Etter D’Ambrosio, Bishop, og Carraher, Carraher & Schliemann.

Presentasjon om: "Etter D’Ambrosio, Bishop, og Carraher, Carraher & Schliemann."— Utskrift av presentasjonen:

1 Etter D’Ambrosio, Bishop, og Carraher, Carraher & Schliemann.
Etnomatematikk Etter D’Ambrosio, Bishop, og Carraher, Carraher & Schliemann.

2 Enkel definisjon. Etnomatematikk er matematikk i vid forstand, slik den brukes i forskjellige samfunn og kulturer. Begrepet kan brukes for å vise forskjeller mellom store kulturelle grupper ... … men kan også brukes om ulikheter mellom ulike grupper innen samme område. Eksempel på det siste: forskjeller i måten å regne på som ekspeditør i en kiosk og som skoleelev. 1. Etnomatematikk. På grensen mellom matematisk historie og kulturell antropologi. 2. Er studiet av vitenskapelige og teknologiske fenomener i direkte relasjon til deres sosiale, økonomiske og kulturelle bakgrunn. 3. Lite er gjort, fordi folk tror at matematikken er universell. Nå oppdages det matematiske aktiviteter som utføres på ulike måter i ulike kulturer (telling, ordning, sortering, måling og veiing), og forskjellig fra den måten som undervises i skolen. 4. Det er mest antropologer som har studert dette. 5. Dimitriu (1977), Logikkens historie, beskriver kort indisk og kinesisk logikk som bakgrunn for den greske. Det meste er ukjent (f.eks. logikken bak Mayaenes tall). 6. Nyere kognitive teorier forteller hvor viktig konteksten er for læring. Dette betyr at elevenes kulturelle bakgrunn må få betydning for undervisningsmåtene. 7. Inntil nylig har matematisk kunnskap vært betraktet som kulturuavhengig, og undervisningen kunne derfor være universell. Nå er dette i ferd med å endre seg. Ronald Bradal

3 Matematikkundervisning i vesten.
I tiden før Platon ble matematikken delt i to, en for de skolerte (intellektuelle) og en for de som drev med manuelt arbeid. Også i det gamle Egypt var det delvis slik. Platon sa at de detaljerte studiene av matematikk var noe for de få utvalgte, og at de som skulle inneha de høyeste funksjonene i samfunnet måtte lære seg matematikk, men ikke for å drive handel eller høkeri. Ronald Bradal

4 Vestlig historie forts.
I middelalderen begynner vi å se en konvergens, idet praktisk matematikk begynner å bruke ideer fra geometri. Dette kom etter oversettelser fra de arabiske versjonene av Euklids Elementer. Telling og tallbehandling kom i mer praktisk bruk ved innføringen av arabiske tall. I Renessansen kunne tegninger vises til arbeiderne, og maskineri kunne tegnes og produseres av andre enn oppfinnerne. Ronald Bradal

5 Vestlig historie forts.
Tilnærmingen mellom praktisk og teoretisk matematikk fortsatte i industrisamfunnet. Tilnærmingen begynte å komme inn i skolen. (Aristokratiet måtte begynne å forholde seg til nye typer virksomheter.) I forrige århundre begynte tanken om masseundervisning å spre seg. Spørsmålet om hvilken matematikk som bør gis, ble stilt. D'Ambrosio mener at svaret er en matematikk som opprettholder den økonomiske og sosiale strukturen, og at situasjonen minner om den som ble gitt til et aristokrati da utdanning i matematikk var vesentlig for å utdanne en elite. Eliten kan således opprettholde kontroll over produksjonen. Matematikken i skolen har blitt en akademisk matematikk. Ronald Bradal

6 Hvor kommer matematiske ideer fra?
Ideer i matematikk starter ofte i en praktisk sammenheng og formaliseres senere. I noen tilfelle blir den aldri formalisert, men fortsetter å bli brukt. Den akademiske matematikken sørger ofte for å erstatte slike praksiser med nye, som nå har fått status som den egentlige matematikken. Ronald Bradal

7 Den uformelle matematikken.
Etnomatematikken, i betydningen uformell matematikk, er ikke "normal" matematikk, og den vil ikke generere revolusjonær matematikk, men den lever sitt eget liv, og den utvikler seg ved at nye metoder utvikles og gamle går i glemmeboka. Etnomatematikk er derfor ikke anerkjent som en strukturert kunnskapsmengde, men blir sett på som et sett av ad hoc-praksiser. 1. Konklusjon. 1. Får å endre praksis, er ikke pensumendringer nok. Det må forskes på etnomatematikken. (Det tenkes her først og fremst på den tredje verden.) 2. Dette har viktige implikasjoner for hva som prioriteres i den tredje verden. 3. Vi må ikke glemme at kolonialisme og moderne vitenskap, spesielt matematikk og teknologi, vokste fram i nær symbiose. 2. Tilleggsbemerkninger. 1. Etter at dette først ble skrevet, har mye skjedd. Det viser seg at vestlig tradisjon ofte hindrer læring andre steder. 2. Hovedfokus for utdanning må være å heve nivået på den kulturelle bevisstheten og utvikling av selvfølelse. Dette har ført til en forskning om generering, overføring og spredning av kunnskap med klare pedagogiske konsekvenser. 3. Målet er studiet av måter å forklare, forstå og takle verden i ulike kulturelle omgivelser. 4. Ulike metoder for overlevelse og overføring leder til ulike måter å forklare ting på. Ronald Bradal

8 Praktiske problemer. Det er grunn til å tro at det er forskjell på å løse matematikk ved å bruke algoritmer som læres i skolen og å regne i kjente omgivelser utenom skolen. Reed og Lave (81) har vist at mennesker som ikke har gått på skole ofte løser problemer på andre måter enn de som har. Det finnes altså uformelle måter å gjøre matematikk på som ikke læres på skolen. Ronald Bradal

9 Praktiske problemer forts.
De forskjellene som finnes mellom mennesker kan også finnes i et menneske, dvs. at et menneske kan løse ting på ulike måter i og utenfor skolen. Dette gjelder spesielt for barn som må bruke matematikk utenfor skolen, samtidig som de er usikre på de algoritmene som de lærer i skolen. Vi vet at barn ofte godtar absurde svar i skolen. Samtidig ser det ut for at de kan være svært effektive til å regne utenfor skolen. Ronald Bradal

10 Eksempel fra Relieff i Brasil.
Innvandrede arbeidere fra landsbygda. En stor del av dem blir ufaglærte, manuelle arbeidere, enten i fast jobb eller i den uformelle sektoren. Lav utdanning er typisk for den uformelle sektor. Barn og hustruer deltar ofte i arbeidet. Gatehandel er en av mulighetene. De har fire presserende behov: Finne et hjem. Få arbeidstillatelse. Få jobb. Å skaffe midler for å overleve. Ronald Bradal

11 Fra Relieff forts. Fra års alder er det vanlig at barna hjelper til med salget når foreldrene er opptatt med andre ting. Litt eldre barn og tenåringer kan drive sin egen handel. De kan selge ting som stekte peanøtter, popcorn, kokosnøttmelk og lignende. Ronald Bradal

12 Relieff forts. Disse barna må løse en mengde matematiske problemer, vanligvis uten tilgang på papir eller blyant. Multiplikasjon. (F.eks. pris på ei kokosnøtt ganget med et visst antall.) Addisjon. (F.eks pris på 4 kokosnøtter og 12 sitroner.) Subtraksjon. (F.eks. å gi igjen penger.) Divisjon er mer sjelden, men kan forekomme hvis kunden vil ha for en bestemt sum. Ronald Bradal

13 Test Subjekter: 5 barn i alderen 9 - 15 år, med fra 1 til 8 års skole.
Prosedyrer: Barna ble plukket ut på gata og prøvd på uformelt vis. De ble siden gitt en formell test. Barna fikk en formell og en uformell test. I begge testene var det muntlig besvarelse som telte, selv om de fikk bruke papir og blyant i den formelle delen. Ronald Bradal

14 Test. forts. Den uformelle testen: I naturlige omgivelser. Hypotetiske og reelle spørsmål. Registrert på bånd eller skrevet ned. Intervjuet om metode. Den formelle testen: På stedet eller hjemme. Samme tall gjemt i oppgavene, men gjerne med motsatt regningsart, eller med endring i størrelsesorden. Fikk papir og blyant og ble oppmuntret til å bruke disse. Ronald Bradal

15 Resultater Problemer som var satt inn i en sammenheng ble mye bedre løst enn de som ikke var det: 98,2 % riktig i den uformelle testen 73,7 % i den formelle. 36,8 % riktig i den formelle delen i oppgaver uten kontekst. En hypotese kunne være at forskjellene skyldtes de endringene i tallene som ble gjort i den formelle delen. Nærmere undersøkelser viste at denne tolkningen ikke kunne være riktig. En annen mulig tolkning er at disse barna tenkte konkret og derfor ville bli hjulpet av konkrete situasjoner. Men tilstedeværelsen av grønnsaker forenkler ikke den aritmetikken som skal utføres. Dessuten ble disse beregningene gjort i hodet, uten støtte av andre hjelpemidler. En kan knapt argumentere med at hoderegning er noe som er typisk for de som tenker konkret. Ronald Bradal

16 Eksempler på regneteknikk.
Barna var vant til å regne med mengder, men behersket ikke symbolbruk. 4 kokosnøtter à 35 cruzeiros. Uformell løsning: 105 pluss 35 gir 140. Formell løsning: 35 x 4 = 200 Tre kokosnøtter à 40 c. Uformell løsning: 40, Formell løsning: 40 x 3 = 70 Ronald Bradal

17 Regneteknikk forts. 12 sitroner à 5 c. 6 kg melon à 50 c.
Uformell løsning:10, 20, 30, 40, 50, 60. Formell løsning:12 x 5 = 152 6 kg melon à 50 c. Uformell løsning: 100, 200, 300 Formell løsning: 50 x 6 = 2 kokosnøtter à 40 c. Få tilbake på 500 c. Uformell løsning: 80, 90, 100, 420. Formell løsning: = 130 Ronald Bradal

18 Vurdering av resultatene.
Resultatene synes å være i konflikt med den vanlige tanken om at barn først må lære matematiske operasjoner for så å anvende dem på tekstoppgaver og hverdagsproblemer. Virkelige problemer kan gi sjansen til den vanlige sunne fornuft og la barna finne fram til intuitivt riktige løsninger uten det overflødige steget som ligger i oversettelse til algebraiske uttrykk. Ronald Bradal

19 Vurderinger forts. I den uformelle testen tenker barnet på mengdene som brukes. I den formelle bruker hun, uten suksess, de prosedyrene hun har lært på skolen. Det er ikke noe bevis på at barnet forsøker å vurdere de svarene hun fikk i den formelle testen. Luria (1976) og Donaldson (1978) hevder at tenkning støttet av sunn fornuft kan være vel så avansert som tenkning ute av kontekst. De tviler også på nytten av å lære matematikk i en uavhengig form før den skal anvendes. Ronald Bradal

20 Vurderinger forts. Hvordan kan det ha seg at barn som løser beregningsproblemer riktig i en naturlig situasjon, mislykkes i å løse det samme problemet når det er tatt ut av sin sammenheng ? Det ser ut til at de rutinene som brukes, er forskjellige. I den naturlige situasjonen hadde barna en tilbøyelighet til å bruke hensiktsmessige grupper, mens i de andre situasjonene brukte de ofte, om ikke alltid, rutiner som var lært på skolen. Ronald Bradal

21 Vurderinger forts. De rutinene som læres i skolen kan skille seg sterkt fra det som føles naturlig i dagliglivet. Ofte kan skolerutinene være til hinder for problemløsing. Bør vi konkludere med at barn bør få bruke sine egne metoder? Dette er å gå for langt. Hoderegning har begrensinger som kan overvinnes gjennom skrevne beregninger. En begrensing er det å multiplisere ved hjelp av gjentatt addisjon. Ronald Bradal

22 Vurderinger forts. Skolematematikken har et potensiale til å tjene som en forsterker for tankeprosessene. Det springende punktet er å skape en pedagogikk som går i riktig retning. Hvor skal man starte ? Matematikkutdannere burde stille spørsmålstegn ved å behandle faget som et formelt system fra første stund av. De burde heller prøve å knytte det til dagligliv og sunn fornuft. Ronald Bradal

23 6 fundamentale aktiviteter:
Det er seks fundamentale aktiviteter som er universelle (felles for alle kulturer): Telling. (Kan bety å bruke objekter av ulike slag for å registrere med, eller det kan bety spesielle tallord eller navn.) Lokalisering. (Undersøkelse og registrering av omgivelsene ved hjelp av modeller eller figurer av ulike slag.) Måling. Ronald Bradal

24 Fundamentale akt. forts.
Forming. Lek, spill. Forklaring. (Finne måter å forklare fenomener på, religiøse, animistiske eller vitenskapelige.) Matematikk kommer fra at mennesker bruker disse aktivitetene på en vedvarende og bevisst måte. Ronald Bradal

25 Disse aktivitetene har bidratt til følgende viktige ideer:
Telling: Tall, tallmønstre, tallsystemer, algebraiske representasjoner, uendelig liten og stor, hendelser, sannsynlighet, frekvenser, numeriske metoder, iterasjon, kombinatorikk, grenser. Lokalisering: Posisjon, orientering, koordinater av ulike slag, lengde/bredde, vinkler, linjer, nettverk, reise, posisjonsendringer, geometriske steder, transformasjoner. Ronald Bradal

26 Ideer forts. Måling: Sammenligning, ordning, lengde, areal, volum, tid, temperatur, vekt, måleenheter, måleinstrumenter, anslag, tilnærming, usikkerhet, feil. Forming: Objekters egenskaper, form, mønstre, design, geometriske former, forhold. Ronald Bradal

27 Ideer forts. Lek: Paradokser, modeller, spill, regler, prosedyrer, strategier, forutsigelser, gjetting, sjanse, hypotetisk tenkning, spillanalyse. Forklaring: Konvensjoner, generalisering, logiske sammenhenger, bevis, symbolske representasjoner, strukturer, modeller. Ronald Bradal

28 Etnomatematikere mener:
Matematikken i skolen har blitt en akademisk matematikk. Etnomatematikken er derimot den matematikken som brukes av identifiserbare kulturgrupper, slik som stammesamfunn, arbeidere, barn i en viss alder, profesjoner osv. Deres identitet beror i stor grad på interesser, motiver, sjargong eller koder som ikke finnes i den akademiske matematikken. 1. Et eksempel kan være ingeniører som bruker kalkulus på en annen måte enn den som undervises i den akademiske matematikken. 2. Byggearbeidere i slumstrøk kan være et annet eksempel. Mye av den matematikken som er tatt i bruk gjennom historien har sitt utspring i praktiske sammenhenger (astronomi f.eks.), men er formalisert og tatt inn i den akademiske matematikken. Ronald Bradal

29 Meninger forts. Matematikk må betraktes som en kulturbestemt kunnskap som alle kulturer produserer, men som ikke behøver å se lik ut fra kultur til kultur. Matematikk er et panhumant fenomen, men i likhet med religion, språk, ritualer, mat osv., er den ulik fra sted til sted. White delte kulturen inn i 4 kategorier. Ideologisk: sammensatt av tro, avhengig av symboler og filosofier. Sosiologisk: skikker, institusjoner, regler og mønstre for mellommenneskelig opptreden. Sentimental: holdninger, følelser for mennesker, oppførsel. Teknologisk: produksjon og bruk av verktøy og oppfinninger. White mente at disse komponentene er i slekt, men at den teknologiske faktoren er den bestemmende. Alle de andre er avhengige av den. Ronald Bradal

30 Meninger forts. Tidligere var oppfatningen at matematikken var kulturuavhengig. Dette synet blander sammen sannheter i matematikken med den kulturelle basis for matematikken. Hvorfor er f.eks. en likevinkel 180o og ikke 100 eller 150 ? Kultursentrisme er forklart av Lancy: Stadium 1: Tilsvarer Piagets sensomotoriske stadium og nås av alle mennesker. Stadium 2: Dette er hvor sosialiseringen starter. Bestemmes mer av kulturen enn av arv. Stadium 3: Det metakognitive nivået. I tillegg til å utvikle kognitive og språklige strategier, utvikler individet teorier om språk og kognisjon.(Tilsvarer Piagets formell-operasjonelle nivå.) Det er matematikken som teknologi som utgjør dens verdier. Whites sentimentale, ideologiske og sosiologiske komponenter har kan assosierers med et sett (komplementære) matematiske verdier: Til den sentimentale komponenten er knyttet kontroll og framgang. Til ideologi kan vi knytte rasjonalisme og objektivisme. Til den sosiologiske komponenten knyttes åpenhet og mysterium. Ronald Bradal

31 Anbefalinger fra etnomatematikere
Det viktigste elementet er lærerutdanning. Matematikkutdanning bør bli utført av humane lærere. Å føre barn inn i en kultur er nødvendigvis en mellommenneskelig oppgave. Barn må få vite om de innebygde verdiene i de fagene de skal innføres i. De må få vite om den kulturelle historien til faget. Fra et antropologisk synspunkt er hensikten med matematikkutdanninga å føre den unge inn i kulturen. Det er både snakk om sosialisering og innføring i en ny og ukjent kultur (de-sosialisering). For hvem er den matematiske kultur en del av hjemme- og lokalkulturen? Den kan imidlertid ikke sies å tilhøre bare én kultur. Hvilken kultur representerte den matematikken som tradisjonelt er undervist i skolen ? Den er internasjonal, men ulike kulturer er preget av den i ulik grad. Jo nærmere en kultur er knyttet til den, jo sterkere kan det sies at undervisningen er en sosialisering. De som står fjernt fra den, har lovlig grunn til å være bekymret over den de-sosialiseringen som deres barn blir utsatt for gjennom matematikkundervisningen. Hvis kulturkonflikt skal unngås, bør lærere være knyttet til den lokale kulturen. Hva med samfunn med mange etniske minoriteter? Elementer fra barnas hjemmekultur bør være med. Hvordan få til dette? Aktiv bruk av de seks aktivitetene over bør danne et grunnlag. Hvis de er universelle, bør de kunne brukes av alle. Ronald Bradal

32 Anbefalinger forts. Lærerne må forstå utviklingen av faget i sin kultur, og de må få reflektere over sitt forhold til verdiene i det. Lærerutdanning er nøkkelen til kulturbevaring og utvikling. Til slutt, hva med verdiformidling ? I dag tenderer undervisningen mer mot kontroll enn mot framgang, mer mot objektivisme enn mot rasjonalisme og mer mot mystikk enn mot åpenhet. Kanskje større bruk av gruppearbeid, diskusjon, prosjektarbeid og utforskning kunne bidra til å gjenopprette balansen i hver av de tre komplementære parene. Vi kan da bevege oss mer mot framgang, rasjonalisme og åpenhet. Vi bør ihvertfall undervise våre barn om verdier, ikke bare øve dem opp til å akseptere visse verdier. Ronald Bradal