Matematisk finans Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO

Presentasjon om: "Matematisk finans Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO"— Utskrift av presentasjonen:

1 Matematisk finans Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO
Høgskolen i Oslo, 10 september 2003

2 Plan for foredraget Hva forstår vi med finansmatematikk?
Noen typiske problemstillinger og noen ideer Beskrive finansmatematikk brukt i industrien Hva trenger de? Finansmatematikk som studium ved UiO og andre steder

3 Finansmatematikk? Investeringer i finansmarkeder er risikable
Hvordan kontrollere den risikoen man har tatt på seg? Hvordan beskrive den risikoen man har tatt på seg?

4 Finansmatematikk? Finansmatematikk som fagfelt
Statistikk – beskrive risikoen Matematikk/stokastisk analyse – analysere risikoen Numerisk analyse – kvantifisere risikoen Prise opsjoner (Black & Scholes formelen) Optimalisere investeringer (porteføljeoptimering)

5 Modellering av markedet - Statistikk
Systemprisen for gass i England Store svingninger, reverterende mot middel

6 Standard markedsmodell
Geometrisk brownsk bevegelse Passer ikke så bra for energier OK for aksjer Black & Scholes sitt utgangspunkt Daglige avkastninger er uavhengige og normalfordelte (identisk fordelte) To parametere: Forventet avkastning og volatilitet

7 Avkastningsdata for gass

8 Alternative modeller Levy prosesser Stokastiske volatilitetsmodeller
Stor fleksibilitet i modelleringen av fordelingen Ikke lenger normalfordelte, og ikke uavhengig Matematisk avanserte – opsjonsprising er vanskelig

9 Opsjonsprising – stokastisk analyse
Callopsjon: Retten til å kjøpe en aksje (underliggende) til en fastsatt pris K til et fastsatt tidspunkt T Geometrisk brownsk bevegelse som modell Opsjonen kan repliseres (hedges): Komplett marked Ingen arbitrasje gir en entydig pris for opsjonen

10 Opsjonsprising Hva er prisen?
Lager en portefølje som har samme verdi som opsjonen Portefølje i aksje og statssertifikat

11 Black & Scholes’ formelen
N(d) er sannsynligheten for at en standard normalfordelt variabel er mindre enn d Kompletthet, ingen arbitrasje Stokastisk analyse, Ito integrasjon og Itos formel

12 Opsjonsprising og Levy modeller
Den underliggende modelleres som en Levy prosess. Hva med opsjonspriser? Markedet blir ikke-komplett Ingen opsjoner kan hedges Finnes uendelig mange arbitrasjefrie priser.

13 Opsjonsprising – eksotiske opsjoner
Asiatiske opsjoner – gjennomsnitt av kursen Knock-out opsjoner – ingen utbetaling hvis kursen bryter en barriere Slike baneavhengige opsjoner har ingen eksplisitt formel for pris. Avansert stokastisk analyse for å uttrykke prisen

14 Opsjonsprising – Numerisk analyse
Mye brukt metode: Monte Carlo Enkel, og virker for eksotiske opsjoner og høyeredimensjonale problemer Simulerer den underliggende Sofistikering av Monte Carlo pga lite effektiv Quasi-MC

15 Porteføljeoptimering
Er teorien anvendbar i praksis?

16 Porteføljeoptimeringsproblemet
Spørsmål: Hvordan allokere formuen optimalt mellom flere usikre investeringsalternativer? De mest kjente optimeringsproblemene: Markowitz: Optimere avkastning, gitt risiko Merton: Optimere porteføljens nytte Eksplisitte investeringsregler

17 Kan dette brukes i praksis
Porteføljevekter er veldig sensitive til parametere i aksjemodellene (forventning og varians/volatilitet) Paremeterne er estimert fra data, og derfor befengt med statistisk usikkerhet Liten unøyaktighet i parameterne kan føre til store avvik i porteføljevektene

18 Eksempel: Parameterusikkerhet
Hvor stor andel skal settes i aksje kontra obligasjon? Anta aksje følger geometrisk Brownsk bevegelse Logaritmisk nyttefunksjon

19 Eksempel, forts…. Eksplisitt løsning: Hold fast andel i aksje
Forventet avkastning og volatilitet blir estimert fra data

20 Estimering av forventet avkastning og volatilitet
Estimeringsfeilen for allokeringen blir av orden den inverse volatiliteten over kvadratroten til antall data Daglig volatilitet er liten

21 Numerisk eksempel Anta sann volatilitet er 24% og sann forventet avkastning er 2.8%, årlig 50% av formuen skal teoretisk plasseres i aksjer Fra estimering trenger vi ca. 72 år med daglige data for at feilen skal være 50%. Ett år med daglige data gir 420% feil!

22 Porteføljeoptimering
Problemet ligger i usikkerheten i estimert forventet avkastning For opsjonsprising er ikke dette noe problem, prisen avhenger kun av volatiliteten som er “lett” å estimere Forskes på markedsmodeller for forventet avkastning

23 Kort oppsummering, så langt…
Statistikk modellerer data fra markedet Nye modeller trengs Stokastisk analyse priser opsjoner og finner optimale porteføljer Nye modeller krever mere teori Numeriske metoder for å kvantifisere prisene Benytter nyeste metodikk innen simulering Nye metoder trengs

24 Finansmatematikk i industrien

25 Finansmatematikk i industrien
Banker, kredittinstitusjoner og meglerhus Aksjer, obligasjoner Opsjoner Valuta, utlån, eiendom .... Forsikringsselskaper Aksjeinvesteringer av premier Garanterte produkter

26 Finansmatematikk i industrien
Energi (olje, gass, elektrisitet) Spot Derivathandel (forward, swing) Fysiske posisjoner Nye ”finansielle” markeder Opsjoner på temperatur – værderivater Shipping/transport (imarex) Handel i CO2 kontrakter (EU marked)

27 Finansmatematikk i industrien
Eksempler på ikke-komplette markeder Modellering vanskelig Prising krever tung teori Kompliserte produkter Lage opsjonsprodukter (financial engineering) Analysere produktene

28 Finansmatematikk i industrien
Hva slags kandidater trenger industrien? Kunnskap om markedene! Produkter, aktører ... Analytisk kunnskap Gode på statistikk/dataanalyse Beherske data (Excel, Visual Basic, C++...) Kunne forstå matematikk Trenger ikke å være ”kvanter”

29 Finansmatematikk som studium

30 Studier i Norge Master MAT STK INF
UiO: Bachelor og master i finans, forsikring og risiko (FFR) Finansspesialisering: stokastisk analyse Forsikring: data og statistikk Ca. 20 studenter pr kull Master MAT FINANS/ FORSIKR FINANS/ FORSIKR STK INF

31 Studier i Norge NHH, master i finans
Mindre fokus på matematikk og statistikk Siviløkonomutdannelse BI Oslo/Sandvika, bachelor og master i finans Agder og Molde Lite fokus på kvantitative metoder

32 Studier i Norge Hva mangler? Satt på spissen:
Enten ”nerder” i finans, Eller ”nerder” i matematikk Alle utdannelsene fokuserer på det tradisjonelle børsmarkedet Hva slags kandidater vil etterspørres i fremtiden?

33 “...og slik blir fremtiden”
Kompetanse på markeder Energi, elektrisitet Shipping Vær..... Kvantitativ kompetanse Statistikk Matematikk Data Økonomi Financial engineering

34 Oppsummering Skissert hva finansmatematikk er
Problemstillinger Metoder og teknikker Indikert bruk av finansmatematikk i industrien Markeder Diskutert utdannelser i Norge innen finans Hva som mangler

35 Koordinater E-post: fredb@math.uio.no
Web adresse: