MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila.

Presentasjon om: "MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila."— Utskrift av presentasjonen:

1 MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila

2 Matematiske symboler         Hvis og bare hvis Derav følger
Både /og Eller / og For alle Det eksisterer Det eksisterer ikke Tilhører mengden Tilhører ikke mengden

3 Lineære ligninger 2D ax + by = c  a, b, c  R Representerer en rett linje i planet 3D ax + by +cz = d  a, b, c, d  R Representerer et plan i R3

4 2D vektor i standard posisjon
a = (x y) (x y) B a A Lengde: |a| =  x2 + y2

5 3D vektor i standard posisjon
y a = (x y z) a x Lengde: |a| =  x2 + y2 + z2 z

6 Enhetsvektorer (x y) B a j i A a = (x y) OA = x  OB = y Dekomponering a = xi + yj i , j er en basis for R2

7 Hvilke som helst vektorer i R2 kan være basis
(x y) v b a v = xa + yb

8 a ka A = (x y)  ka = (kx ky) Lineært avhengige vektorer Den ene kan skrives som et tall ganger den andre a og b er ikke lineært avhengige a b

9 Prikkprodukt av to vektorer
b  a  b = |a| |b| cos  a a  b = 0  | a | = 0  | b | = 0   = 90 dvs a  b Koordinatform 2D 3D a = ( a1 a2) a = ( a1 a2 a3) b = ( b1 b2) b = ( b1 b2 b3) a  b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 a  b = a1b1 + a2 b2

10 Vinkel mellom to vektorer
a  b = |a| |b| cos   b  a

11 Rett linje på vektorform 2D
P = ( x0 y0 ), Q = ( x y ) Vektorligning Q v ( x y ) = ( x0 y0 ) + t ( v1 v2 ) P linje p x Parameterfremstilling O x = x0 + v1t y = y0 + v2t

12 Rett linje på vektorform 3D
P = ( x0 y0 z0 ), X = ( x y z) Vektorligning x = p + tv PX = tv Koordinatform ( x y z) = ( x0 y0 z0) + t ( v1 v2 v3 ) X v P linje p x Parameterfremstilling x = x0 + v1t y = y0 + v2t z = z0 + v3t O

13 Parameterfremstilling for et plan i R3
X u u = ( u1 u2 u3 ) v = ( v1 v2 v3 ) u || v P v p PX = su + tv x P = ( x0 y0 z0 ), X = ( x y z) Vektorligning x = p + su + tv Parameterfremstilling Koordinatform x = x0 + u1s +v1t y = y0 + u2s + v2t z = z0 + u3s + v3t ( x y z) = ( x0 y0 z0) + s ( u1 u2 u3 ) + t ( v1 v2 v3 )

14 Ligning for et plan i R3 Et plan er fullstendig bestemt ved et punkt og retningsvektor for planets normal Punkt: p = ( p1 , p2 , p3 ) Vektor: n = (n1 , n2 , n3 ) n   z  y n x-p p x Fritt valgt punkt i planet  : x = ( x , y , z ) Vektor i planet: x - p x - p  n  ( x - p) · n = 0 Ligning for : x · n = p · n x

15 NB! Ligningen for x-aksen
x = t y = 0 z = 0 Tilsvarende for y-, og z-aksen Ligning for xy-planet: z = 0 Tilsvarende for yz-, og xz-planet

16 Vektorrom 1 a = ( a1 ) R Rett linje 2 a = ( a1 a2 ) R2 Plan 3
Dimensjon Vektor Notasjon Geometrisk 1 a = ( a1 ) R Rett linje 2 a = ( a1 a2 ) R2 Plan 3 a = ( a1 a2 a3) R3 3D rom 4 a = ( a1 a2 a3 a4) R4 4D rom n a = ( a1 a2 …….. an) Rn nD rom

17 Lineærkombinasjon x1a1 + x2a2 + x3a3+……. + xnan = b
Generelt vektorrom V 1. a  V  ka  V  k  R 2. a1 , a2  V  a1 + a2  V 3.  0 = a - a  V

18 Er R2 et generelt vektorrom?
a = xi + yj R2  x, y, z, w b = zi + wj (x y) B a j i A b a + b  R2  x, y, z, w Nullelement: 0 (nullvektor)

19 Operasjoner på n-dim vektorer
a = ( a1 a an) b = ( b1 b bn ) Prikkprodukt a · b = a1 b1 + a2 b an bn Lengden av en vektor a · a = a1 a1 + a2 a an an = a a an2 = a2 = | a |2 | a | =  a a an2

20 Parameterfremstilling for underrom av Rn
Vektorligningene x = p + ta for en linje og x = p + su + tv for et plan gjelder ikke bare R3, men generelt for Rn Parameterfremstillingene ser da slik ut Linje x1 = p1 + ta1 Plan x1 = p1 + su1 + tv1 x2 = p2 + ta2 x2 = p2 + su2 + tv2 …………… ……………….. xn = pn + tan xn = pn+ sun+ tvn

21 Et 3-dimensjonalt underrom V av Rn har 3 parametre
og kan skrives slik x1 = p1 + ru1 + sv1 + tw1 x2 = p2 + ru2 + sv2 + tw2 ……………….. xn = pn + run + svn + twn Parametre: r, s og t Tre vektorer i V: u = ( u1 u2 … un ) v = ( v1 v2 … vn ) w = ( w1 w2 …. wn )

22 Eksempel Beskriv rommet V som har denne parameterfremstillingen
x1 = 3 + 4a + 3b x2 = 2a + 2b – 5c x3 = 2 + 2a – b – c x4 = 1 + 2c V er et 3-dimensjonalt underrom av R4 med retningsvektorer ( basisvektorer ) u = ( ) , v = ( ) og w = ( ) og går gjennom punktet p = ( )

23 P Avstanden fra et punkt til et plan i R3 Plan : Ax + By + Cz - D = 0 punkt P = ( p1 p2 p3 ) utenfor planet d n U Avstanden PU : d = |tn| = | A p1 + B p2 + C p3 - D |  A2 + B2 + C2 fordi d > 0 og |n| =  A2 + B2 + C2

24 Vinkel mellom to linjer = vinkel mellom linjenes retningsvektorer
u v  m n Vinkel mellom to linjer = vinkel mellom linjenes retningsvektorer Vinkel mellom to plan = vinkel mellom planenes normalvektorer   n1 n2  l  a n2  Vinkel mellom en linje og et plan = 90° - vinkel mellom linjens retningsvektor og planets normalvektor