluttverdi “Størrelse” til et tall: |2| = 2 og |–2| = 2 og
|–44| = 44 = |44| og så videre. En absoluttverdi er alltid ikke-negativ.

23 Brøk Å angi størrelser som ligger “mellom enhetene” (en halv kake, et kvarter) Forhold mellom størrelser (“halvparten så stor”) Divisjon: et svar uten rest Et rasjonalt tall eller brøktall er et forhold mellom to hele tall: 1/2, 45/69, –9436/32 590

24 Brøkregning Å addere eller subtrahere brøk:
Lett hvis brøkene har den samme nevneren. Ellers må vi finne en felles nevner:

25 Multiplikasjon og divisjon av brøk
Ved multiplikasjon ganger vi sammen tellerne og nevnerne for seg: For å dele en brøk på en annen, inverterer vi den vi deler med, og så multipliserer:

26 Å fremstille multiplikasjon og divisjon av brøktall
Bilder: stanger, kakediagrammer Regnefortellinger: “Hvor mange halvliter flasker kan jeg fylle av 4 liter?” “Jeg spiste to og et halvt smørbrød. Hvert smørbrød inneholder halvannen brødskyve. Hvor mange brødskyve spiste jeg?”

27 Likeverdige brøk og forkorting
Dersom telleren og nevneren har en felles faktor, kan brøken forkortes med denne faktoren: Likeverdige brøkuttrykk fremstiller det samme tallet.

28 Desimaltall En spesiell form for brøk: nevneren er en potense av 10:
15,847 = /1000 (2) En utvidelse av posisjonssystemet: 15,847 = /10 + 4/ /1000 = 1∙ ∙ ∙ ∙ ∙10-3

29 Omgjøring av brøktall til desimaltall
Noen brøktall kan uttrykkes presist som desimaltall (endelige desimalbrøk): 1/2 = 0,5 1/4 = 0,25 1/5 = 0,2 Men andre kan det ikke (periodiske desimalbrøk): 1/3 = 0,3333… 1/6 = 0,16666…

30 For å gjøre om et brøktall til et desimaltall, utfør divisjonsstykket.
For å gjøre om et endelig desimaltall til et brøktall, skriv som en brøk og forkort hvis mulig. For å gjøre om et periodisk desimaltall til en brøk, bruk tricksen på side 192 i BV1.

31 Prosent Det kan være nyttig (f.eks. til sammenligning) å ha en rekke brøktall uttrykt med samme nevner. Ved prosentregning, brukes nevneren 100: 4/5 = 0,8 = 80% 3/11 = 0,272727… = 27, % = 27 3/11%

32 Irrasjonale tall Har vi fanget alle tall på talllinja ved å finne på de rasjonale tallene? Kvadratroten av 2 er et tall som, ganget med seg selv, gir 2. (Egentlig er det to slike tall: tenk pluss og minus.) Kvadratroten av 2 er ikke et rasjonalt tall!

33 Irrasjonale og reelle tall
Et tall som ikke er rasjonalt (altså, som ikke kan uttrykkes som brøktall) kalles for et irrasjonalt tall. Med de rasjonale og irrasjonale tallene kan vi fylle opp hele talllinja. Men det finnes nok flere tall (de komplekse tallene), som vi senere skal se på .

34 Regning med kvadratrøtter
Grunnleggende egenskaper: For alle ikke-negative tall a og b har vi og Videre, for alle a og b har vi

35 Avrunding Overslagsregning Penger: til nærmeste 50 øre
Usikkerhet ved måling Hvordan avrunder vi?

36 Måling og avrunding Alle målinger vil ha måleusikkerhet.
For eksempel, hvis vi får oppgitt at en lengde ble målt som 24,3cm med en linjal som kan måle i millimeter, da vet vi kun at lengden er mellom 24,25cm og 24,35cm.

37 Lengden 24,3cm kalles for en tilnærmingsverdi.
Målingen 24,3cm sies til å være korrekt avrundet fordi at usikkerheten er mindre enn eller lik halvparten av det minste enheten som linjalen kan måle. 2eren og 4eren kalles for helt sikre siffer, siden de ikke kan være noe annet. Til gjengjeld, en måling med en bedre linjal kunne f.eks. vise at lengden var nærmere 24,28cm. Slik kunne det tredje sifferet være enten 2 eller 3. Derfor sier vi at den opprinnelige 3eren er delvis sikkert.

38 Et fjerde siffer ville være helt usikkert, og slike siffer bør aldri tas med.
Til sammen har tre helt eller delvis sikre siffer. I slike tilfeller sier vi at svaret er oppgitt med tre gjeldende siffer. Viktige poeng: Antall gjeldende siffer har ingen ting med kommaet å gjøre. Kommaets posisjon er avhengig av valg med måleenheter. Tenk om en korrekt avrundet måling på 19,0cm er tatt med den samme linjalen. Denne har tre gjeldende siffer. Sifferet 0 er en plassholder og er delvis sikker. Lengden er mellom 18,95cm og 19,05cm.

39 Usikkerhet ved regning
Ved addisjon eller subtraksjon av to usikre tall, er usikkerheten i svaret maksimalt summen av de opprinnelige usikkerhetene. Men det er skikkelig uflaks hvis usikkerheten egentlig er så stor. En god tommelregel er å anta at usikkerheten i svaret er like stor som den største usikkerheten i målingene som adderes.

40 Ved multiplikasjon, målingen med færrest gjeldende siffer bestemmer antall gjeldende siffer som skal oppgis i svaret. (Diskusjon i BV1, kap. 5.8)

41 Notasjon A = {m, n, p} “Mengden A består av elementene m, n og p”
m ε A “Elementet m hører til mengden A” A ∩ B [snitt] “Elementene som hører både til A og B” A υ B [union] “Elementene som hører til A eller B eller både A og B” A B “A er inneholdt i B”